[PDF] Olympiades Mathématiques Belges

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Olympiades

Math´ematiques

Belges

Recueildequestions

Soci´et´eBelgedes

ProfesseursdeMath´emati que

d'expressionfran¸caise

62003-2006

62003-2006

OlympiadesMath´ ematiquesBelges

Olympiades

math´ematiques belges

Recueildequestions 2003-2006

collationn´eparP.Dupont Soci´et´ebelgedesprofesseursdemath´ema tique d'expressionfr an¸caise 6 2

Tabledesmati` eres

1Pr´ eface5

1.1L'Olympiad emath´ematiquebelge ........... ......7

1.2Tab leaudesparticipationssuccessives ... ........ ...13

1.3L'Olympiad emath´ematiqueinter nationale......... ...14

1.4LaSBPM ef. ......... ... .. ... ... ... ... ..15

1.5Conv entionsutilis´ees....... .............. ... 17

2

Eliminatoiresetdemi-finalesmiNi19

2.1Tab leaudereconstitutiondesquest ionnaires. ..........20

2.2Arithm ´etique&alg`ebre........ .. ......... ... 21

2.3G ´eom´etrie............... ... .. ... ... ... .40

2.4Logique ...... ... ... ... .. ... ... ... ... ..58

2.5Comb inatoire&probabilit´es... ... ..............58

2.6Probl `emes&divers.......... ... ...... .. ... .59

2.7Tab ledesr´ep onses...... ...................66

3

Eliminatoiresetdemi-finalesmiDi 67

3.1Tab leaudereconstitutiondesquest ionnaires. ..........68

3.2Arithm ´etique&alg`ebre........ .. ......... ... 69

3.3G ´eom´etrie............... ... .. ... ... ... .87

3.4Logique ...... ... ... ... .. ... ... ... ... ..110

3.5Comb inatoire&probabilit´es... ... ..............111

3.6Probl `emes&divers.......... ... ...... .. ... .112

3.7Tab ledesr´ep onses...... ...................118

4

Eliminatoiresetdemi-finalesmaXi 119

4.1Tab leaudereconstitutiondesques tionnaires ........... 120

3

4Tabledesmati`eres

4.2Arithm ´etique&alg`ebre....... ... ......... ... 121

4.3G´ eom´etrie&trigonom´etrie.......... ... .......135

4.4An alyse..... ... ... ... ... ... .. ... ... ... 152

4.5Logique ..... ... ... ... ... ... ... .. ... ... 162

4.6Comb inatoire&probabilit´es.. ... ...............163

4.7Probl `emes&divers........... .. ...... ... ... 167

4.8Tab ledesr´epon ses....... ..................174

5Finalesm iNi175

5.1Finale 2003.... ..... ... ... ... ... ... ... .. 175

5.2Finale 2004.... ...... ... .. ... ... ... ... ..176

5.3Finale 2005.... ...... ... ... .. ... ... ... ..176

5.4Fi nale2006... ...... ... ... ... .. ... ... ... 178

6Finales miDi181

6.1Finale 2003.... ...... ... .. ... ... ... ... ..181

6.2Finale 2004.... ...... ... ... .. ... ... ... ..182

6.3Fi nale2005... ...... ... ... ... .. ... ... ... 182

6.4Fi nale2006... ...... ... ... ... ... .. ... ... 183

7Finalesm aXi185

7.1Finale 2003.... ...... ... .. ... ... ... ... ..185

7.2Finale 2004.... ...... ... ... .. ... ... ... ..186

7.3Fi nale2005... ...... ... ... ... .. ... ... ... 187

7.4Fi nale2006... ...... ... ... ... ... .. ... ... 188

Chapitre1

Pr´eface

Commesespr´ ed´ecesse urs,cesixi`emerecueildequestionsdesOlympiades math´ematiquesbelges(2003-2006),est´edit´e dansundoublebut. Lepre mierestdefourniraux enseignantsducours demath ´ematiquesainsi qu'`aleurs´el`ev es,une quantit´eimportantedequestionspouvants'int´egr erd ans lescours dispens´e s.C'estpourquoiles720questionsdes´elimi natoires etdes demi-finales,bienqueres tants´epar´ees selonlest roiscat´egoriesmiNi,miDi et maXi,ont ´et´eregroup´ eesenfonctiondutypedemati` ere(aveclesin´ev itables di cult´esdecegenredeclassemen t)et plac´ ees,autantquep ossible, dansun ordreded i cult´ecroissante. Lede uxi`emeestdepermettre`aquilesouh aitedesep r´eparer` aparticiper`a l'Olympiade.Danscettepe rspective,de stableauxpermetten tdereconstituer facilementlesquestionnaires