[PDF] Introduction au Calcul des Probabilités

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Universit´e des Sciences et Technologies de Lille U.F.R. de Math´ematiques Pures et Appliqu´ees Bˆat. M2, F-59655 Villeneuve d"Ascq CedexIntroduction au

Calcul des Probabilit´es

Probabilit´es `a Bac+2 et plus si affinit´es...Charles SUQUET

DEUG MIAS 2 et MASS 2 2002-2003

Table des mati`eres1 Espaces Probabilis´es11.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11.2´Ev´enements. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .21.3 La probabilit´e comme fonction d"ensembles. . . . . . . . . . . .41.4 Exemples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .121.5 Remarques sur le choix d"un mod`ele. . . . . . . . . . . . . . . .161.6 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .182 Conditionnement et ind´ependance272.1 Probabilit´es conditionnelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .272.1.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .272.1.2 Propri´et´es. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .292.1.3 Quelques exemples. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .322.2 Ind´ependance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .342.2.1 Ind´ependance de deux ´ev´enements. . . . . . . . . . . .342.2.2 Ind´ependance mutuelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . .362.2.3´Epreuves r´ep´et´ees. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .382.3 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .393 Variables al´eatoires discr`etes473.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .473.2 G´en´eralit´es. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .483.2.1 Variable al´eatoire discr`ete. . . . . . . . . . . . . . . . .483.2.2 Loi d"une variable al´eatoire discr`ete. . . . . . . . . . . .483.2.3 Fonction de r´epartition. . . . . . . . . . . . . . . . . . .503.3 Lois discr`etes classiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .533.3.1 Lois de Bernoulli. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .533.3.2 Loi uniforme sur un ensemble fini de r´eels. . . . . . . .533.3.3 Lois binomiales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .533.3.4 Lois hyperg´eom´etriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . .543.3.5 Lois g´eom´etriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .563.3.6 Lois de Poisson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .573.3.7 Sur le caract`ere universel de la loi de Poisson. . . . . . .62i

3.4 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .654 Vecteurs al´eatoires discrets754.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .754.2 Vecteurs al´eatoires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .764.3 Variables al´eatoires ind´ependantes. . . . . . . . . . . . . . . . .784.4 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .815 Moments des v. a. discr`etes875.1 Esp´erance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .875.2 Moments d"ordrer. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .955.3 Variance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .975.4 Covariance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1035.5 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1076 Loi des grands nombres1176.1 Deux modes de convergence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1176.2 Loi faible des grands nombres. . . . . . . . . . . . . . . . . . .1196.3 Estimation d"une proportion inconnue. . . . . . . . . . . . . . .1206.4 Convergence presque sˆure des fr´equences. . . . . . . . . . . . .1226.5 Discussion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1256.6 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1337 Approximation gaussienne1397.1 La courbe en cloche. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1397.2´Etude graphique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1437.3 Le th´eor`eme de De Moivre-Laplace. . . . . . . . . . . . . . . .1477.4 Preuve du th´eor`eme de De Moivre-Laplace. . . . . . . . . . . .1507.4.1´Evaluation asymptotique deb(k,n,p). . . . . . . . . . .1517.4.2 Sommes de Riemann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1567.5 Vitesse de convergence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1587.6 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1628 Variables al´eatoires r´eelles1698.1 Sortie du cadre discret. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1698.2 Notion de variable al´eatoire r´eelle. . . . . . . . . . . . . . . . .1728.3 Variables `a densit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1758.3.1 Densit´e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1758.3.2 Moments des variables `a densit´e. . . . . . . . . . . . . .1798.4 Lois `a densit´e classiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1808.4.1 Lois uniformes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1808.4.2 Lois exponentielles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1828.4.3 Lois gaussiennes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1848.5 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .187ii

