[PDF] PGCD arithmétique - Spé maths - Terminale S : Exercices Corrigés

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PGCD arithmetique - Spe maths - Terminale S : Exercices

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jaicompris.com Determiner le PGCD a l'aide de la decomposition en facteurs premiers

Determiner lePGCDde4480et400a l'aide de la decomposition en facteurs premiers.Determiner le PGCD a l'aide de l'algorithme d'Euclide

Determiner lePGCDde3045et300a l'aide de l'algorithme d'Euclide.PGCD : calcul avec un parametre Pour tout entier naturel non nul, on posea= 5n+1etb= 2n1. On note =PGCD(a;b). 1. D emontrerqu eles v aleursp ossiblesde sont 1 ou 7. 2.

D eterminerles en tiersntels quea0[7]etb0[7].

3.

En d eduire,suiv antles v aleursd en, la valeur de.PGCD(a;b) = PGCD(b;r) et ApplicationSoientaetbdeux entiers tels que0< b6a. Demontrer que :

PGCD(a;b) = PGCD(b;r)ourest le reste dans la division euclidienne deaparb.PGCD : l'algorithme d'Euclide

Soientaetbdeux entiers naturels, on noteD(a;b)l'ensemble des diviseurs communs aaetb.

Dans la suite, on considere quea>b >0.

1. (a)

Mon trerque D(a;b) =D(ab;b).

(b)

En d eduireque PGCD (a;b) =PGCD(ab;b).

2. Soit rle reste dans la division euclidienne deaparb, montrer, en vous aidant de la question precedente, que PGCD(a;b) =PGCD(r;b). 3. En v ousaidan tdes divi sionseuclidiennes ci-dessous, d eterminer: PGCD (416 ; 182).

416 = 2182 + 52

182 = 352 + 26

52 = 226 + 0

4.

Ecrire en langage naturel un algorithme p ermettantde d eterminerle PGCD de aetb.PGCD : utiliser la caracterisation d'un PGCD

Trouver les entiers naturelsaetbaveca < btels que :ab= 7776et PGCD(a;b) = 18PGCD : diviseurs communs Si on divise4294et3521par un m^eme entier naturel non nuln, les restes respectifs sont10et

11. Quel est cet entier?1

PGCD : un PGCD egal a la dierence

Soientaetbdeux entiers naturels aveca > b >0, montrer que PGCD(a;b) =absi et seulement si, il existe un entierktel quea= (k+ 1)(ab)etb=k(ab).PGCD : la bo^te de cubes Une bo^te parallelepipedique rectangle de dimensions interieures31;2cm,13cm et7;8cm est entierement remplie par des cubes a jouer dont l'ar^ete est un nombre entier de millimetres. Quel est le nombre minimal de cubes que peut contenir cette bo^te?Nombres premiers : PGCD et PPCM

On posea= 588etb= 616.

1.

D ecomposeraetben produits de facteurs premiers.

2.

En d eduirePGCD (a;b).

3. D eduire egalementde la premi erequestion PP CM(a;b)(c'est a dire le plus petit multiple commun aaet ab).PGCD et suite Soit(un)la suite denie pour tout entier naturelnparu0= 0etun+1= 4un+ 1. 1. (a)

Calculer u1,u2etu3.

(b) Mon trerque p ourtout en tiern atureln,un+1etunsont premiers entre eux. 2.

On p osep ourtout en tiernaturel n,vn=un+13

(a)

Mon trerque (vn)est une suite geometrique.

(b) En d eduirel'expression de vnpuis celle deunen fonction den. 3. Calculer PGCD( 4n+11 ; 4n1).Nombres de Fermat et innitude des nombres premiers On rappelle que lesnombres de Fermatsont les entiersFn= 22n+ 1avecnun entier naturel. 1. Etablir que p ourtous en tiersnaturels netk, on a :Fn+k1 = (Fn1)2k. 2. En d eduireque si kest un entier naturel non nul alors pour tout entier natureln, on a : F n+k2[Fn] 3. En d eduireque deux nom bresde F ermatdistincts son tpremiers en treeux. 4. Retrouv eralors qu'il existe une innit ede nom brespremiers. 2quotesdbs_dbs13.pdfusesText_19

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