tels qu'ilsont´et´epropos´ esauxparticipantsde s quatreOlympiades concern´ees. Les48questions pos ´ees lorsdesfinalesconstituentlestroisder nie rscha- pitresdudocumen t. Letextequi faits uite` acepr´eam buleestdeFrancis Buekenhout,le "p`ere» del'Olym piademath´ematiquebelge.Ilc onstitue,tout`alafois,unregardpos´e surune aventureextr aordinairequiad´ebut´een1976 etl'expressiond'une grandeesp´eran ceetd'uneforteconviction:cellequelesj eunesques ontles ´el`evesposs`edenteneuxle sgermesdelacomp´etenceetdu talent. Jecon cluscepetitmot - c'est leplusagr´eable - enremerciantles per- sonnesqu im'ontaid´e dans`alar ´ealisationdecevolume: ClaudeVillers,c he- villeouvri`ere desvolumespr´ec´ edents,quiacettefoise ncoreassur´elep´eni ble 5

6Chapitre1.Pr´eface

travaildeclassementdes question s;ClaudineFestraets,sec r´etairenationale del'Olympiad e,quidactylographiedepui s2004lesquestion nairesetdontj'ai pur ´ecup´ererletravail;etJulesMiewis,quim'a aid´ e`a reconstituerlesfich iers de2003,don tl'origin alavait ´et´eperdu.

PascalDupont

1.1.L' Olympiademath´ematiquebelge7

1.1L'Olympi ademath´ematiquebelge

L'Olympiademath´ematique belgeouO.M.B.estn´eeen1976.Ellea traver s´e sansint erruptiontoutesses´editionsannuellessucc essives.Lesde rni`eresde celles-ciontpermisd'enregistrerp lusde28000in scriptionset environ22000 participantse ectifsenCommun aut´e fran¸caiseetauGrand-Duch´edeLuxe m- bourg. Dequoi rempliru nstadeimportantsionlesr ´eunissait!Ils furentautravai l durantlesmˆem es90minutesaucou rsd'unmˆemeapr`es- midide janvier. Jerec onnaislapaternit´e decette belleorganisationmaisilimportede soulignerquesonp ouvoirorganisateurest laSoci ´et´eBelgedes Professeurs deMath ´ematiqued'expressionfran¸caiseouSBPMefqui compteenviron1200 membres.Ilconvientdesouligner davan tageencorequele suc c`esdel'´epreuve reposeenti`er ementsurunefoulestructur´eedeb´en´evoles. Selonmonestimation prudenteils'agitd'environ400p ersonnes .Desprofesseursqui sechargent d'organiseretdefairep asserleconcours` alabase c'est-`a-dired ansles´ecoles. Cetteobservationn uancemodestementlac´el`ebr eetr´eelled ´emotivationdes enseignants.Ausommetdecetteh i´erarc hieouplutˆotaucen tre, figurentd es responsablesdiversaunombred'unedizain equir´ealisentl'organisation etle fonctionnementparuntravailopiniˆatreetquasiquot idien.Dans cesc as-l`a, onpr´ ef`eresouventnepasciterdenomssouspr ´etextedesoublismaisjeveux m'avancericiencitantdansled ´esord rede spersonnesquiseson tlonguementil- lustr´ees:MariannePotvliege,ClaudineHamoir -Fes traets,Jean-PaulDoi gnon, PascalDupont,Christi anVanHooste,ClaudeVil lers,WillyVanhamme,Lu- cienKie er,M arcDeNeef,Georges Delande, RogerBex,AlfredWar becq , ChristianeVandeputte,PierreV anElsuw´e,MoniqueWilmet,Henr iSt´e- phenne... Lecon cours´evolueentroistourscommeondite ntennis.D'abordl'´ eli- minatoire,puislademi- finaleeten finlafi nale.Lademi-finaleestorganis´ ee dans10centresr ´egio nauxquiontleurs´ equipesderesponsablespropre s.Les responsablesr´egionauxjouentunrˆolecru cialetdi cileenl iaisonav ecles ´ecolesetavecleSecr´e tariatNational.Quelqu es-unsfigurentau nomb redes personnescit´eesci-dess us.Lesdemi-finalesetlesCentr esR´egionauxfurentmis enplacee n1982.Ce sderni` eresann´ ees,lesdemi-fin alesontregroup´eenviron

2500participan tsdurantlesmˆem es90minutesd'unmercrediapr`es- midie n

f´evrier. Quelsfurentetquel ssontlesprin cipesd irecteursdel'O.M.B.? Lepremier gouvernelesautre s.C'estl'imp ortanced esprobl`emesdans l'ac- tivit´emath´ematiquedetout niveauetdetoute´epoque entou tlieu. Cette

8Chapitre1.Pr´eface

importanced´ebordeducadr emath´ematique.JeciteG.Polya( Mathematical

Discovery,1962).

