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Algèbre M1 Cours 1

Extension de corps

14 Septembre 2010

Définition

DéfinitionExtension de corps.Soitkun corps. Une extension dekest unek-algèbre(K,i)oùKest un corps c"est-à-dire un couple oùKest un corps eti:k→Kun morphisme d"anneaux unitaires.

ExemplesC(ou plutôt(C,i)aveci:x?R?→x1

C?C) est une

extension de corps deR.

R(T)est une extension de corps deR.

RemarqueLe morphismeiest injectif et permet d"identifierkau sous-corpsi(k)deK. On peut munirKd"une structure dek-espace vectoriel. Comment? La dimension deKsurkest noté[K:k]. D"une manière générale, dans ce cours, siEest unk-espace vectoriel, on note [E:k] =dimkE PropositionBase télescopique.SoientKune extension de ketEunK-espace vectoriel. On a alors [E:k] = [E:K][K:k]

RemarqueQuelle est la dimension deC

nen tant queR-espace vectoriel? En donner uneR-base.

Définition

Morphisme d"extensions.Soient(K,i)et(L,j)

deux extensions dek. Un morphisme d"extensions dekde(K,i) dans(L,j)est un morphisme d"anneaux (unitaires)f:K→L vérifiantf◦i=j(ce n"est rien d"autre qu"un morphisme de k-algèbres). Le diagramme suivant est commutatif K f??L k

Morphisme d"extensions

ExemplesSoit(K,i)une extension dek. On vérifie queidKest un morphisme d"extensions deKdans lui-même.

On considère l"ensembleC

1:=R2muni des lois

(x,y) + (x ?,y?) = (x+x?,y+y?)et (x,y)(x ?,y?) = (xx?-yy?,xy?+yx?)et du morphisme i

1:x?R?→(x,0)?C1. Vérifier que c"est une extension de corps

deR. Vérifier que la structure naturelle d"espace vectoriel surRde C

1coïncide avec la structure d"espace vectoriel donnée par la

structure d"extension.

On considère l"extensionC

2:=R[X]/(X2+1)deR. Quel est le

morphisme deRdansC

2sous-jacent à l"extension?

Vérifier queC

1etC2sont deux extensions isomorphes deR.

RemarqueUn morphisme d"extensions est nécessairement injectif (pourquoi?) et est aussik-linéaire (à vérifier!). En particulier, pour qu"il existe un morphisme d"extensions deKdans L, il faut que[L:k]?[K:k]. (La condition est-elle suffisante?)

Sous-extension

DéfinitionSous-extension.Soitkun corps et(K,i)une extension dek. Une sous-k-extension de(K,i)est un sous-corpsL deKcontenanti(k). Le couple(L,i)est alors une extension dek et l"inclusion deLdansKest un morphisme d"extensions. RemarqueUne intersection de sous-extensions est une sous-extension =?notion de sous-extension engendrée. NotationSoitkun corps et(K,i)une extension dek. SoitA une partie deK. La sous-extension engendré parAest notéek(A) c"est le plus petit sous-corps contenant ketA. ExemplesDansC, le sous-corps engendré pariestQ(i), la sous-R-algèbre deCengendré pariestC:C=R(i). ExemplesNe pas confondre la sous-algèbre deKengendrée parA notéek[A]et la sous-extension deKengendrée parAnotéek(A).

DansR(T), siA=?T

2?, on distingueR[T2]etR(T2).

ExerciceSoientkun corps,(K,i)une extension deketAune partie deK. Montrer que k[A] ={P(a k(A) ={P(a

1,...,an)/Q(a1,...,an),n?N,a1,...,an?A,

P,Q?k[X

1,...,Xn],Q(a1,...,an)?=0}

ExerciceComparer

(i)R[i]etR(i) (ii)Q[i]etQ(i) (iii)R[T

2]etR(T2)

(iv)Q[π]etQ(π) (v)Q[⎷

2]etQ(⎷2)

(vi)Q[e]etQ(e)

Élément algébrique

Soit(K,i)une extension dek. Pourx?K, on désigne par x:k[X]→Kl"unique morphisme dek-algèbres tel que x(P) =P(x). Son image estk[x]?K.

PropositionSoit(K,i)une extension deketx?K. Les

propriétés suivantes sont équivalentes (i) La famille(x k,k?N)est liée surk (ii) Il existeP?k[X]?{0}tel queP(x) =0 (iii)? xn"est pas injectif (iv)k[x] =k(x) (v)[k[x] :k]< (vi)[k(x) :k]< (vii) Il existe une sous-algèbreLdeKcontenantxtelle que [L:k]< (viii) Il existe une sous-extensionLdeKcontenantxtelle que [L:k]<

Un telxest dit

algébrique surk.