A Ensembles et d´enombrements191A.1 G´en´eralit´es. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .191A.2 Ensembles finis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .193iii

iv

Introduction

Issu du cours de Probabilit´es en DEUG MASS et MIAS, ce document s"adresse `a un public vari´e. Les ´etudiants de DEUG pourront y trouver une r´edaction d´etaill´ee de toutes les questions abord´ees en cours. Quelques d´eve- loppements vont au-del`a du strict programme et sont susceptibles d"int´eresser des lecteurs curieux ou plus avanc´es. Les outils math´ematiques utilis´es restent n´eanmoins strictement dans le cadre du DEUG. Ce premier tome1est consacr´e `a ce que l"on appelle lesprobabilit´es dis- cr`etes. Par rapport aux rudiments de calcul des probabilit´es enseign´es au lyc´ee, l"innovation est la prise en compte de l"infini. Cette notion s"introduit tr`es na- turellement en calcul des probabilit´es, par exemple d`es qu"il s"agit de mod´eliser des temps d"attente. On ne peut pas ´etudier avec un espace Ω de cardinal fini une exp´erience al´eatoire aussi simple que :"on lance un d´e jusqu"`a la premi`ere obtention d"un six». Nous nous posons donc la question de la d´efinition et de l"´etude des probabilit´es sur desuniversΩ infinis. Il est possible au niveau du DEUG de faire une th´eorie assez rigoureuse si l"on veut bien faire l"impasse sur les probl`emes de construction (ou d"existence) de tels espaces probabilis´es infinis capables de mod´eliser correctement les exp´eriences al´eatoires envisag´ees. Le principal outil math´ematique utilis´e est celui dess´eries. Il permet une ´etude classique assez compl`ete des variables al´eatoires discr`etes. Cette ´etude d´ebouche sur deux grands th´eor`emes de convergence de la th´eorie des proba- bilit´es : la loi des grands nombres et la convergence vers une loi gaussienne qui sont discut´es dans des cas simples dans les deux derniers chapitres. Nous avons choisi de donner autant que possible des d´emonstrations de ces th´eor`emes dans ces cas particuliers. Ces d´emonstrations sont instructives en elles-mˆemes et peuvent ˆetre consid´er´ees comme une introduction au cours de Licence. Une autre particularit´e de ce document est la discussion sur les questions de vitesse de convergence `a propos des approximations (par une loi de Poisson ou par une loi de Gauss). Trop souvent on trouve `a ce sujet dans la litt´erature des recettes qui, donn´ees sans justification, ressemblent plus `a de la cuisine2qu"`a des math´ematiques.

Chaque chapitre contient une section d"exercices qui suit autant que possible1Y en aura-t-il un deuxi`eme?

2Il y a souvent de bonnes raisons cach´ees derri`ere une recette qui peut paraˆıtre arbitraire...v

l"ordre d"exposition du cours3. Certains sont des applications directes du cours ou des sujets d"examen ou de D.S., d"autres des approfondissements. Leur niveau

de difficult´e n"a volontairement pas´et´e indiqu´e a priori. De mˆeme, on ne trouvera

pas dans cette introduction de plan de lecture d´etaill´e pour chaque DEUG. De telles indications pourront ˆetre donn´ees en cours ou en TD, mais je n"ai pas souhait´e cloisonner a priori une curiosit´e qui, pour un scientifique, est tout le contraire d"un vilain d´efaut... Je remercie tous les coll`egues qui m"ont aid´e directement ou indirectement `a r´ediger ce polycopi´e et plus particuli`erement MauriceChamontin, Sylvie Roellyet Marie-ClaudeVianoavec qui j"ai fait ´equipe en DEUG MASS et MIAS. Il va de soi qu"ils ne portent aucune responsabilit´e pour les quelques d´ebordements auxquels j"ai pu me laisser aller ni pour les quelques fautes4que l"on ne manquera pas de trouver dans cette premi`ere ´edition5(septembre 1996). Comme pr´evu ci-dessus, le deuxi`eme tome n"a toujours pas ´et´e ´ecrit et un

certain nombre d"erreurs ont ´et´e d´etect´ees dans la premi`ere ´edition et corrig´ees

dans la deuxi`eme6(septembre 1997). Je remercie tous ceux qui m"en ont si- gnal´e et plus particuli`erement les ´etudiants de l"amphith´eˆatre de DEUG MASS

