[PDF] Devoir surveillé no 5 Une roue de loterie se

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Devoir surveillé n

o5

Lycée Carnot, E1A

le samedi 2 février 2019 (durée : 3h)

Exercice 1 (INSEEC 2002)Une roue de loterie se compose de secteurs identiques, numérotés de 1 à 12. Une personne fait

tourner la roue devant un repère fixe. On suppose que chaque secteur a la même probabilité de

s"arrêter devant ce repère. À chaque partie un joueur mise une certaine somme d"argent en choississant un, deux ou trois

numéros sur les 12; il est gagnant si le secteur qui s"arrête devant le repère porte l"un des numéros

qu"il a choisis.

Un joueur possèdant un crédit illimité, effectue une suite de parties en adoptant la stratégie suivante :

Il mise sur le chi ffre 1 à la première partie.

S"il perd à lan-ième partie,n>1, il mise uniquement sur les chiffres 1 et 2 à la partie suivante et

s"il gagne à lan-ième partie, il mise sur les chiffres 1, 3 et 5.

1.On notepnla probabilité de l"événementAn: " le joueur gagne lan-ième partie ».

a)Calculer les probabilités conditionnellesPAn(An+1) etPA n(An+1), puis en déduire que :

8n2N; pn+1=112

pn+16 Solution.Conditionnellement àAn, la partie numéron+1 est gagnante si et seulement si la

roue s"arrête sur le1, le3ou le5. Les12possibilités sont supposéeséquiprobables, donc on en

déduit : P

An(An+1) =312

=14et, de même,PA n(An+1) =212 =16

En considérant le système complet (An;A

n), on aP(A n) = 1P(An) = 1pnet :

P(An+1) =P(An\An+1)+P(A

n\An+1) (probabilités totales) =P(An)PAn(An+1)+P(A n)PA n(An+1) (probabilités composées) =pn14 +(1pn)16 112
pn+16 d"où le résultat demandé puisquepn+1=P(An+1). b)En déduire l"expression depnen fonction denet déterminer limn!+1pn.

Solution.La suite (pn) est arithmético-géométrique. On résout l"équation des points fixes :

112
x+16 =x()16 =1112 x()x=211:

On vérifie alors que, pour toutn2N,

p n+1211 =112 pn+16 211
112
p n211 +21112+16
211
112
p n211 +1+1112116 112
p n211 Ceci montre que la suite de terme généralpn211 est géométrique de raison112 . Alors :

8n2N; pn211

=112 n p 0211
!n!10 par convergence des suites géométriques car 112
<1. Donc par somme :pn!n!1211.

2.Soitk2[[1;n]];on noteBkl"événement : " le joueur gagne une seule fois au cours desnpremières

parties et ce gain a lieu à lak-ième partie ». a)À l"aide de la formule des probabilités composées, calculerP(Bn).

Solution.

Puisque la partie numéronest la dernière,Bn=A 1\A 2\A n1\An. Sin>2, la formule des probabilités composées donne alors :

P(Bn) =P(A

1)PA 1(A 2)PA 1\A 2(A 3)PA 1\\A n1(An):

Par équiprobabilitéP(A

1) =1112

et, compte tenu des conditions de l"expérience, PA 1\A

2(A3) =PA

2(A3) =16

; ::: ; PA 1\\A n1(An) =PA n1(An) =16 On obtient donc, par probabilités complémentaires,

8n>2; P(Bn) =1112

n2 facteursz }| { 56
56
56
16 =1172 56
n2:

Sin= 1, on a en revancheP(Bn) =P(A1) =112

b)Soitk2[[1;n1]];calculerP(Bk):

Solution.

Cette foisBk=A

1\ \A

k1\Ak\A k+1\ \A n. Sik>2, on obtient comme précédemment

P(Bk) =1112

56
k2 16 34
56
nk1 =1196 56
n3:

Sik= 1 (etn>2), on obtient de même :

P(B1) =112

34
56
n2 =348 56
n2: c)En déduire la probabiltéqnpour que le joueur gagne une seule fois au cours desnpremières parties.

Solution.

On chercheqn=P(B1[[Bn)où les évènements(Bi)sontdeux à deux incompatibles, donc par additivité : q n=P0BBBBB@n k=1B k1

CCCCCA=n

X k=1P(Bk):

Sin= 1, on a obttientq1=P(B1) =112.

Sin= 2,

q

2=P(B1)+P(B2) =348

56
22
+1172
56
22
=33+1122423=31144: Enfin sin>3, on obtient par additivité des sommes (relation de Chasles) : q n=348 56
n2 +n1X k=21196 56
n3 +1172
56
n2 348
56
n2 +(n2)1196 56
n3 +1172
56
n2 124
56
n2 32 +(n2)114 56
1 +113
124
56
n2316 +(n2)3310 1720
56
n299n43:

Exercice 2 (d"après ECRICOME 2000)SoitE=R3[X]l"ensemble des polynômes à coefficients réels et de degré inférieur ou égal à3. On

désigne parfla fonction qui à tout polynômePdeEassocie le polynômef(P) défini par :

8x2R; f(P)(x) =P(x+1)+P(x):

3.Montrer quefest une application deEversE.

Solution.

Il s"agit de montrer que, pour toutP2E, le polynômef(P)est bien défini que son degré

est inférieur ou égal à 3. Ces conditions sont bien vérifiées carf(P) est de la forme :

qui est une somme de polynômes de degrés inférieurs ou égaux à 3.

4.SoientP=a0+a1X+a2X2+a3X3etQ=b0+b1X+b2X2+b3X3deux éléments deE.

a)Montrer quef(P) =Qsi et seulement si (a0;a1;a2;a3) est solution du système (S) suivant :

8>>>>><>>>>>:2a0+a1+a2+a3=b0

2a1+ 2a2+ 3a3=b1

2a2+ 3a3=b2

2a3=b3

Solution.On développef(P) à l"aide des identités remarquables : f(P) =a0+a1(X+1)+a2(X+1)2+a3(X+1)3+a0+a1X+a2X2+a3X3 = 2a0+a1(2X+1)+a2(2X2+2X+1)+a3(2X3+3X2+3X+1) = (2a0+a1+a2+a3)+(2a1+2a2+3a3)X+(2a2+3a3)X2+2a2X3 Par identification des coefficients de ces polynômes, on en déduit directement quef(P) =Qsi et seulement si (a0;a1;a2;a3) est solution de (S). b)En déduire quefest une bijection.

Solution.

Il s"agit de montrer que, quel que soitQ2E, l"équationf(P) =Qadmet une unique

solutionP2E, c"est-à-dire que(S)est de Cramer d"après la question précédente. Ceci est bien

vérifié car ce système est échelonné, compatible, avec 4 pivots pour 4 inconnues. c)Résoudre le système (S) lorsque (b0;b1;b2;b3) = (0;0;0;1). Que vautf1(X3)?

Solution.

Le système étant échelonnée et de Cramer, la méthode du pivot de Gauss permet d"exprimer l"unique solution. En travaillant sous forme matricielle :

0BBBBBBBBBBB@2 1 1 10

0 2 2 30

0 0 2 30

0 0 0 21

1

CCCCCCCCCCCA()0

BBBBBBBBBBB@4 2 2 01

0 4 4 03

0 0 4 03

0 0 0 21

1

CCCCCCCCCCCAL

1 2L1L4

Lquotesdbs_dbs42.pdfusesText_42

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