Élément transcendant

DéfinitionÉlément transcendant.Soit(K,i)une extension deketx?K. Les propriétés suivantes sont équivalentes (i) La famille(x k,k?N)est libre surk (ii) SiP(x) =0 avecP?k[X]alorsP=0 (iii)? xest injectif (iv)k[X] k-alg.?k[x] (v)k(X) k-alg.?k(x) (vi)[k[x] :k] = (vii)[k(x) :k] =

Un telxest dit

transcendant surk.

Élément algébrique : le retour

PropositionÉlément algébrique (suite).Soit(K,i)une extension deketx?Kun élément algébrique.

Il existe un unique polynôme unitaireP

x?k[X]tel que Ker? x= (Px). Le polynômePxest appelépolynôme minimal dex.

Le polynômeP

xest irréductible. Les éléments deKer?xsont appelés polynômes annulateurs dex. Inversement, soitP?k[X]un polynôme irréductible qui est un polynôme annulateur dex. Alors, il existeλ?k

×tel queP=λPx.

On a[k[x] :k] =degP

x. Cet entier est notédegk(x)et appelé degré dexsurk.

Proposition

Ensemble des éléments algébriques.Soit

(K,i)une extension dek. L"ensemble des éléments deK algébriques surkest une sous-extension dekappelée fermeture algébrique dekdansK

Extension algébrique

DéfinitionSoit(K,i)une extension dek. On dit queKest une extension finie deksi[K:k]<+∞. On dit queKest une extension algébrique deksi tout élément deKest algébrique surk (ou encore siKest la fermeture algébrique dekdansK). Une extension finie est toujours algébrique. La réciproque est fausse. ExerciceMontrer que la fermeture algébrique deQdansCest une extension algébrique deQqui n"est pas une extension finie. Déterminer la fermeture algébrique deRdansR(T).

Proposition

Transitivité de l"algébricité.Soit(K,i)une extension algébrique deket(L,j)une extension deK. Un élément x?LdeLest algébrique surksi et seulement sixest algébrique surK. Lest une extension algébrique deksi et seulement siLest une extension algébrique deK. ExerciceSoit(K,i)une extension deketx1,...,xn?K. Les propositions suivantes sont équivalentes : (i)x i+1algébrique surk(x1,...,xi)pour touti? {0,...,n-1} (ii)x ialgébrique surkpour touti? {1,...,n} (iii)[k(x

1,...,xn) :k]<+∞

(iv)k(x

1,...,xn)algébrique surk.

Exercice

Endomorphisme et automorphisme.Soitkun

corps et(K,i)une extension algébriquedeketσun endomorphisme de(K,i). Montrer queσest un automorphisme de (K,i). Montrer queσpeut ne pas être un automorphisme siKn"est pas algébrique.

Caractéristique

PropositionLa caractéristique d"un corps (comme d"ailleurs celle d"un anneau intègre) est zéro ou un nombre premier. Tout corps de caractéristique nulle est une extension deQet ceci de façon unique. Tout corps de caractéristiquep(avecppremier) est extension de façon unique deF p:=Z/pZ. Soitkun corps. L"intersection des sous-corps dekest le plus petit sous-corps dek. Il est appelé sous-corps premier dek. C"est l"image de l"unique morphisme deQouF pdansk.

ExerciceSoientKetK

?deux corps de caractéristique différentes. Montrer qu"il n"existe pas de morphismes d"anneaux unitaires deK dansK

Corps de rupture : problématique

Le polynômeX2+1?R[X]n"a pas de racine dansR. Pour remédier à ce problème, on crée le corpsC:=R[X]/(X 2+1).

DansC, le polynômeT

2+1 a une racine qui est la classe deX.

SoitP?k[X]un polynôme. Peut-on trouver un corps (une extension dek) dans lequelPa une racine? Dans quelle mesure, une telle extension est-elle unique?

SiPn"est pas irréductible, on écritP=P

1P2avecP1,P2non

inversible. Il suffit de trouver une racine deP

1ou deP2. Ainsi, en

continuant la factorisation, il suffit de trouver des racinesaux polynômes irréductibles surk. Cette même factorisation en irréductibles montre que siPn"est pas irréductible, il n"y a aucune chance d"obtenir une quelconque propriété d"unicité du corps dans lequelPa une racine. Par exemple, surR, avecP=X(X

2+1),R

etCsont deux corps dans lesquelsPadmet une racine. De même, si on n"impose pas un propriété de minimalité de l"extension cherchée, aucune chance d"avoir unicité : les extensionsQ(⎷ 2)et

Ccontiennent des racines deP=X

2-2.

Corps de rupture : solution

DéfinitionCorps de rupture.SoitP?k[X]un polynôme irréductible. Uncorps de rupture surkpourPest un triplet (K,i,a)où(K,i)est une extension deketa?Kvérifiant

P(a) =0 etK=k(a).

Proposition

Existence, unicité et propriété universelle.

