[PDF] [PDF] Séries Chronologiques Feuille d'exercices n?1 :

View - Download [PDF] Séries Chronologiques

Previous PDF

Next PDF

S´eries Chronologiques

Exercices et TP

Agn`es Lagnoux

lagnoux@univ-tlse2.fr ISMAG

MASTER 1 - MI00141X

M1 ISMAG

MI00141X - S´eries chronologiques

Feuille d"exercices n°1 : Introduction aux s´eries chronologiques

Exercice 1

Montrer si les suites ci-dessous sont p´eriodiques ou de somme nulle (et discuter selon les valeurs deaet deb) :

1.?t?Z,st=acos(2πt

p);

2.?t?Z,s2t=aets2t+1=bavecaetbdeux r´eels;

3.?t?Z,st=abtavecaetbdeux r´eels;

Exercice 2

D´emontrer le r´esultat de cours suivant :

Toute composante de somme nulle sur une p´eriodepest p´eriodique de p´eriodep.

Exercice 3

On consid`ere le mod`ele additif :

?t?Z, Xt=Zt+St+?t, o`u (Zt)test une tendance, (St)tune composante saisonni`ere de p´eriodepet (?t)tune suite de variables al´eatoires iid de carr´e int´egrable (la variance sera not´eeσ2).

1. Calculer l"esp´erance deXtpour toutt?Z.

2. Calculer la variance deXtpour toutt?Z.

3. Calculer la covariance entreXtetXspour tout (t,s)?Z2.

Exercice 4

Mˆeme questions que l"exercice 3 lorsque l"on consid`ere lemod`ele multiplicatif : ?t?Z, Xt=ZtSt+?t, o`u (Zt)test une tendance, (St)tune composante saisonni`ere de p´eriodepet (?t)tune suite de variables al´eatoires iid de carr´e int´egrable (la variance sera not´eeσ2).

Exercice 5

Mˆeme questions que l"exercice 3 lorsque l"on consid`ere lemod`ele multiplicatif complet : ?t?Z, Xt=ZtSt?t, o`u (Zt)test une tendance, (St)tune composante saisonni`ere de p´eriodepet (?t)tune suite de variables al´eatoires iid de carr´e int´egrable (la variance sera not´eeσ2).

Exercice 6

On consid`ere la s´erie suivante du nombre de v´ehicules `a un p´eage autoroutier de Midi- Pyr´en´ees selon la plage horaire observ´e pendant 4 jours : 1234

0h-6h1394209323432839

6h-12h2469282430263841

12h-18h1665211627793009

18h-24h2588293435613579

1. Repr´esenter graphiquement cette s´erie. On num´erotera les donn´ees de 1 `a 16.

2. D´eterminer s"il s"agit d"un mod`ele additif ou multiplicatif.

Exercice 7

On consid`ere la s´erie suivante

ti12345678910 yi58403115181599108

1. Repr´esenter graphiquement cette s´erie.

2. On se propose d"ajuster une tendancefde la formef(t) =1

at+b.

Justifier ce choix pourf.

3. Estimer directement leaet lebpar la m´ethode des points m´edians.

4. Proposer un changement de variable appropri´e de fa¸con `a obtenir un mod`ele lin´eaire.

D´eterminer ensuite les coefficientsaetb

- par la m´ethode des moindres carr´es ordinaires; - par la m´ethode des points m´edians.

5. Repr´esenter les trois tendances obtenues sur le graphique pr´ec´edent.

Exercice 8

Le tableau suivant donne le chiffre d"affaires (CA)yd"une entreprise (en milliers d"euros) selon le mois de l"ann´eex:

Ann´ee 1Ann´ee 2

xiJFMAMJJASONDJFMA

1. Repr´esenter graphiquement cette s´erie.

2. Que peut-on dire de la tendance?

3. Proposer un ajustement lin´eaire

- par la m´ethode des moindres carr´es ordinaires; - par la m´ethode des points m´edians.

4. Repr´esenter les deux estimations de la tendance obtenues sur le graphique pr´ec´edent.

5. Proposer une pr´evision pour les mois de Mai et Juin de la 2`eme ann´ee avec chacune

des deux m´ethodes.

M1 ISMAG

MI00141X - S´eries chronologiques

Feuille d"exercices n°2 : Moyennes mobiles et d´ecomposition Quelques exercices pour manipuler les moyennes mobiles

Exercice 1

Calculer les s´eries des moyennes mobiles d"ordre 2, 3 et 4 dela s´erie initialeXtsuivante t1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Xt30 15 5 30 36 18 9 36 45 15 10 60 48 16 8 72

Exercice 2

On a relev´e le nombre de mariages dans une ville du sud-ouestde la France chaque trimestre pendant 3 ans :

200420052006

1101112

2121415

3131517

4111212

1. Repr´esenter graphiquement cette s´erie chronologique(avec p´eriodes superpos´ees puis

avec p´eriodes successives). Commenter.

