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  • Comment calculer un tableau de probabilité ?

    Les probabilités conditionnelles peuvent être déterminées directement à partir de tableaux à double entrée. On peut également utiliser la formule de probabilité conditionnelle, �� ( �� ? �� ) = �� ( �� ? �� ) �� ( �� ) , où �� ( �� ? �� ) est la probabilité que �� et �� se produisent simultanément.

  • Qu'est-ce qu'un tableau de probabilité ?

    Un tableau à double entrée permet de représenter toutes les issues possibles d'une expérience aléatoire à deux épreuves successives. On ne peut l'utiliser que lorsqu'il y a équiprobabilité, c'est-à-dire que toutes les issues possibles d'une expérience ont la même probabilité.

  • Comment faire un calcul de probabilité ?

    Pour un évènement, une probabilité est égale au rapport entre le nombre de résultats favorables et le nombre de résultats possibles de l'expérience aléatoire.
  • Cette formule s'écrit aussi : P(A?B)=P(A)×PA(B). Cette expression s'obtient à partir de la formule initiale en multipliant chacun des membres par P(A).
1

PROBABILITÉS CONDITIONNELLES

Partie 1 : Calculs à l'aide d'un tableau croisé

Définition :

On appelle probabilité conditionnelle de í µ sachant í µ, la probabilité que l'événement í µ se

réalise sachant que l'événement í µ est réalisé. On la note : í µ Méthode : Calculer une probabilité conditionnelle à l'aide d'un tableau croisé

Vidéo https://youtu.be/7tS60nk6Z2I

Un laboratoire pharmaceutique a réalisé des tests sur 800 patients atteints d'une maladie. Certains sont traités avec le médicament A, d'autres avec le médicament B. Le tableau présente les résultats de l'étude :

1) On choisit au hasard un patient et on considère les évènements suivants :

í µ : " Le patient a pris le médicament A. » í µ : " Le patient est guéri. »

Calculer : a) í µ

b) í µ c) í µ d) í µ

2) a) On choisit maintenant au hasard un patient guéri.

Calculer la probabilité que le patient ait pris le médicament A sachant qu'il est guéri. b) On choisit maintenant au hasard un patient traité par le médicament B. Calculer la probabilité que le patient soit guéri sachant qu'il a pris le médicament B.

Correction

1) a) La probabilité qu'un patient soit traité avec le médicament A est égale à :

455
800
≈0,57=57%. b) La probabilité qu'un patient soit guéri est égale à : í µ ≈0,84=84%.

c) La probabilité qu'un patient soit guéri et qu'il soit traité par le médicament A est égale à

≈0,48=48%.

d) La probabilité qu'un patient ne soit pas guéri et qu'il soit traité par le médicament A

est égale à : í µ ≈0,09=9%.

Médicament A Médicament B Total

Guéri 383 291 674

Non guéri 72 54 126

Total 455 345 800

2 2) a)

La probabilité que le patient ait pris le médicament A sachant qu'il est guéri se note í µ

et est égale à í µ ≈0,57=57%. On regarde uniquement la ligne des patients guéris. b) La probabilité que le patient soit guéri sachant qu'il a pris le médicament B se note et est égale à í µ ≈0,84=84%. On regarde uniquement la colonne du médicament B.

Partie 2 : Calculs à l'aide de la formule

Propriété : í µ

+,-.(0∩2) +,-.(0)

On rappelle que Cardinal de A, noté Card(A), désigne le nombre d'issues de l'événement A.

Méthode : Calculer une probabilité conditionnelle à l'aide de la formule

Vidéo https://youtu.be/FR49wu-pVmE

Un sac contient 50 boules, dont :

- 20 boules rouges, - 30 boules noires, où il est marqué soit "Gagné" ou soit "Perdu". - Sur 15 boules rouges, il est marqué Gagné. - Sur 9 boules noires, il est marqué Gagné.

On tire au hasard une boule dans le sac.

Soit R l'événement "On tire une boule rouge". Soit G l'événement "On tire une boule marquée Gagné" Soit í µâˆ©í µ est l'événement "On tire une boule rouge marquée Gagné". a) Calculer la probabilité de tirer une boule marquée Gagné sachant qu'elle est rouge. b) Calculer la probabilité de tirer une boule marquée Gagné sachant qu'elle est noire.

Médicament A Médicament B Total

Guéri 383 291 674

Non guéri 72 54 126

Total 455 345 800

3

Correction

a) Sur 15 boules rouges, il est marqué Gagné, donc .

Le sac contient 20 boules rouges, donc .

La probabilité qu'on tire une boule marquée Gagné sachant qu'elle est rouge est : í±‘5 20 =0,75. b) Sur 9 boules noires, il est marqué Gagné, donc í µí µí µí µ =9.

désigne l'événement " On tire une boule qui n'est pas rouge », soit " On tire une boule qui

est noire ». Le sac contient 30 boules noires, donc í µí µí µí µ =30. La probabilité qu'on tire une boule marquée Gagné sachant qu'elle est noire est : 9 30
=0,3.

Card(R∩G)=15Card(R)=20

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