SoitP?k[X]un polynôme

irréductible. Il existe un corps de rupture pourP:k[X]/Pen est un. Par ailleurs, soit(K,i,a)un corps de rupture pourPet considérons (L,j)une extension deketb?LvérifiantP(b) =0. Il existe un unique morphisme d"extensionsσde(K,i)dans(L,j)vérifiant

σ(a) =b.

Soit(K,i,a)et(L,j,b)deux corps de rupture pourP. Il existe un unique isomorphisme d"extensionsσde(K,i)dans(L,j)vérifiant

σ(a) =b.

Le degré d"un corps de rupture est donc bien défini et c"est le degré du polynôme. Un corps de rupture dePest isomorphe àk[X]/P.

Corps de rupture : exercices

ExerciceSoientkun corps etKune extension dekde la forme

K=k(a)avecaalgébrique surK.

Montrer queKest un corps de rupture pour le polynôme minimal dea. SoitLune extension dek. Montrer que l"application?Hom k-alg.(K,L)-→ {x?L,P(x) =0}

σ?-→σ(a)

est une bijection.

ExerciceQuel est " le » corps de rupture deX

2+1 surR,Q,C,

Q(i),Q(⎷

2)? Les questions posées ont-elles un sens?

Montrer que le polynômeP=X

3-2 est irréductible surQ.

Montrer qu"il existe trois sous-corps deCqui sont des corps de rupture pourPsurQ.

Corps de décomposition :

problématique Étant donné un polynômePà coefficients dansk, on sait construire une extension dekdans lequelPa une racine. On cherche maintenant à agrandir encore le corps pour scinder le polynômeP: existe-t-il une extension dekdans laquellePest scindée. Dans quelle mesure une telle extension est-elle unique? Bien entendu, une extension d"une extension dans laquellePest scindé est encore une extension dans laquellePest scindé. Ainsi, on ne peut espérer de résultats d"unicité qu"en demandant des propriétés de minimalité sur l"extension dans laquellePest scindé.

Corps de décomposition : solution

DéfinitionCorps de décomposition.SoitP?k[X]un polynôme. Un corps de décomposition de P surkest une extension (K,i)dans laquellePest scindé (Pest produit de polynômes de degré 1) etK=k(x

1,...,xn)oùx1,...,xnsont les racines deP

dansK.

Proposition

Existence et unicité.Pour toutP?k[X], il

existe un corps de décomposition dePsurk.

Si(K,i)et(K

?,j)sont deux corps de décomposition dePsurk, il existeσ:K→K ?un isomorphisme d"extensions de(K,i)dans (K ?,j). Il n"y a pas de propriété universelle du corps de décomposition, sinon il n"y aurait pas de théorie de Galois!

Corps de décomposition : exercices

ExerciceDéterminer dansCun corps de décomposition de X

3-2 surQ. Le comparer à son corps de rupture.

SoientP?k[X]un polynôme irréductible de degré 2. Montrer qu"un corps de rupture dePest un corps de décomposition deP.

Exercice

Une autre propriété d"unicité pour les corps de décomposition.SoitP?k[X]etKune extension dekdans laquellePest scindé. Montrer qu"il existe un unique sous-corps de

Kqui est un corps de décomposition dePsurk.

A-t-on un résultat analogue pour les corps de rupture?

Corps algébriquement clos

PropositionSoitkun corps. Les propositions suivantes sont

équivalentes

(i) Tout polynôme non constant à coefficients danskadmet une racine dansk (ii) Les éléments irréductibles dek[X]sont les polynômes de degré 1 (iii) Tout polynôme non constant est produit de polynômes de degré 1 (iv) Si(K,i)est une extension algébrique dekalorsiest un isomorphisme. Un corps vérifiant ces propriétés est dit algébriquement clos. Par exemple,Cest algébriquement clos.

DéfinitionSoitkun corps. Une

clôture algébrique dekest une extension(K,i)dekoùKest algébriquement clos et(K,i)est algébrique surk.Cest une clôture algébrique deRmais pas deQ.

Clôture algébrique

PropositionSoientKun corps algébriquement clos etkun sous-corps deK. La fermeture algébrique dekdansKest une clôture algébrique dek.

Par exemple,

Q={x?C,xalgébrique surQ}est une clôture

algébrique deQetCn"est pas une clôture algébrique deQ.

Proposition

Théorème de Steinitz.Tout corps admet une

clôture algébrique. Soient(K,i)et(K ?,j)deux clôtures algébriques dek. Alors les extensions(K,i)et(K ?,j)sont isomorphes. Lemme

Théorème de prolongement.Soient(K,i)une

extension algébriquedeket(K?,j)une extension algébriquement close. Alors il existe un morphisme de(K,i)dans(K ?,j). ExerciceSoientkun corps et(K,i)une extension algébrique de k. Montrer queketKont même clôture algébrique.

Applications : Corps finis

Soitkun corps fini (c"est-à-dire de cardinal fini). Sa caractéristique est nécessairement un nombre premierp. Ainsikest une extension deFquotesdbs_dbs33.pdfusesText_39

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