[PDF] Algorithmique en classe de terminale avec AlgoBox

View - Download Algorithmique en classe de terminale avec AlgoBox

Previous PDF

Next PDF

Algorithmique en classe de

terminale avec AlgoBox(programme obligatoire)

Version 1.1 - Août 2017

Cette oeuvre est mise à disposition selon les termes de la Licence Creative Commons Attribution - Pas d"utilisation Commerciale - Partage à l"identique 3.0 non trans- posé.

© 2017 Pascal Brachet

Vous êtes libre de reproduire, distribuer, communiquer et adapter l"oeuvre selon les conditions suivantes : V ousn "avezpas le droit d"utiliser cette oeuvre à des fins commerciales. Si v ousmodifiez, tr ansformezou adaptez cette oeuvre, v ousn "avezle droit de distribuer votre création que sous une licence identique ou similaire à celle-ci. Cette brochure a été réalisée avec le système de composition L

ATEX et l"éditeur TEXMAKER.

- i -

SOMMAIRE

Sommaire

Avant-proposiv

I Activités "élèves»

1

1 Fonctions2

2 Suites12

3 Probabilités18

4 Complexes et géométrie

24

II Annexes

26

A Structures algorithmiques de base avec AlgoBox

27
A.1 Variables et affectations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

A.2 Instructions conditionnelles

30

A.3 Boucles

32

B Mémento sur l"utilisation d"AlgoBox

36

B.1 Équivalence entre " pseudo-codes »

36

B.1.1 Entrée des données

36
B.1.2 Affichage des données. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 B.1.3 Affecter une valeur à une variable. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

B.1.4 Structure SI ALORS

37

B.1.5 Boucle POUR...

37

B.1.6 Structure TANT QUE...

37

B.2 Les problèmes de syntaxe

38

B.2.1 Les erreurs de syntaxe les plus courantes

38

B.2.2 Syntaxe des opérations mathématiques

38

B.2.3 Syntaxe pour les conditions

38
B.2.4 Syntaxe pour les fonctions statistiques et les opérations sur les listes 39

B.2.5 Fonctions concernant les probabilités

39
B.2.6 Fonctions concernant les chaines de caractères 39

B.3 Fonctionnement d"AlgoBox

39

B.3.1 Les deux règles fondamentales

39

B.3.2 Les variables

40

B.3.3 Les listes de nombres

40

B.3.4 Boucle POUR...DE...A

40

B.3.5 Structure TANT QUE

40
B.3.6 Utilisation de l"onglet " Utiliser une fonction numérique » 41
B.3.7 Utilisation de l"onglet " Dessiner dans un repère » 41

B.3.8 Utilisation d"une " Fonction locale »

42
B.3.9 Récupération facile d"un code AlgoBox dans un traitement de texte 43
- ii -

SOMMAIRE

B.4 Quelques techniques classiques

43

B.4.1 Diviseur?

43

B.4.2 Entier pair ou impair?

43
B.4.3 Entier pseudo-aléatoire compris entre 1 et N 43

B.4.4 " Balayage » d"un intervalle

43

B.4.5 Suites numériques

44

B.4.6 Échanger le contenu de deux variables

45
B.4.7 Afficher un message contenant du texte et des nombres. . . . . . . . . . 45

C Algorithmes supplémentaires

46

C.1 Répétition d"épreuves et loi normale

46
- iii -

Avant-propos

Rappel des instructions officielles concernant l"algorithmique dans les programmes de mathématiques :

1.Instructions élémentaires (affectation, calcul, entrée, sortie).

Les élèves, dans le cadre d"une résolution de problèmes, doivent être capables : d" écrireune formule permettant un calcul ; d" écrireun pr ogrammecalculant et donnant la valeur d"une fonction ; ainsi que le sinstructions d" entréeset sorties nécessair esau tr aitement.

2.Boucle et itérateur, instruction conditionnelle.

Les élèves, dans le cadre d"une résolution de problèmes, doivent être capables de : pr ogrammerun calcul itér atif,le nombr ed"itér ationsétant donné ; pr ogrammerune instruction conditionnelle, un calcul itér atif,avec une fin de boucle condi- tionnelle.