96-97 pour leur vigilance. Merci ´egalement `a MichelLifshitspour ses pr´eci-

sions sur l"historique du th´eor`eme de De Moivre-Laplace, `a YouriDavydovet MyriamFradonpour d"utiles discussions ainsi qu"`a tous les charg´es de TD de probabilit´es en DEUG MIAS pour leur participation active.Last but not least, merci `a DanielFlipoqui avec patience et disponibilit´e m"a fait b´en´eficier de ses comp´etences d"expert dans le traitement de texte scientifique L

ATEX2ε.

Les troisi`eme et quatri`eme ´editions de ce polycopi´e (septembre 1998 et 1999), ont b´en´efici´e des amendements et corrections sugg´er´es par MyriamFradon, JeanneDevolderet AnnePhilippe. C"est pour moi un plaisir de les en remercier ici. La cinqui`eme ´edition (septembre 2000) de ce polycopi´e s"est enrichie (alour- die?) d"un chapitre sur les variables al´eatoires r´eelles qui s"est substitu´e `a la promesse ´electorale d"un deuxi`eme tome. Le titre a chang´e en cons´equence. La sixi`eme ´edition (septembre 2001) comprend quelques exercices suppl´e- mentaires. La septi`eme est inchang´ee, sauf la correction d"un quarantaine (sic) de fautes de frappe ou d"orthographe. La plupart m"ont ´et´e signal´ees par Denis

Bitouz

´ede l"Universit´e du Littoral que je remercie pour sa lecture attentive. Ce document est disponible sur Internet, au format PDF, `a l"adresse suivante

http ://www.univ-lille1.fr/labo-stat-proba/cs/Villeneuve d"Ascq, septembre 2002.3Ces exercices ne se substituent pas aux s´eances de TD et `a leurs fiches d"exercices mieux

adapt´ees `a chacun des publics concern´es.

4Dont le nombre suit une loi de Poisson.

5Remerciements anticip´es `a tout lecteur qui m"aidera `a r´eduire le param`etre de ladite loi

pour la prochaine ´edition.

6Qui ne pr´etend pas en ˆetre exempte, voir exercice5.7pour une mod´elisation.vi

Chapitre 1

Espaces Probabilis´es

1.1 Introduction

La th´eorie des probabilit´es fournit des mod`eles math´ematiques permettant l"´etude d"exp´eriences dont le r´esultat ne peut ˆetre pr´evu avec une totale certi-

tude. En voici quelques exemples :Exp´erienceR´esultat observableLancer d"un d´eUn entierk? {1,...,6}Pr´el`evement denobjets en sortieNombre d"objets d´efectueuxd"une chaˆıne de productiondans l"´echantillonQuestionnaire `a 100 questionsSuiteωde 100 r´eponsesbinairesω? {oui,non}100Lancer d"une pi`ece jusqu"`a laUn entierk?N: le tempspremi`ere obtention de piled"attente du premier succ`esMise en service d"une ampouleDur´ee de vieT?RLancer d"une fl´echette sur une ciblePoint d"impactMouvement d"un grain de pollenUne fonction continue :dans un liquidela trajectoireM´elange de deux gazR´epartition spatiale de deuxtypes de mol´eculesBien que le r´esultat pr´ecis de chacune de ces exp´eriences soit impr´evisible,

l"observation et l"intuition nous am`enent `a penser que ces ph´enom`enes ob´eissent `a certaines lois. Par exemple si on jette 6000 fois le d´e, on s"attend `a ce que le nombre d"apparitions de la face"3»soitvoisinde 1000. Si on met en service