R´esoudreunprobl`eme,c'est chercherunc heminautraversd'une di cult´e,uncheminpourcontou rnerunobstacle ouquipermette d'atteindreunbutqui n'estpasdi rectementacces sible.R´ esoudre desprobl `emesestlepropredel'intelligence,e tl'intelligenceest l'attributpropredelanatu rehumaine:r ´esou dredes probl`emes est l'activit´elaplussp´ecifiq uement humaine. Unepare nth`eses'imposeici.Legrandpublicycomprisses couchesles pluscultiv´ eescontinuent`ar´ep andrefi`erementlest´er´eotypeselon lequell es math´ematiquessontunescienceac hev´ee.Rienn'e stplusfaux.Des centaines demillie rsder´esultatsnouveaux sont publi´eschaqueann´eeet cerythmede productionaconnuunecroissanceacc ´el´ er´eedepuislaRe naissan ce.Ce gigan- tesquechaosque nulnepeut dominer,est fond´esurdesprobl`e mes.Letrai- tementmath´emati qued'informationsconsistenotammentenobservationsde cesinformati onsparlecerveau,avecousans´ echanges entredesi ndividus. L'observationsefaitenformulan tdesqu estions etententant d'yr´epondre.La r´eponsepeutexigerdenouvelle squestionsetain side suite.Certai nesques- tionspeuv entdevenirplussignificativesp arleurpersistance,lasimplicit ´ede leur´enon c´eenvuedem´emorisati onetdetr ansmission,par lesliensqu'elle s ´evoquententredesdomainesplutˆot s´epar´es,etc.Ainsinaissen tdesprobl`eme s. Ila´ et´e ´ecritquelesprobl` emessontlepainquotidiend umath´ematicien.C 'est unfait commun`atoute productionmath´e matiqueet`atou te´ epoque.Une questionpourraitˆe treunprobl`emepourl'e nfantde7ansetd even irtropfa- cile,imm´ ediateunanplustard.Lire33dansla rueestunpr obl` eme`a5ans. Peuapr`es ,ildevientbanal.Peuavant, iles tinaccessible.Chacunestconfron t´e constamment`alar´esoluti ondeprobl` emesm ath´ematiquessoitmodeste ment danslaviequ otidien ne,soitpou rlad´etentesousformedejeu x.Nombreux sontlesmath´em atic iensconvaincusquelesprobl`emesmath´ematiquespeuv ent etdoiv entjouerunrˆoleessen tieldanstouteformation.Nou s´etions quelques- -uns`apartager cetteconvic tionen1976et encore `apr´esent.Maispourquoi faut-ilinsistersi c'esttellemen t´e vident?Ce nel'estpaspourlegrandpub lic. Malheurauprofesseur quip oseraittropdeprob l`emeset surtoutquivoudrait quechacu nenfasse.Ilirait`al'e ncontredu courant´egalitairedominantde plus enplus . Und euxi`emeprincipe`alabasedel'O.M.B. estlaconvictionquel' ´education sedoit d'ˆetre ludique.Pourqu'unindividude8 ansoude65ansprogressedans unpr obl`emeint´eressant ilestpr´ef´erabledestimulersonenthousiasme.Ainsi, l'O.M.B.estunjeu!

