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Cours d"analyse de données

NicolasWickerCe cours est inspiré de plusieurs sources : les cours de Jean-Jacques Denimal et etSmola(2001).

In troduction

Les données sont typiquement : une matriceX2Mn;p(R)décrivantnindividus etpvariables, une matriceD2Mn;n(R)décrivant des distances, dissimilarités entre nindividus, une matrice de similaritésS2Mn;n(R). D"une manière générale tout objetx2est envisageable, mais c"est uniquement lorsque l"on introduira les noyaux positifs, que l"on pourra les traiter. Traiter des données dansRassure un socle de méthodes qui se déclineront ensuite dans des espaces de Hilbert à noyau reproduisant.

Méthodes f actorielles

2.1

Décom positionen v aleurssingulières

On dispose d"une matriceX npde rangr

Théorème 1 -X

peut s"écrireUDV0oùU2Mn;r(R),V2Mp;r(R),Dmatrice diago- nale,UetVcolonne-orthonormées, c"est-à-dire :U0U=IretV0V=Ir.

Preuve.

Commençons par observer queX0Xa le même rang queX. En effet, soit x2kerX0X,

0Xx= 0

)x0X0Xx= 0 )Xx= 0 )x2kerX Par ailleurs, six2kerX,Xx= 0)X0Xx= 0)kerX=kerX0X. D"où,rgX0X=rgX par le théorème du rang. On en déduit que :X0X=VV0où=diag(1;:::;r)est diagonale aveci>0etV2Mp;rest colonne-orthonormée. On définitDcomme

D=1=2etU= (u1j:::jur) avecui=d1iXvioùdi=p

Cours d"analyse de donnéesN.Wicker

Vérification :

0iuj=d1id1jv0iX0Xvj

=d1id1jv0iVV0vj =d1id1je0iejavece1;:::;base canonique =d1id1jiij =d2iiij =ij Soitxquelconque, on réécritx:x=Pri=1ivi+yavecy2kerX. Ainsi UDV

0x=UDV0(r

i=1 ivi+y) i=1 iUDV0vi i=1 iUDei i=1 idiUei i=1 idid1iXvi =Xx d"oùX=UDV0. 2.2

Principe de l" Analyseen com posantesprincipales

Préambule

Choix d"une métriqueEn général,d(x;y) =

i=1(xiyi)2 . Souvent, on regarde d(x;y)2=kxyk2. Parfois, on a besoin dekxyk2M= (xy)0M(xy)avecM positive (semi-définie positive). Une métrique usuelle est la matrice diagonale

2. Méthodes factorielles

diag(Var

11;:::Var1p) où l"on utilise les variances. Alors :

kxykM= (xy)00

BBBBBBBBB@Var

110
0 Var 1p1

CCCCCCCCCA(xy)

i=1(xiyi)2Var i=1 xipVar iyipVar =kxyk2 oùxetysont les données réduites.

Inertie ou variance

Définition 1 -Le centre de gravité estg=Pni=1mixiavecPni=1mi= 1.Typiquement,mi=1npour touti. On peut donner une masse plus importante à des

données plus fiables que les autres .

Définition 2 -L"inertie estI=Pni=1mikxigk2.

Point de vue statistique

X{N (On)alors sinon singulière,=UDU0et on considèreY=U0Xde telle sorte que

VarY=E(YY0)

=U0XX0U =U0UDU0U On obtient ainsi après changement de variables des gaussiennes marginales indé- pendantes, il suffit alors de choisir celles de plus grandes variances.

Point de vue géométrique

On cherche à maximiser l"inertie lorsque l"on projette les points sur un axe. Proposition 1 -Inertie totale est donnée partrVM.

Cours d"analyse de donnéesN.Wicker

Preuve.

I=n i=1m i(xig)0M(xig) = tr i=1m i(xig)0M(xig) = trMn i=1m i(xig)(xig)0 = trVMAu passage, on remarque que l"inertie totale est égale à la somme des valeurs propres deVM.

L"opérateur de projection estP=aa0Ma

0MaEn effet,

2=aa0Ma

0Maaa 0Ma 0Ma aa0Ma 0Ma=P Pest dit idempotent. Par ailleurs,xP(x)?a, en effet :

0M(xP(x)) =a0M(xaa0Mxa

0Ma) =a0Mxa0Maa0Mxa 0Ma = 0

Calculons l"inertie après projection :

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