100 ampoules, leurs dur´ees de vie observ´ees serontconcentr´eesautour d"une

certaine valeur moyenne. La th´eorie des probabilit´es permet de donner un sens pr´ecis `a ces consid´era- tions un peu vagues. Lastatistiquepermet de confronter les mod`eles probabi- listes avec la r´ealit´e observ´ee afin de les valider ou de les invalider. Par exemple1

Chapitre 1. Espaces Probabilis´essi quelqu"un a 60 bonnes r´eponses sur 100 au questionnaire, est-il l´egitime de

consid´erer qu"il a"mieux fait»que le hasard? Sur lesnobjets pr´elev´es en sortie de chaˆıne,ksont d´efectueux. Peut-on en d´eduire quelque chose sur la qualit´e de la production globale? 1.2

´Ev´enements

La th´eorie moderne des probabilit´es utilise le langage des ensembles pour mod´eliser une exp´erience al´eatoire. Nous noterons Ω un ensemble dont les ´el´e-

ments repr´esentent tous les r´esultats possibles ou´ev´enements ´el´ementairesd"une

exp´erience al´eatoire donn´ee. Les´ev´enements(ou ´ev´enements compos´es) seront

repr´esent´es par des parties (sous-ensembles) de Ω. Il n"est pas toujours facile de trouver un ensemble Ω permettant de mod´eliser l"exp´erience al´eatoire. Voici une r`egle pratique pour y arriver : les ´ev´enements ´el´ementaires sont ceux qui contiennentl"information maximalequ"il est pos- sible d"obtenir de l"exp´erience. Par exemple si on jette un d´e, l"´ev´enementA: "obtention d"un chiffre pair»n"est pas ´el´ementaire. Il est compos´e des trois ´ev´enements ´el´ementaires 2, 4, 6 :A={2,4,6}. Ici Ω ={1,2,3,4,5,6}. De mˆeme si on lance trois fois une pi`ece de monnaie, les ´ev´enements ´el´ementaires sont des triplets comme (p,f,p) indiquant le r´esultat pr´ecis de chacun des trois lancers. Ici Ω ={f,p}3. L"´ev´enementB"obtention de pile au deuxi`eme des trois lancers»est compos´e :B={(f,p,f);(f,p,p);(p,p,f);(p,p,p)}. Avec ce mode de repr´esentation, les op´erations logiques sur les ´ev´enements : "et»,"ou»,"n´egation»se traduisent par des op´erations ensemblistes : in- tersection, r´eunion, passage au compl´ementaire. Voici un tableau de correspon-

dance entre les deux langages.NotationsVocabulaire ensemblisteVocabulaire probabiliste∅ensemble vide´ev´enement impossibleΩensemble plein´ev´enement certainω´el´ement de Ω´ev´enement ´el´ementaireAsous-ensemble de Ω´ev´enementω?Aωappartient `aALe r´esultatωest une desr´ealisations possibles deAA?BAinclus dansBAimpliqueBA?Br´eunion deAetBAouBA∩Bintersection deAetBAetBAccompl´ementaire deA´ev´enement contraire deAdans ΩA∩B=∅AetBsont disjointsAetBsont incompatibles2Ch.Suquet,Probabilit´es

1.2.´Ev´enementsLes op´erations logiques sur les ´ev´enements peuvent bien sˆur faire intervenir

plus de deux ´ev´enements. Ainsi, siA1,...,Ansont des ´ev´enements, n? i=1Ai=A1?A2··· ?An est l"ensemble desωqui sont dans l"un au moins desAi. C"est donc l"´ev´enement n i=1Ai=A1∩A2··· ∩An est l"ensemble desωqui sont dans tous lesAi. C"est donc l"´ev´enement"r´eali- r´eunions et intersections d"une suite infinie d"´ev´enements : i?N?Ai=+∞? i=1Ai={r´ealisation de l"un au moins desAi,i?N?}, i?N?Ai=+∞∩ i=1Ai={r´ealisation de tous lesAi,i?N?}. Ces op´erations logiques sur des suites d"´ev´enements sont tr`es utiles pour ana- lyser des ´ev´enements complexes `a l"aide d"´ev´enements plus simples et, comme nous le verrons plus tard, calculer ainsi des probabilit´es. A titre d"illustration,

examinons la situation suivante.Exemple 1.1Alice et Bruno lancent le mˆeme d´e `a tour de rˆole (Alice com-

mence). Le gagnant est le premier `a obtenir un"six».