3.Dans le cadre de cette activité algorithmique, les élèves sont entraînés à :

décrir ecertains algorithmes en lang agenatur elou dans un lang agesymbolique ; en r éaliserquelques-uns à l" aided"un tableur ou d"un pr ogrammesur calculatrice ou avec un logiciel adapté; interpr éterdes algorithmes plus complexes.

Contenu de cette brochure :

Des activités " élèv es» strictemen tconf ormesa uxprogr ammesen vigueur .

Des annexes com portant:

Des activités d" apprentissagedes techniques de base en al gorithmiquea vecAl gobox;

Un mémen tosur les f onctionsd" AlgoBox;

Des al gorithmessupplémen tairesen r apporta vecle con tenuma thématiquedes pro- grammes de première.

À propos des activités "élèves» :

Les fiches " professeurs » et " élèves » sont sur des pages différentes afin de faciliter les photo-

copies.

Les activités sont présentées ici sous forme d"énoncés " à trou ». Il est bien sur possible de les

adapter selon sa convenance.

Adaptations possibles :

donner l" algorithmecom pletet demander de décrire ce qu"il f ait; demander la réalisa tioncom plètede l" algorithmeà partir de zéro.

Les fichiers AlgoBox des algorithmes de la partie " Activités élèves » et de l"annexe C sont

disponibles en ligne à l"adresse suivante :http://www.xm1math.net/algobox/algobook.html

Première partie

Activités " élèves »

- 1 -

1. FONCTIONS

1

Fonctions

Fiche professeur 1A

F icheélèv ecorrespondan te: pag e

4 -Fichier AlgoBox associé (algorithme complet) :algo_1A.alg -Contexte (TS/TES) :Recherche par dichotomie d"une valeur approchée d"un antécédent avec une fonction décroissante . -Prolongements possibles : Rem placerla boucle POUR numero_etape ALLANT_DE 1 A 4par unTANT_QUEpor- tant sur la précision souhaitée. Étudier un a utrecas où la f onctionest strictemen tcroissan te(une activité correspon- dante est disponible dans la brochure de première) Établir un al gorithmequi f onctionnedans tous les cas (f onctionstrictemen tcrois- sante ou strictement décroissante)

Fiche professeur 1B

F icheélèv ecorrespondan te: pag e

6 -Fichier AlgoBox associé (algorithme complet) :algo_1B.alg -Contexte (TS/TSTI2D/TSTL) :Recherche d"un seuil entier à partir duquel la valeur d"une fonction devient inférieure à 1. -Prolongement possible : J ustifierque la f onctionest bien décroissan tesur [10; +1[.

Fiche professeur 1C

F icheélèv ecorrespondan te: pag e

7 -Fichier AlgoBox associé (algorithme complet) :algo_1C.alg -Contexte (TS) :Utilisation de la méthode d"Euler pour construire une approximation de la courbe de la fonctionftelle quef(0) = 1 etf0(x) =f(x) avec un pas de 0;1. -Prolongement possible :Faire tracer les points obtenus dans un repère à l"aide de l"onglet " Dessiner dans un repère ».

Fiche professeur 1D

F icheélèv ecorrespondan te: pag e

9 -Fichier AlgoBox associé (algorithme complet) :algo_1D.alg -Contexte (TS/TES/TSTI2D/TSTL) :Recherche d"un seuil entier à partir duquel la valeur d"une fonction logarithmique devient supérieure à 120. - 2 -

1. FONCTIONS

Fiche professeur 1E

F icheélèv ecorrespondan te: pag e

10 -Fichiers AlgoBox associés (algorithmes complets) :algo_1E.algetalgo_1Ebis.alg -Contexte (TS/TES/TSTI2D/TSTL) :Détermination d"une valeur approchée de l"aire sous une courbe à l"aide de rectangles (la méthode présentée ici ne donne qu"un minorant de l"aire) -Prolongement possible :Détermination d"un majorant de l"aire en changeant la définition des rectangles. - 3 -

1. FONCTIONS

Fiche élève 1A

Soitfla fonction définie sur[1; 2]parf(x) =2px

x 2. 1. Dériv erfetmontrerque,pourtout16x62,f0(x)peuts"écriresouslaformef0(x) =3x 2px 2. J ustifierque l" équationf(x) = 1 admet une unique solutionx0dans[1; 2]. 3.

