Analyse numérique en Python Intégration et dérivation
mitive F de la fonction f puis à déterminer F(b)?F(a). Il n'est cependant pas toujours possible de trouver par le calcul une telle primitive F
Python MP PC
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Calcul dintégrale : méthode des trapèzes Algorithme
13 sept. 2020 En langage Python. • On définit la fonction à intégrer. • On définit la fonction A(ab
Mathématiques et Python
tracer une fonction calculer des valeurs de fonctions usuelles
Intégrale dune fonction continue sur un intervalle quelconque
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Partie 1 : Intégrale et aire
désigner le calcul intégral. 1866) établit une théorie aboutie du calcul intégral. ... Avec Python on programme l'algorithme pour la fonction.
Analyse numérique avec Python
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Les méthodes que nous allons présenter dans la suite s'efforcent d'approximer la fonc- tion f dont on recherche une intégrale par une fonction f aussi proche de
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Évidemment on peut facilement généraliser la méthode au calcul de l'intégrale d'une fonction f — il faut seulement remplacer ?F avec f :
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15 mai 2017 · Calcul approché d'intégrales La fonction quad du module scipy integrate permet de calculer des valeurs approchées d'intégrales Elle
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Nous présentons donc le langage Python et donnerons quelques algorithmes standard pour • calculer des intégrales numériques • interpoler une fonction
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L'objectif de ce cours est d'étendre cette notion pour définir les intégrales de fonctions continues sur un intervalle non fermé ou non borné : [a;+?[ puis [a;
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13 sept 2020 · En langage Python • On définit la fonction à intégrer • On définit la fonction A(abn) qui calcule un approximation de l'intégrale
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OBJECTIF : Programmer en langage Python des méthodes permettant de calculer numériquement des approximations de l'intégrale d'une fonction continue / sur un
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8 oct 2019 · Primitive F connue mais pas une fonction élémentaire (intégrale de exp(?x2)) ? Primitive trop difficile `a calculer numériquement
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— La librairie SciPy qui s'appuie sur NumPy implémente de nombreuses fonctions de calcul numé- rique (résolution d'équations calcul d'intégrales intégration
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15 jui 2020 · Ainsi calculer l'intégrale d'une fonction revient à nous avons trouvé une formule utilisons-la pour écrire un algorithme en Python
Comment calculer une intégrale sur python ?
Pour calculer une intégrale simple avec python il existe le module "quad" de la librairie scipy. Voici un exemple basique d'utilisation: l'intégration de la fonction $f: x\\rightarrow cos(x)$ entre $0$ et $\\frac{9\\pi}{2}$. Pour illustrer l'aire d'intégration avec matplotib, on peut utiliser la méthode ax.Comment faire le calcul d'intégrale ?
1 – Linéarité
1l'intégrale d'une somme de deux fonctions est égale la somme des intégrales (faire ci-dessus)2l'intégrale du produit d'une fonction par une constante est égale au produit de cette constante par l'intégrale de cette fonction (remplacer par la fonction nulle).Quelles sont les applications des intégrales ?
L'intégrale est utilisée pour calculer l'aire située sous une fonction. Cette technique est très utilisée en architecture mais aussi en probabilités continues ou même pour la construction des autoroutes. La primitive est la réciproque de la dérivée.- La fonction quad du module scipy. integrate permet de calculer des valeurs approchées d'intégrales. Elle renvoie une valeur approchée de l'intégrale ainsi qu'un majorant de l'erreur commise. Cette fonction peut aussi s'employer avec des bornes d'intégration égales à +? ou ??.15 mai 2017
Calcul d"intégrales
Alessandro Torcini et Andreas Honecker
LPTMUniversit
´e de Cergy-Pontoise
Calcul d"int´egrales - p. 1
Calculer la superficie d"une surfaceSupposons que nous voulons calculer ;¯ue la superficieAFd"une surfaceF?R2. En
employant son fonction caractéristiqueχF deF,χF(?x) =???1si?x?F
0si?x /?F
Par conséquent, il faut évaluer un intégrale bi-dimensionnel. En peut approximer cette quantité par une somme de Riemann AF=? R 2d2xχF(?x)≈?
iχF(?xi)Ai.
où ?xisont des points discrètes sur le plan , chacun entouré par une superficieAi Probablement vous pensez maintenant à un placement régulier des points?xi, mais ceci n"est pas nécessaire. En effet, un peut prendre une distribution complètement aléatoireCalcul d"int´egrales - p. 2
La méthode de Monte-CarloPratiquement, il faut inclure la surfaceFp.-ex. dans un rectangleR La superficieARdu rectangle est connue et si nous prenonsNpoints dansR
,la superficie moyenne estAi=AR/N Par conséquent, pourF?Rnous trouvons l"approximation AF=? R d2xχF(?x)≈AR
NN i=1χF(?xi).