On s"int´eresse aux trois ´ev´enements

A={victoire d"Alice},

B={victoire de Bruno},

D={Il n"y a pas de vainqueur}.

La simplicit´e de leur d´efinition est trompeuse. Leur structure compliqu´ee peut ˆetre analys´ee `a l"aide des ´ev´enements plus simples suivants : F n={fin de la partie aun-i`eme lancer}, n?N?, S j={lej-`eme lancer donne un"six»}, j?N?. Commen¸cons parD. Il est clair queDse r´ealise si et seulement si le"six» n"apparaˆıt `a aucun lancer, autrement dit si et seulement si quel que soitj?N?, l"´ev´enementScjest r´ealis´e. D"o`u : D=? j?N?Scj.Ch.Suquet,Probabilit´es3

Chapitre 1. Espaces Probabilis´esAlice ne peut gagner la partie que lors d"un lancer de rang impair puisque

les lancers de rang pair sont ceux de Bruno. Alice peut donc gagner `a l"un des lancers 1,3,5,...,2k+1,...Alice gagne si et seulement si la partie se termine par l"un de ces lancers. De mˆeme Bruno peut gagner aux lancers 2,4,6,...,2k,... d"o`u : A=? k?NF

2k+1B=?

k?N?F 2k. Enfin, chaqueFn(n≥2) se r´ealise si et seulement si d"une part chacun des

On a donc :

F

1=S1, Fn=?

n-1∩ j=1Scj? ∩Sn, n >1 et finalement : A=? k?N? ?2k∩ j=1Scj? ∩S2k+1? , B=? k?N?? ?2k-1∩ j=1Scj? ∩S2k? Remarquons que nous n"avons pas eu besoin de pr´eciser dans quel ensemble Ω on travaillait pour effectuer les d´ecompositions d"´ev´enements ci-dessus. Seule importait leur structure logique. Voici un choix possible (parmi d"autres) de Ω : on prend l"ensemble des suites de chiffresωde l"un des deux types suivants. Soitωest une suitefiniede chiffres pris parmi{1,2,3,4,5}et termin´ee par un

6. Soitωest une suiteinfiniede chiffres pris parmi{1,2,3,4,5}(et donc sans

aucun 6). Remarquons qu"avec ce choix de Ω,Dest l"ensemble des suites du deuxi`eme type :D={1,2,3,4,5}N?. Remarque1SiIest un ensemble d"indicesquelconquenon vide et (Ai)i?Iune famille d"´ev´enements index´ee parI, on peut d´efinir?i?IAicomme l"ensemble desωappartenant `a l"un au moins desAiet∩i?IAicomme l"ensembledesω appartenant `a chacun desAi. Ces d´efinitions sont globales et ne font appel `a aucune structure d"ordre surIni, dans le cas o`uIest infini, `a aucune notion de convergence.