P ourdéterminer une v aleurapprochée de x0, on utilise la méthode dite de la "dichotomie»

dont le principe consiste à couper l"intervalle en deux et à regarder de quel côté se situe la

solution par rapport au milieu de l"intervalle. a)

Étan tdonné un in tervalle

[a;b]de milieumet contenantx0(aveca>1 etb62).

Sif(m)<1, dans quel intervalle se situex0?abx01

f(m) mSif(m)>1, dans quel intervalle se situex0?abx01 f(m) mb)C ompléterle tablea usuiv ant:

ÉtapeIntervalle de départ

[a;b]milieumf(m)<1?Nouvel intervalle [a;b]1a= 1 ;b= 2m= 1:5NONa= ;b=2a= ;b=m=a= ;b=3a= ;b=m=a= ;b=4a= ;b=m=a= ;b=- 4 -

1. FONCTIONS

c) On cherche à a utomatiserles cal culsgr âceà un al gorithme.C ompléterles lignes 14 et

18 pour que l"algorithme AlgoBox ci-dessous réponde au problème.1:VARIABLES

2: a EST_DU_TYPE NOMBRE 3: b EST_DU_TYPE NOMBRE 4: m EST_DU_TYPE NOMBRE 5: numero_etape EST_DU_TYPE NOMBRE

6:DEBUT_ALGORITHME

7:a PREND_LA_VALEUR 1

8:b PREND_LA_VALEUR 2

9:POURnumero_etapeALLANT_DE1A4

10:DEBUT_POUR

11:m PREND_LA_VALEUR (a+b)/2

12:SI(2*sqrt(m)/(m*m)<1)ALORS

13:DEBUT_SI

14:...... PREND_LA_VALEUR m

15:FIN_SI

16:SINON

17:DEBUT_SINON

18:...... PREND_LA_VALEUR m

19:FIN_SINON

20:AFFICHER a

21:AFFICHER "

22:AFFICHER b

23:FIN_POUR

24:FIN_ALGORITHME- 5 -

1. FONCTIONS

Fiche élève 1B

On considère le circuit ci-dessous dans lequelRest variable.Rr= 10 E= 8V iLa puissance dissipée (en watts) dans le résistor de résistanceRest :

P=E2R(R+r)2=64R(R+10)2

La courbe représentantP(en ordonnée) en fonction deRen (abscisse) est donnée ci-dessous :

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 600;10;20;30;40;50;60;70;80;911;11;21;31;41;51;61.Déterminer ,par le cal cul,la v aleurde PquandR= 10

2. Le gr aphiquepermet -ild" établirune conjecture viable sur la v aleurv erslaquelle tend P quandRdevient très grand? 3.

Déterminer la limite de PquandRtend vers +1.

4.

On cherche à déterminer ,à l" aided"un al gorithme,la première v aleuren tièrede R(R>10)

pour laquelle la puissancePdevient inférieure à 1W. Pour cela, on part deR= 10 et on augmenteRde 1 tant que cela est nécessaire. Compléter les lignes 6 et 7 de l"algorithme AlgoBox ci-dessous pour qu"il réponde au pro- blème.1:VARIABLES 2:

R EST_DU_TYPE NOMBRE

3:

P EST_DU_TYPE NOMBRE

4:DEBUT_ALGORITHME

5:R PREND_LA_VALEUR 10

6:P PREND_LA_VALEUR .......

