Probabilités discr`etes: DS 1.
EXERCICE 2. Dans un jeu de 52 cartes on tire au hasard 5 cartes (sans remise). 1. Décrire l'univers de l
Mathématiques B30
Par exemple si vous tirez une carte d'un jeu de 52 cartes
Analyse combinatoire et probabilités - Exercices et corrigés
2 jan. 2016 2.1.2 Exercice M-D'un jeu de 52 cartes on tire. ... la probabilité de tirer une boule blanche dans l'expérience suivante : on choisit ...
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La carte est tirée au hasard donc toutes les cartes ont la même probabilité d'être tirées. Donc la probabilité de tirer une carte trèfle est égale à. 13. 52.
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Probabilité et dénombrement ; indépendance
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9A Probabilités conditionnelles et théorème de Bayes Probabilités
Pour illustrer cette notion considérons un jeu ordinaire de 52 cartes. Et convenons de noter F et. B les deux événements suivants: F : tirer une figure
NOTION DE PROBABILITES
Quelle est la probabilité de tirer un jeton rouge ? p = ----. II. A VOUS DE JOUER AVEC UN JEU DE 52 CARTES. 1. Petit défi : Sans regarder
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28 fév. 2016 Un jeu de 52 cartes est formé de 4 couleurs (trèfle carreau
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Dans un jeu de 52 cartes on tire au hasard 5 cartes (sans remise) 1 Décrire l'univers de l'expérience et donner son cardinal
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15 jui 2007 · Exercice 1 1 On tire au hasard 2 cartes dans un jeu de 52 cartes 1 Quelle est la probabilité pour que la couleur des 2 cartes soit ??
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1) D'un jeu de 52 cartes bien mélangées on tire une carte au hasard Quelle est la probabilité a) de tirer un as ? b) de tirer une image ? c) de tirer une
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Mathématiques 2: Probabilités Résumé & applications
Quelle est la probabilité de tirer un "roi" d'un jeu de 52 cartes sachant que la carte est une figure rouge? 2 Probabilité géométrique La probabilité
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La carte est tirée au hasard donc toutes les cartes ont la même probabilité d'être tirées Donc la probabilité de tirer une carte trèfle est égale à 13 52
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7 nov 2017 · l'exemple 1 dans un jeu de 32 cartes la probabilité de tirer un roi Dans un jeu de 52 cartes on tire deux cartes simultanément (sans
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Exercice 6 (résolu) On tire au hasard et simultanément 5 cartes parmi un jeu de 52 Calculer la probabilité d'obtenir un full au roi par les valets (trois rois
Quelle est la probabilité d'obtenir un as dans un jeu de 52 cartes ?
Au premier tirage la probabilité d'avoir un As est 4 / 52. Au deuxième tirage et sachant qu'un As ait déjà été tiré, il reste 3 As sur 51 cartes. (4/52) x (3/51) = 0,00452.Quel est la probabilité de tirer un as ?
1) il y a 8 piques dans le jeu de 32 cartes donc 8/32=1/4 est la probabilité de tirer un pique. 2) il y a 4 as dans le jeu de 32 cartes donc 4/32=1/8 est la probabilité de tirer un as.Quelle est la probabilité de tomber sur un as dans un jeu de 32 cartes ?
Solution : Dans un jeu de 32 cartes, il y a 3 as ( le carreau, le tr?le, le pic ), 1 as cœur et 7 cœurs . Il y a donc 11 chances sur 32 de tirer un as ou un coeur soit une probabilité de 32 11 .- Quelle est la probabilité que ce soit un Tr?le ? Notes : l'équiprobabilité des tirages est assurée par l'expression "au ha- sard". Il ya 8 Tr?les dans un jeu de 32. Donc P("Tirer un Tr?le") = 8 32 = 1 4 .
Tutorat MAP311 : Feuille d"exercices 1
NicolasKielbasiewicz?
15 juin 2007
1 D´enombrement
Exercice 1.1On tire au hasard 2 cartes dans un jeu de 52 cartes.1. Quelle est la probabilit´e pour que la couleur des 2 cartes soit♠?
2. Quelle est la probabilit´e pour que les deux cartes ne soient pas de la mˆeme couleur (♠,♥,♦,♣)?
3. Quelle est la probabilit´e pour que la premi`ere carte soit un♠et la seconde un♥?
4. Quelle est la probabilit´e pour qu"il y ait un♠et un♥?
5. Quelle est la probabilit´e pour qu"il y ait un♠et un as?
Correction de l"exercice 1.1On tire au hasard 2 cartes dans un jeu de 52 cartes.1. Quelle est la probabilit´e pour que la couleur des 2 cartes soit♠?