2. Calculer la s´erie des moyennes mobiles pour un ordre choisi judicieusement, lisser la

courbe.

3. Calculer les coefficients saisonniers (pour le mod`ele additif).

4. Calculer l"´equation de la droite de tendance et tracer cette droite sur le graphique

pr´ec´edent.

5. Utiliser le mod`ele construit pour pr´evoir le nombre de mariages dans cette ville en 2007.

Exercice 3

Dans une grande entreprise, on a mesur´e l"absence journali`ere pendant 4 semaines : chaque semaine comporte 5 jours de travail. Voici les r´esultats (on donne ici le nombre d"employ´es absents) :

Semaine 1Semaine 2Semaine 3Semaine 4

Lundi1245

Mardi0346

Mercredi571011

Jeudi2423

Vendredi0124

1. Repr´esenter graphiquement cette s´erie chronologique(avec p´eriodes superpos´ees puis

avec p´eriodes successives). Commenter.

2. Calculer la s´erie des moyennes mobiles pour un ordre choisi judicieusement, lisser la

courbe.

3. Calculer les coefficients saisonniers (pour le mod`ele additif).

4. Calculer l"´equation de la droite de tendance et tracer cette droite sur le graphique

pr´ec´edent.

5. Pr´evoir le nombre d"absents pour les 3 premiers jours de la cinqui`eme semaine.

Quelques exercices sur les propri´et´es des moyennes mobiles

Exercice 4

Montrer que la composition de toute moyenne mobile avec l"op´erateur retard est com- mutative, i.e. montrer que siMest un moyenne mobile et (Xt)t?Zune s´erie temporelle, alors, ?t?Z, M(BXt) =B(MXt).

Exercice 5

Montrer que les moyennes mobiles sym´etriques v´erifient les propri´et´es suivantes :

1. SiM1etM2sont deux moyennes mobiles centr´ees, alors il en est de mˆeme deM1M2.

2. Une moyenne mobile centr´eeM=BmP(F) est sym´etrique si et seulement siP(B) =

2mP(F).

3. SiM1etM2sont deux moyennes mobiles sym´etriques, alors il en est de mˆeme de

1M2.

Exercice 6Composition de moyennes mobiles

1. Montrer que siXtest une s´erie invariante parM1etM2, alorsXtest invariante par

1M2. Qu"en est-il de la r´eciproque?

2. Montrer que siXtest une s´erie arrˆet´ee parM1ouM2, alorsXtest arrˆet´ee parM1M2.

Qu"en est-il de la r´eciproque?

Exercice 7

1. Soitp?N?. Montrer que la moyenne mobileM= (I-B)p, appel´eeop´erateur de

diff´erence, transforme un polynˆome de degr´epen une constante.

2. Soits?N?. Montrer que la moyenne mobileM=I-Bs, appel´eeop´erateur de

diff´erence saisonni`ere, absorbe les composantes saisonni`eres de p´eriodes.

3. Soientpets?N?. Que se passe-t-il lorsqu"on applique la moyenne mobileM=

(I-Bs)o(I-B)p+1`a la s´erie temporelle t=Zt+St+?t o`uZest une tendance polynˆomiale de degr´ep,Sune composante saisonni`ere de p´eriodeset?un bruit blanc?

Exercice 8

Soitq?N?. Montrer que la moyenne mobile sym´etrique impaireMd´efinie par M=1

2q+ 1q

i=-qB absorbe les composantes saisonni`eres de p´eriode 2q+1 et conserve les polynˆomes de degr´e Quelques exercices sur des moyennes mobiles particuli`eres Exercice 9On s"int´eresse dans cet exercice `a la moyenne arithm´etique d"ordre 5.

1. Ecrire son polynˆome associ´e.

quotesdbs_dbs7.pdfusesText_5

[PDF] les nombres réels exercices corrigés pdf exo7

[PDF] exercices sur les nombres réels seconde

[PDF] exercices corrigés sur les alcènes et alcynes pdf

[PDF] exercices corrigés olympiades mathématiques 2004

[PDF] exercices corrigés photosynthèse seconde

[PDF] corrigé livre physique terminale s hatier

[PDF] livre physique chimie terminale s hachette élève

[PDF] exercice vitesse moyenne et instantanée

[PDF] introduction probabilités conditionnelles

[PDF] exercice produit vectoriel mécanique

[PDF] exercices corrigés produit vectoriel dans lespace

[PDF] cours mouvement dun projectile

[PDF] proposition subordonnée complétive exercices cm2

[PDF] radioactivité exercices corrigés pdf

[PDF] les exercice de rdm avec solution