[PDF] [PDF] Cinématique 1: vitesse et accélération instantanées

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Applications des mathématiques

Cinématique

Première partie:

Vitesse et accélération instantanées dans l'espace

Mouvement rectiligne uniforme

Mouvement uniformément accéléré

x z v 0 v 1 v 2 a a

Version pour

Mathematica

Edition 2017

Marcel Délèze

Printed by Wolfram Mathematica Student Edition

Introduction

Mécanique

La mécanique est la partie de la physique qui étudie les mouvements des objets matériels. On peut

l'aborder selon deux points de vue : la cinématique et la dynamique.

Cinématique

La cinématique se contente de décrire le mouvement du point de vue géométrique : position,

vitesse, accélération, trajectoire, courbure, ...

Elle se subdivise en "cinématique du point matériel" et "cinématique des corps étendus". Dans ce

dernier cas, elle considère aussi les mouvements du corps autour du centre de gravité (rotation , ...).

Dynamique

La dynamique s'intéresse aux causes du mouvement : elle lie le mouvement aux forces qui le

régissent. Elle énonce et utilise les lois du mouvement telles que la loi de Newton, la variation de

l'énergie cinétique, etc.

Histoire

Les notions fondamentales de la mécanique classique, le calcul de dérivées et les lois de la

mécanique classique, ont été introduites par Leibniz et Newton dans la deuxième partie du XVII-

ème siècle. Cette science s'est beaucoup développée au XVIII-ème siècle, en particulier avec

Lagrange. Elle est aussi appelée mécanique analytique.

1 Notions de base

1.1 Horaire

Position et vecteur-position (ou vecteur-lieu)

L'espace étant muni d'un repère orthonormé (O, i j k ), la position du mobile est définie par ses coordonnées P x y z

2 1-cinematique.nb

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De manière équivalente, on peut considérer le vecteur-position défini par ses trois composantes

(voir

Formulaires et tables

p. 127) r

OP= x i

y j z k x y z

Horaire

L'horaire des chemins de fer indique, pour certaines heures, la position correspondante :

12 h 03

Lausanne

12 h 42

Genève

Par analogie, nous appelons horaire la fonction qui, à chaque instant, donne le vecteur-position r t correspondant. Il s'agit d'une fonction vectorielle : t r t x t y t z t Pour définir un mouvement dans l'espace, il faut donner trois fonctions scalaires x(t) y(t) z(t)

Trajectoire

La voie de chemin de fer définit la trajectoire du train. Plus généralement, la trajectoire est l'ensem-

ble des points par lesquels passe le mobile. La trajectoire est un objet plus pauvre que l'horaire car

il ne fait aucune référence au temps.

Déplacement

Durant l'intervalle de temps [

t 1 t 2 ], le mobile est passé de la position P t 1

à la position

P t 2

1-cinematique.nb 3

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Le mobile a donc effectué le déplacement (voir Formulaires et tables p. 127) r P t 1 P t 2 P t 1

O+O P (t

2 )= O P (t 2 )-O P (t 1 )= r t 2 r t 1 x t 2 x t 1 y t 2 y t 1 z t 2 z t 1 x y z Le signe de chaque composante du déplacement a une interprétation immédiate : si x>0 alors x augmente si x<0 alors x diminue

On a des règles semblables pour les signes de

y et z.

Remarquez que le déplacement est un vecteur qui n'épouse pas nécessairement la trajectoire. On

peut comparer le déplacement à la "sécante" telle qu'elle apparaît dans la définition de la dérivée.

1.2 Vitesse

Dérivée d'une fonction (rappels de mathématiques) On appelle "sécante" la droite qui joint les deux points (x, f(x)) et (x+h, f(x+h)) . Sa pente est f x h f x h

4 1-cinematique.nb

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x+hx f x h f x pente f x )pente= f x h f x h

Lorsque h tend vers 0, la sécante tend vers la tangente à f en x. La pente de cette tangente est

appelée "dérivée de f en x" (voir

Formulaires et tables

p. 76) f' x lim h 0 f x h f x h

Autre notation (inspirée de

f x pour x 0) df dx= f

Rappelons la propriété

si f x 0 sur a b alors f x est c roissante sur [a, b]. En cinématique, la variable est généralement le temps. f' t lim t 0 f t t f t t

En physique, pour désigner la dérivée par rapport au temps, on remplace l'apostrophe par un point,

ce qui donne f t lim t 0 f t t f t t

Autre notation (inspirée de

f t pour t 0) df dt= f

Vitesse moyenne sur un intervalle de temps

La vitesse moyenne sur l'intervalle de temps [

t 1 t 2 ] est égale au déplacement par unité de temps, c'est-à-dire (voir

Formulaires et tables

p. 128)

1-cinematique.nb 5

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v m r t= r t 2 r t 1 t 2 t 1 x t 2 x tquotesdbs_dbs6.pdfusesText_12

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