Puisqu"on tire deux cartes, il s"agit d"un tirage sans remise. Par cons´equent, on peut consid´erer que
l"on tire les deux cartes de mani`ere successive. Nous avons donc 13 cartes possibles sur 52 pour tirer
un♠`a la premi`ere carte. Une fois cela fait, il reste 12♠dans un jeu de 51 cartes pour la secondes.
On en d´eduit donc que :
P({♠,♠}) =1352
1251=117
2. Quelle est la probabilit´e pour que les deux cartes ne soient pas de la mˆeme couleur (♠,♥,♦,♣)?
On utilise la r´esultat de la question pr´ec´edente. Les 4 ´ev`enements"avoir 2♠","avoir 2♥","avoir 2
♦"et"avoir 2♣"´etant clairement ind´ependants et ´equiprobables, on en d´eduit `a travers la formule
de l"´ev`enement contraire que : P(2 cartes de couleurs diff´erentes) = 1-4P({♠,♠}) =13173. Quelle est la probabilit´e pour que la premi`ere carte soit un♠et la seconde un♥?
On utilise le mˆeme raisonnement que la premi`ere question. Nous avons 13♠sur le tirage de la
premi`ere carte sur 52 cartes. Il reste donc 13♥sur 51 cartes pour la deuxi`eme carte. On en d´eduit
donc que :P({♠,♥}) =1352
1351=13204
4. Quelle est la probabilit´e pour qu"il y ait un♠et un♥?
On va utiliser une formule de d´ecomposition. Avoir un♠et un♥signifie ou bien avoir le♠en
premier et le♥en deuxi`eme ou l"inverse. Ces deux ´ev`enements sont ´equiprobables et ind´ependants.
On en d´eduit donc que :
P({♠,♥},{♥,♠}) = 2P({♠,♥}) =13102Unit´e de Math´ematiques Appliqu´ees,´Ecole Nationale Sup´erieure de Techniques Avanc´ees
15. Quelle est la probabilit´e pour qu"il y ait un♠et un as?
On va encore utiliser une d´ecomposition pour calculer la probabilit´e de cet ´ev`enement not´eA. La
diff´erence essentielle dans cette question est que les deux ensembles valeurs / couleurs ne sont pas
disjoints. Notre d´ecomposition devient ou bien avoir l"as de♠et une autre carte, ou bien avoir un
♠qui n"est pas un as et un as qui n"est pas un♠. Dans les deux cas, l"ordre importe peu, comme
dans la question pr´ec´edente. On en d´eduit donc que :P(A) = 2P(1♠,?) + 21252
351=252 +613?17=2926?17
Exercice 1.5Une urne contientrboules rouges etbboules bleues.
1. On tire avec remisepboules. Calculer la probabilit´e pour qu"il y aitprboules rouges etpbboules
bleues.2. On tire sans remisep < r+bboules. Calculer la probabilit´e pour qu"il y aitpr< rboules rouges et
p b< bboules bleues.3. Calculer dans les deux cas les probabilit´es limites quandr-→ ∞,b-→ ∞etrr+b-→θ.
Correction de l"exercice 1.5Une urne contientrboules rouges etbboules bleues.1. On tire avec remisepboules. Calculer la probabilit´e pour qu"il y aitprboules rouges etpbboules
bleues.Puisqu"on tire avec remise, la probabilit´e de tirer une boule rouge est ind´ependante des r´esultats des
tirages ant´erieurs. On en d´eduit donc que la probabilit´e de tirer une boule rouge estrr+b. Puisqu"on
tireprboules rouges etpbboules bleues, il nous reste `a d´enombrer les possibilit´es d"obtenir un tel
tirage. Cela revient donc `a d´enombrer les parties `aprboules rouges dans un ensemble `apboules.On en d´eduit donc que :
P((pr,pb)) =?p
p r?? rr+b? pr?br+b? pb2. On tire sans remisep < r+bboules. Calculer la probabilit´e pour qu"il y aitpr< rboules rouges et
p b< bboules bleues.Puisqu"on tire maintenant sans remise, la probabilit´e de tirer une boule rouge d´epend du r´esultat des
tirages ant´erieurs. On va donc proc´eder par d´enombrement. Notre univers est l"ensemble des parties
`apboules de l"ensemble total de boules ( de cardinalr+b). Cet univers contient donc?r+b p?´el´ements. Puisqu"on s"int´eresse aux ´el´ements contenantprboules rouges etpbboules bleues, on en
d´eduit que le nombre de ces ´el´ements est?r p r?? b p b? . On en d´eduit donc que :P((pr,pb)) =?
r p r?? b p b?? r+b p?3. Calculer dans les deux cas les probabilit´es limites quandr-→ ∞,b-→ ∞etrr+b-→θ.