1.3 La probabilit´e comme fonction d"ensembles

Ce titre appelle tout de suite une explication. Laprobabilit´ePtelle que nous allons la d´efinir ci-dessous est une fonction qui `a un ´ev´enement associe un nombre compris entre 0 et 1 et cens´e mesurer les chances de r´ealisation

de cet ´ev´enement. Pour des raisons sortant du cadre de ce cours, il n"est pas1`a passer en premi`ere lecture.4Ch.Suquet,Probabilit´es

1.3. La probabilit´e comme fonction d"ensemblestoujours possible d"attribuer ainsi de mani`ere coh´erente une probabilit´e `a chaque

partie de Ω. En d"autres termes,Pne peut pas ˆetre consid´er´ee comme une applicationde l"ensembleP(Ω) de toutes les parties de Ω dans [0,1] mais comme unefonctionayant un domaine de d´efinitionFg´en´eralement plus petit que

P(Ω). Voici les propri´et´es qu"il est raisonnable d"exiger deF:-Fcontient Ω et tous les singletons{ω}.-Fest stable par passage au compl´ementaire : siBest un ´ev´enement de

F,Bcl"est aussi.-Fest stable par les op´erations de r´eunion et d"intersection sur lessuites d"´ev´enements2. SiA1,A2,...est une suite finie ou infinie d"´ev´enements de F, sa r´eunion et son intersection sont encore des ´ev´enements deF. L"´etude faite `a l"exemple1.1montre que ces propri´et´es sont vraiment le moins que l"on puisse exiger deFd`es que l"on travaille sur une exp´erience al´eatoire

ayant une infinit´e de r´esultats ´el´ementaires possibles (i.e. Ω infini). Nous appel-

leronsfamille d"´ev´enements observablestoute familleFde parties de Ω v´erifiant

les conditions ci-dessus3.D´efinition 1.1SoitΩun ensemble etFune famille d"´ev´enements observables

surΩ. On appelle probabilit´e sur(Ω,F)toute applicationPdeFdans[0,1]

v´erifiant :(i)P(Ω) = 1.(ii)Pour toute suite(Aj)j≥1d"´ev´enements deFdeux `a deux disjoints (in-

compatibles) : P j?N?Aj? j=1P(Aj). Le triplet(Ω,F,P)s"appelle espace probabilis´e. D´efinir une probabilit´e sur (Ω,F) c"est en quelque sorte attribuer une"masse» `a chaque ´ev´enement observable, avec par convention une masse totale ´egale `a 1

pour l"´ev´enement certain Ω. La propri´et´e (ii) s"appelleσ-additivit´e.Exemple 1.2 (suite de l"exemple1.1)Revenons `a la partie de d´e entre Alice et Bruno . Admettons provisoirement que

l"on ait construit un(Ω,F,P)mod´elisant correctement cette exp´erience et que pourn≥1,P(Fn) = (5/6)n-1(1/6). Ce r´esultat peut se justifier par la r`egle du conditionnement en chaˆıne qui sera vue ult´erieurement. On peut alors calculer

la probabilit´e de victoire de chacun des joueurs.2Bien sˆur grˆace `a la stabilit´e par compl´ementaire, la stabilit´e par r´eunion ´equivaut `a la

stabilit´e par intersection.

3On dit aussitribuouσ-alg`ebre de parties de Ω, mais nous n"emploierons pas ce voca-

bulaire abstrait. La d´efinition g´en´erale d"une tribuFne suppose pas que tous les singletons

{ω}soient des ´el´ements deF.Ch.Suquet,Probabilit´es5

Chapitre 1. Espaces Probabilis´esEn effet on a

A=? k?NF

2k+1B=?

k?N?F 2k. De plus chacune de ces r´eunions estdisjointe: sii?=j,Fi∩Fj=∅car si un ´ev´enement ´el´ementaireω´etait commun `aFietFj, cela signifierait que pourla mˆeme suite, le"six»apparaˆıtrait pour lapremi`erefois aui-`eme lanceretau j-`eme lancer ce qui est absurde. Donc lesF2k+1sont deux `a deux disjoints et

P(A) =?

k?NP(F2k+1) =+∞? k=016? 56?

2k=16+∞?

j=0? 2536?
j=1611-2536=611, en utilisant la convergence et le calcul de la somme de la s´erie g´eom´etrique de raison 25/36. De mˆeme :

P(B) =?

k?N?P(F2k) =+∞? k=116? 56?