7:TANT_QUE(P........)FAIRE

8:DEBUT_TANT_QUE

9:R PREND_LA_VALEUR R+1

10:P PREND_LA_VALEUR 64*R/pow(R+10,2)

11:FIN_TANT_QUE

12:AFFICHER R

13:FIN_ALGORITHME- 6 -

1. FONCTIONS

Fiche élève 1C

Approximation de la courbe sur

[0; 1]de la fonctionftelle quef(0) = 1 etf0(x) =f(x) pour toutx. IPrincipe général :Soitfune fonction dérivable sur un intervalleIcontenanta. Pour toutxdeI" proche dea» , on af(x)f(a)+f0(a)(xa). Donc en connaissantf(a) etf0(a), on peut en déduire une approximation def(x). De proche en proche, on peut donc en déduire un tableau de valeurs approchées def(x) qui permet de construire une approximation de la courbe def. 1. On a f(0) = 1 donc le premier point de la courbe a pour coordonnées8 >><>>:x 1= 0 y 1= 1.

P ourx" proche de 0 » ,f(x)f(0)+f0(0)(x0).

Or,f0(0) =f(0). On en déduit quef(0;1)f(0)+f(0)0;1,f(0;1)f(0)::::::. Le deuxième point de la courbe a pour coordonnées8 >><>>:x

2= 0;1

y

2=. Placer ce point dans le graphique.

P ourx" proche de 0;1 » ,f(x)f(0;1)+f0(0;1)(x0;1). Or,f0(0;1) =f(0;1).Onendéduitquef(0;2)f(0;1)+f(0;1)0;1,f(0;2)f(0;1)::::::. Le troisième point de la courbe a pour coordonnées8 >><>>:x

3= 0;2

y

3=. Placer ce point dans le graphique.

P ourx" proche de 0;2 » ,f(x)f(0;2)+f0(0;2)(x0;2). Or,f0(0;2) =f(0;2).Onendéduitquef(0;3)f(0;2)+f(0;2)0;1,f(0;3)f(0;2)::::::. Le quatrième point de la courbe a pour coordonnées8 >><>>:x

4= 0;3

y

4=. Placer ce point dans le graphique.0;1 0;2 0;3 0;4 0;5 0;6 0;7 0;8 0;9 111;11;21;31;41;51;61;71;81;922;12;22;32;42;52;6

0 2. On cherche à créer un al gorithmequi permette d" automatiserles cal culs. a) C ommentpasse- t-onde l" abscissed"un poin tà celle d upoin tsuiv ant?- 7 -

1. FONCTIONS

b)

C ommentpasse- t-onde y1ày2?c)De la même f açon,exprimer y3en fonction dey2:y3=d)En déd uirecommen tcal culerl" ordonnéed"un nouv eaupoin tà partir des coordonnées

(X,Y) du point précédent :

Le nouvel Y =e)C ompléterles lignes 12 et 13 de l" algorithmeAl goBoxci-dessous pour qu"il réponde a u

problème :1:VARIABLES 2:

X EST_DU_TYPE NOMBRE

3:

Y EST_DU_TYPE NOMBRE

4:DEBUT_ALGORITHME

5:X PREND_LA_VALEUR 0

6:Y PREND_LA_VALEUR 1

7:TANT_QUE(X<1)FAIRE

8:DEBUT_TANT_QUE

9:AFFICHER X

10:AFFICHER " -> "

11:AFFICHER Y

12:Y PREND_LA_VALEUR .......................

13:X PREND_LA_VALEUR .......................

14:FIN_TANT_QUE

15:FIN_ALGORITHME3.En exécutan tl" algorithme,com pléterle tablea uci-dessous donnan tles coordonnées des

points de la courbe :X00,10,20,30,40,50,60,70,80,91 Y1 Compléter le graphique à l"aide de ces coordonnées. 4.

Quelle est la na turede la suite

(yn)n>1? - 8 -

1. FONCTIONS

Fiche élève 1D

Quand l"oreille d"un individu est soumise à une pression acoustiquex, exprimée en bars, l"in-

tensité sonore, exprimée en décibels, du bruit responsable de cette pression est donnée par :

f(x) = 8;68lnx+93;28 1. C alculerl"in tensitésonore correspondan teà une pression acoustique de 5 bars. 2. J ustifierque fest une fonction strictement croissante sur]0; +1[. 3.