Le passage `a la limite dans le r´esultat de la premi`ere question est imm´ediat. On obtient :P((pr,pb)) =?p
p r? pr(1-θ)pb 2 Pour la r´esultat de la deuxi`eme question, on d´eveloppe les coefficients binomiaux :P((pr,pb)) =?
r p r?? b p b?? r+b p? ?p p r? r!(r-pr)!b!(b-pb)!(r+b)!(r+b-pr-pb)! =?p p r? r(r-1)···(r-pr+ 1)b(b-1)···(b-pb+ 1)(r+b)(r+b-1)···(r+b-pr-pb+ 1) ≂∞?p p r? rprbpb(r+b)pr+pb ?-→?p p r? pr(1-θ)pb2 Formule du crible et applications
Exercice 2.1 (La formule du crible)SoitA1,A2, ...Andes ´ev`enements.1. Montrer queP(A1?A2) =P(A1) +P(A2)-P(A1?A2).
2. Montrer la formule du crible par r´ecurrence.
P n? i=1A i? =n? p=1(-1)p+1?3. Montrer par r´ecurrence surnque pour1< m < n,
m p=1(-1)p+1? est une majoration (resp. minoration) deP(?ni=1Ai)lorsquemest impair (resp. pair). Correction de l"exercice 2.1SoitA1,A2, ...Andes ´ev`enements.1. Montrer queP(A1?A2) =P(A1) +P(A2)-P(A1?A2).
On va utiliser une formule de d´ecomposition de l"´ev`enementA1?A2en ´el´ements disjoints, `a savoir
A1etA2\(A1?A2), autrement ditA1etA2?Ac1. On d´ecompose de mˆemeA2suivant la partition
A1etAc1. On obtient donc :
?P(A1?A2) =P(A1) +P(A2?Ac1)P(A2) =P(A2?A1) +P(A2?Ac1)
d"o`u le r´esultat cherch´e.2. Montrer la formule du crible par r´ecurrence.
P n? i=1A i? =n? p=1(-1)p+1?On a montr´e dans la question pr´ec´edente le r´esultat pourn= 2. Avant de poursuivre la r´ecurrence,
regardons ce que donne la formule pourn= 3 : P(A?B?C) =P(A) +P(B) +P(C)-P(A∩B)-P(A∩C)-P(B∩C) +P(A∩B∩C) 3On voit dans cette relation les termes issus de l"ordre 2 auquel on a ajout´e tous les termes contenant
C. On va donc utiliser cette remarque pour la d´emonstration par r´ecurrence. Supposons donc la
propri´et´e vraie `a l"ordren. On a alors en utilisant la propri´et´e `a l"ordre 2 :P(n+1?
i=1A i) =P(n? i=1A i) +P(An+1)-P(? n? i=1A i? ∩An+1) =P(n? i=1A i) +P(An+1)-P(n? i=1(Ai∩An+1)) =P(n? i=1A i) +P(An+1)-n? p=1(-1)p+1?1≥i1<··· Analysons cette formule. Le premier terme correspond `a la propri´et´e d"ordren. Reste `a savoir si les
deux termes suppl´ementaires contiennent tous les termes souhait´es. Si on regarde la formule de rang
n. On constate que quand on consid`ere l"intersection d"un nombre pair (resp. impair) d"´ev`enements,
la probabilit´e associ´ee est pr´ec´ed´ee d"un signe - (resp. d"un signe + ). Quand seulAn+1est impliqu´e,
on a donc le bon signe. Reste `a analyser le dernier terme. La probabilit´e concerne p+1 ´ev`enements
dontAn+1. Quand p est pair (resp. impair), on a donc un nombre impair (resp. pair) d"´el´ements, et
on a bien un signe + (resp -) devant la probabilit´e associ´ee. Ce dernier terme regroupe donc avec
le bon signe toutes les intersections `a n+1 ´ev`enements au plus dontAn+1. On peut donc conclure que la propri´et´e est vraie au rang n+1. 4quotesdbs_dbs42.pdfusesText_42
Analysons cette formule. Le premier terme correspond `a la propri´et´e d"ordren. Reste `a savoir si les
deux termes suppl´ementaires contiennent tous les termes souhait´es. Si on regarde la formule de rang
n. On constate que quand on consid`ere l"intersection d"un nombre pair (resp. impair) d"´ev`enements,
la probabilit´e associ´ee est pr´ec´ed´ee d"un signe - (resp. d"un signe + ). Quand seulAn+1est impliqu´e,
on a donc le bon signe. Reste `a analyser le dernier terme. La probabilit´e concerne p+1 ´ev`enements
dontAn+1. Quand p est pair (resp. impair), on a donc un nombre impair (resp. pair) d"´el´ements, et
on a bien un signe + (resp -) devant la probabilit´e associ´ee. Ce dernier terme regroupe donc avec
le bon signe toutes les intersections `a n+1 ´ev`enements au plus dontAn+1. On peut donc conclure que la propri´et´e est vraie au rang n+1. 4quotesdbs_dbs42.pdfusesText_42[PDF] controle probabilité 1ere s pdf
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