2k-1=536+∞?

j=0? 2536?
j=53611-2536=511. On constate que Alice est l´eg`erement avantag´ee par le fait de lancer la premi`ere, ce qui est conforme `a l"intuition. De plus par la propri´et´e d"additivit´e2.(b)ci- dessous, commeA,BetDsont trois ´ev´enements disjoints dont la r´eunion est Ω, on en d´eduit queP(D) = 0. La probabilit´e qu"il n"y ait aucun vainqueur est donc nulle, ce qui l`a aussi est conforme `a l"intuition. On remarquera cependant que dans le mod`ele choisi pour Ω,D={1,2,3,4,5}N?est tr`es loin d"ˆetre vide, c"est mˆeme un ensemble tr`es"gros»du point de vue de la cardinalit´e : on peut P n? i=1Ai?=n?

1.3. La probabilit´e comme fonction d"ensembles(a)Si(Bn)n≥1est une suite croissante d"´ev´enements deFconvergente5versB? F, alorsP(B) = limn→+∞P(Bn). Notation :

B

n↑B?P(Bn)↑P(B) (n→+∞).(b)Si(Cn)n≥1est une suite d´ecroissante d"´ev´enements deFconvergente6versC? F, alorsP(C) = limn→+∞P(Cn). Notation :

C n? i=1P(Ai).(c)?A1,...,An,...? F,P?? i=1P(Ai). Preuve :SoitPune fonction d"ensembleF →[0,1] satisfaisant aux conditions

(i) et (ii) de la d´efinition1.1, il s"agit de d´emontrer quePv´erifie les propri´et´es

1`a7. Preuve de 1.CommeP(Aj)≥0 pour toutAj? F, on a toujours j?N?P(Aj)≥P(A1) +P(A2), le premier membre pouvant ˆetre ´egal `a +∞. En choisissantAj=∅pour tout j?N?et en utilisant laσ-additivit´e (ii), on en d´eduit :

P(∅) =P??

j?N?Aj?=+∞? j=1P(Aj)≥P(∅) +P(∅).

Par cons´equent,P(∅)≥2P(∅) et commeP(∅)≥0, ceci entraˆıneP(∅) = 0.

Preuve de 2.SoientA1,...,An,n´ev´enements deFdeux `a deux disjoints. Pour j > n, posonsAj=∅. On a ainsi une suite infinie (Aj)j≥1d"´ev´enements deux `a deux disjoints. En utilisant laσ-additivit´e, on obtient alors : P n? j=1Aj?=P?? j?N?Aj?=n? j=1P(Aj) ++∞? j=n+1P(Aj). D"apr`es1, la somme pourj≥n+1 vaut 0, ceci prouve2(b). Bien sˆur2(a)n"est que le cas particuliern= 2.5Ce qui signifie :?n≥1,Bn?Bn+1etB=? n≥1Bn. 6

Ce qui signifie :?n≥1,Cn+1?CnetC=∩

n≥1Cn.Ch.Suquet,Probabilit´es7 Chapitre 1. Espaces Probabilis´esPreuve de 3.PrendreB=Acdans2 (a)et utiliser (i). Preuve de 4.SiA?B, alorsB=A?(B∩Ac) et cette r´eunion est disjointe. D"apr`es2 (a)on aP(B) =P(A)+P(B∩Ac) et commeP(B∩Ac)≥0, on en d´eduitP(B)≥P(A). Preuve de 5.On a les d´ecompositions suivantes en unions disjointes :

A?B= (A∩Bc)?(A∩B)?(Ac∩B),

A= (A∩Bc)?(A∩B),

B= (A∩B)?(Ac∩B).