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1x00.20.40.60.81
y Exercice(Estimerπen lançant des fléchettes):TirezN= 100 000couples(xi,yi)avecxi,yi,?[0,1).
Comptez le nombre de cas quandx2i+y2i<1et
estimez la probabilité de trouver(xi,yi)à l"intérieur de cet cercle, voir Figure. Estimez l"erreur de cette quantité et comparez-la avecπ/4.Utiliseznp.random.random_sample(). Générateur aléatoire entre[0 : 1)avec distribution uniformeCalcul d"int´egrales - p. 3
La méthode de Monte-Carlo# pi et la m´ethode de Monte-Carlo import numpy as np # importer le module comme "np"N=1000 # nombre de points
cnt = 0 var = 0 for i in range(0,N): x = np.random.random_sample() # tirer le couple (x,y) y = np.random.random_sample() if x *x + y*y < 1: # le couple est-il dans le cercle ? cnt += 1 # si oui : compter var += 1 **2 moy = cnt/float(N) # la moyenne var= var/float(N) -moy *moy # la variance ecart = np.sqrt(var/N) # ecart type de la moyenne print "compte =", moy, "+/-", ecart print "pi/4 =", np.pi/4 print "(erreur =", np.abs(moy-np.pi/4), ")"Calcul d"int´egrales - p. 4
L"intégrale d"une fonctionÉvidemment, on peut facilement généraliser la méthode au calcul de l"intégrale d"unefonctionf
il faut seulement remplacerχFavecf:
R d2xf(?x)≈AR
NN i=1f(?xi).Plus généralement, siRest une région
enddimensions avec volumeVR, on a l"approximation R d dxf(?x)≈VR NN i=1f(?xi).En une dimension (d= 1)
l"intervalle[a,b]est une région avec " volume »V[a,b]=b-a. Par conséquent, en une dimension la prescription Monte Carlo devient b? a dxf(x)≈b-a NN i=1f(xi), oùxisontNpoints tirés avec distribution uniforme dans l"intervalle[a,b].Calcul d"int´egrales - p. 5
L"intégrale en une dimensionimport numpy as np # importer le module comme "np"# si on passe la fonction f comme parametre, on peut definir une methode
# "universelle" pour le calcul de l"integrale Monte Carlo # N le nombre de points on peut preciser N comme intMC.N # L"intervalle de confiance se trouve dans intMC.erreur def intMC(f, a, b): # a est la borne inferieure et b le borne superieur somme, somme2 = 0, 0 i = 0 while iCalcul d"int´egrales - p. 6
L"intégrale en une dimension# la fonction :def f1(x):# xˆ2 return x *x # maintenant on peut utliser une boucle pour realisier les valeurs de N for N in [1e2, 1e3, 1e4]: print "N =", N intMC.N = N print "I1 = ", intMC(f1, 0, 1), "+/-", intMC.erreur, "(exact: 1/3)"Calcul d"int´egrales - p. 7
Formules de quadratureUne
approche déterministe utilise une décomposition du domaine en morceaux. Pour l"illustrer, nous discuterons le cas d"une dimensionApproximation simple
L"approximation la plus simple d"une intégrale d"une fonctionfsur un intervalle[a,b]est donné par la superficie d"une rectangle de(b-a)et la valeur de la fonction à la borne inférieure : b? a dxf(x)≈(b-a)f(a) =:F1. Pour estimer l"erreur faite avec telle approximation, nousutilisons une exapnsion en série de Taylor : f(x) =f(a) + (x-a)f?(a) +... , soit b a dxf(x) =b a dx?f(a) + (x-a)f?(a)?+...= F1 (b-a)22f?(a)
L"erreur de l"approximation pour
F1 est donc proportionnel à (b-a)2Calcul d"int´egrales - p. 8
Méthode du point médianOn arrive très facilement à une approximation meilleure; ilfaut seulement prendre le
milieu d"intervalle[a,b]pour évaluerfet pas la borne inférieure : b? a dxf(x)≈(b-a)f?a+b 2? =:F2.Avec l"expansion de Taylor autour de
xm=a+b 2 f(x) =f(xm) + (x-xm)f?(xm) +(x-xm)22f??(xm) +...
on trouve b a dxf(x) =b a dx? f(xm) + (x-xm)f?(xm) +(x-xm)22f??(xm)?
F2 (b-a)324f??(xm)
L"erreur de l"approximation
F2 est donc proportionnel à (b-a)3.Par conséquent, si
b-aest petit, l"approximation F2 est meilleure de l"approximation F1.Calcul d"int´egrales - p. 9
Méthode de SimpsonSi on utilise les bornes inférieures et supérieures et aussile milieu de l"intervalle, on
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