Déterminer la limite de fen +1.

4. Un individ unormal ne peut supporter un bruit supérieur à 120 décibels. On cherche à connaitre le premier nombre entierxde bars pour lequel l"intensitéf(x) dépasse 120 déci- bels à l"aide d"un algorithme. Pour cela on part d"une pressionx= 1 que l"on augmente de 1 tant que cela est nécessaire. Compléter les lignes 5 et 7 de l"algorithme AlgoBox ci-dessous pour qu"il réponde au pro- blème : (attention : la syntaxe informatique pour le logarithme népérien estloget pasln)1:VARIABLES 2: x EST_DU_TYPE NOMBRE

3:DEBUT_ALGORITHME

4:x PREND_LA_VALEUR 1

6:DEBUT_TANT_QUE

7:x PREND_LA_VALEUR ...........

8:FIN_TANT_QUE

9:AFFICHER x

10:FIN_ALGORITHME- 9 -

1. FONCTIONS

Fiche élève 1E

Soitfla fonction définie surRparf(x) = 3x2. On cherche à déterminer une valeur approchée de l"aire sous la courbe sur [0; 1]en utilisant des rectangles. 1.

On découpe l"in tervalle

[0; 1]en 10 intervalles et on construit des rectangles de la façon suivante :0 0;1 0;2 0;3 0;4 0;5 0;6 0;7 0;8 0;9 10123 y=f(x)La somme des aires des rectangles permet de déterminer une valeur approchée de l"aire sous la courbe defsur[0; 1]. a) Quelle est la larg eurde chaque rectangle ?b)Quelle estlahauteurdupremierrectangle?Quelleestsonaire? c) Quelle estlahauteurdudeuxièmerectangle?Quelleestsonaire? d) On cherche à e ffectuer la somme des aires des rectangles avec un algorithme en se basant sur le principe suivant : On utilise une variableairequi sert à stocker la somme des aires des rectangles au fur et à mesure. On part dex= 0:1et on ajoute à la variableairel"aire du rectangle commençant àx, puis on continue le processus en augmentantxde0:1tant que c"est nécessaire. - 10 -

1. FONCTIONS

Compléter les lignes 7 et 9 de l"algorithme AlgoBox ci-dessous pour qu"il réponde au problème :1:VARIABLES 2: x EST_DU_TYPE NOMBRE 3: aire EST_DU_TYPE NOMBRE

4:DEBUT_ALGORITHME

5:aire PREND_LA_VALEUR 0

6:x PREND_LA_VALEUR 0.1

7:TANT_QUE(x<=........)FAIRE

8:DEBUT_TANT_QUE

9:aire PREND_LA_VALEUR aire+............

10:x PREND_LA_VALEUR x+0.1

11:FIN_TANT_QUE

12:AFFICHER aire

13:FIN_ALGORITHMEe)Quel est le résul tata ffiché lors de l"exécution de l"algorithme?2.Une a ugmentationd unombre de rectangles doit permettre d" obtenirune meilleure ap-

proximation :010123

y=f(x)On cherche à adapter l"algorithme précédent en se basant cette fois-ci sur une découpage

de l"intervalle [0; 1]en 1000 intervalles (de 0 à 0:001, de 0:001 à 0:002, etc.). a) C ompléterles lignes 6, 7, 9 et 10 de l" algorithmeAl goBoxci-dessous pour qu"il réponde au problème :1:VARIABLESquotesdbs_dbs6.pdfusesText_12

[PDF] algobox nombre entier

[PDF] algobox demander valeur variable

[PDF] fonction modulo algobox

[PDF] fiche activité scratch

[PDF] algorigramme définition

[PDF] algorigramme exercice corrigé

[PDF] algorigramme en ligne

[PDF] algorigramme arduino

[PDF] algorigramme sous programme

[PDF] algorigramme 3eme

[PDF] flowcode tuto

[PDF] flowcode v7

[PDF] flowcode telecharger

[PDF] flowcode v6 pdf

[PDF] flowcode v6 download