1.1.L' Olympiademath´ematiquebelge9

Unt roisi`emeprinciped´ecoulantpour nousdudeuxi`emee stl'int´erˆetdela comp´etition.L'exp´erience´ed ucativesurleterrainmontrequel'enthousiasme peutˆetrestimu l´edemani`ereimportan teparl'id´eedecomp´etition.Onose`a peinel'´ecrire`a notre´epoqueo`ul'id´eedeco mp´etition estdeven ueabusivement exorbitantedanstantd edomainesden osexistenceset` al'oppos´e extirp´eedans ledom ainescolaireaunomdel'´e galitarismeauquelj'aid´ ej `afaitallus ion.S i j'osaisunsarcasme, onpeutc raindrequ'unjouronne fassepl usdemath´ema- tiquesdansnosclas sessouspr´e texteque certainssontav antag´ es.Coll`egues, cen'e stpasunsarcasme!Souscouv ertde math´e matique,onn'o regu`erede probl`emesdansnosclasses.Les b´en´evole squi fontfonctionnerl'O.M.B.etle s jeunesparticipan tsdoiventlesaisirplusoumoinsconsciemment.L'O.M .B. r´epond`aunbesoin troppeuoupass atisf ait. Unquatri `emeprincipequirejointles pr´ec´edentse tquilesd´ eveloppee st depenser nonpas`a quelq ues"anormaux»aimantlesmathsmai s`a tousles enfantsetadolesce nts ,ehoui.Silamath´ematiqueconsistedanssaquintessenc e entraite mentd'informationsparlecerve au,onpeutcroirequ ecette activit ´e constitueunbon entraˆın ementpourc ecerveau,onpeutcroirequecetteac- tivit´eestainsifavorable` alar ´esolution d'autresprobl`emesetonpeut avoir laf aiblessedecroirequecetteactivit´ eest b´en´e fiquepourtous. Quandonde- mande`aquoi serven tlesmathsou qu'ondoutedeleurutilit´eilfautr´epond re parleure cacit´e`aposerdesprobl `emeset`a lesr´esoudre .Encore convient-il quel'enseignementab ordevraimentde sprobl`emes.

Al'O.M. B.en1976,nousallionsdonctenter d'o

rirlajoiedu jeu-comp´e- tition`atoussans forcerpersonne. Uncinq ui`emeprincipe`amesyeux essentielestd'´ec happerau terrorisme desexamens.L'O. M.B.´ev alue.Etdequ ellemani`ereprestigie use pourceux quisortentdulot :´el`ev es,pare nts, profes seurs,´ecoles.Etdequellemani`ere prestigieusepourtous!Lecinqui`em eprincipeestbas´ esurler´ealisme.Com ment faire?S'adresser `adesinscriptionsindividuel les?Pasp ourunecomp´e titionde masse.Tropdi cile`a g´erer.Nousa vonsopt´epourun contactav ecles´ecoles detous r´eseaux.Un pluralismer´eussidanslepouvoi rorgani sateurqu'estla SBPM,dansle sstructuresde l'O.M.B.,dansso nfonctionnementetsurtou t dansl'adh´e siondelabase.S'adresser`atoutesles ´e coles?M aisencore?Nous nepension squ'aux´ecolessecon dairesdetoutes lesfili`eres!P asaux´ecoles primaires.Onpeut certes concevoiruneversi ondel'O.M.B.destin ´eeaux´ecoles primairesmais nousn'´etionspasarm ´epource ttetˆacheet`al'heureactuelle laSBPMef etson"arm´ee»del' O.M.B.nemesemblenttoujou rspasarm ´es pourfranc hircepas.Illeseraprobablement paru neautreinstance.Soi t.Mais commenttouchertou tesles´ecolessecondaires? Ilfallaituneliste d'adresses.

10Chapitre1.Pr´eface

Elle´etaitdisponib ledansunepu blicationduMinist`eredel'

EducationNatio-

nale.Ilfautquec haque´ ecoleparticip antaujeuait unprofesseurresp onsable volontaire.Ilestch arg´e del'inscript iondesconcurrents,ennombrequelconque, der´ eceptionnerlesquestionnaires,defairep asserlepremiertour ,denous communiquerunhistogrammedesr´esultats.Telle ´ecol ep eutavoir400con cur- rents.Telle autrepeutenavoirun seul.Iln'y apasdeclassemento cieldes

´ecolesnimˆemedeclasse mento

cieuxquejesachemaisd esobserv ationsson t possibles.Tousles´el`eves dela1 e `ala6 e

´etaientinvit´esetle sontencore.Le

Secr´etariatNational,uneappellati onquis'e stmainten uemalgr´esoncar act`ere communautaireetl'impressionnantepr´ esen celuxembourgeoise,dresseunhis- togrammeglobalrepr enan tlesr´esultatsdetoutesles ´ecoles etlecommunique `acelle s-ci.Ainsi,chacunpeutsesi tuer.Monclassementserai tparexemple 152
e sur760.P asmal. Etsij'´etais 639 e ?Cen' est qu'unjeuetl'importan t vouslesa vezestde participer.Uneautrefois,j eferaimieu x.Jevoisd'ici votresourirem ´efiant.Et sitricherieilya?R´eponse:siell eexi ste,ellenequotesdbs_dbs4.pdfusesText_8

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