En utilisant l"additivit´e on en d´eduit :

P(A?B) =P(A∩Bc) +P(A∩B) +P(Ac∩B)

=?P(A∩Bc) +P(A∩B)?+?P(A∩B) +P(Ac∩B)? -P(A∩B) =P(A) +P(B)-P(A∩B). Preuve de 6.Il suffit de prouver6(a), la propri´et´e6(b)s"en d´eduit en appliquant

6(a)`a la suite d"´ev´enementsBn=Ccn. Admettons, pour l"instant, que pour tout

n≥1,Bnv´erifie la d´ecomposition en union disjointe : B n=B0?? n? i=1(Bi\Bi-1)? En ´ecrivant la r´eunion infinie desBn`a l"aide de cette d´ecomposition et en "effa¸cant»toutes les r´ep´etitions desBi\Bi-1, on en d´eduit imm´ediatement queBv´erifie la d´ecomposition en union disjointe :

B=B0??

i?N?(Bi\Bi-1)? Passant aux probabilit´es, ces deux d´ecompositions nous donnent :

P(Bn) =P(B0) +n?

i=1P(Bi\Bi-1),

P(B) =P(B0) ++∞?

i=1P(Bi\Bi-1). Comme cette s´erie converge, sa somme est la limite de la suite de ses sommes partielles de rangn, ce qui s"´ecrit :

P(B) = limn→+∞?

P(B0) +n?

i=1P(Bi\Bi-1)? = limn→+∞P(Bn).8Ch.Suquet,Probabilit´es

1.3. La probabilit´e comme fonction d"ensemblesAinsi pour compl´eter la preuve, il ne reste plus qu"`a justifier la d´ecomposition

deBn. Posons : D n=B0?? n? i=1(Bi\Bi-1)? Pour montrer queBn=Dn, il suffit de montrer queDn?BnetBn?Dn. La Pour prouver l"inclusion inverse, on noteωun ´el´ementquelconquedeBnet on montre queωappartient `aDn. Soiti0=i0(ω) le plus petit des indicesitels que Sii0= 0,ω?B0et commeB0?Dn,ω?Dn. Sii0≥1, par la d´efinition B i0\Bi0-1?Dndoncω?Dn. Le raisonnement pr´ec´edent ´etant valable pour toutωdeBn, on en d´eduitBn?Dn.???? B

0B1\B0B2\B1Preuve de 7(a).D"apr`es5:

carP(A∩B)≥0. Preuve de 7(b).On remarque que pour toutn≥1 on a : n i=0Ai=n? i=0Bi, o`u lesBisont des ´ev´enements deux `a deux disjoints d´efinis comme suit : B

0=A0, B1=A1∩Bc0, B2=A2∩(B0?B1)c,...

...B n=An∩(B0?B1?...Bn-1)c,...

Par additivit´e :

P n? i=0Ai? =P? n? i=0Bi? =n? i=0P(Bi).Ch.Suquet,Probabilit´es9 P n? i=0Ai? =n? i=0P(Ai).

Preuve de 7(c).Posons pour toutn≥1,

D n=n? i=0Ai, D=? n≥1Dn=? i?NAi. La suite (Dn)n≥1estcroissanteet a pour limiteD. Donc d"apr`es6(a),P(Dn)↑

P(D) (n→+∞). D"apr`es7(b)on a :

i=0P(Ai). Les deux membres de cette in´egalit´e ´etant les termes g´en´eraux de deux suites croissantes de r´eels positifs, on obtient en passant `a la limite quandntend vers P(? i=0P(Ai). Ce qui prouve7(c). Remarquons que les sommes partielles de la s´erie convergent

dansR+? {+∞}. Bien sˆur l"in´egalit´e obtenue n"a d"int´erˆet que lorsque la s´erie

de terme g´en´eralP(Ai) converge et a une somme strictement inf´erieure `a 1.Le calcul de probabilit´es de r´eunions ou d"intersection est une question cru-

ciale. La propri´et´e 5 montre qu"en g´en´eral on ne peut pas calculerP(A?B) `a partir de laseule connaissancedeP(A) etP(B) et qu"on se heurte `a la mˆeme difficult´e pourP(A∩B) (voir l"exercice1.6). Le calcul des probabilit´es d"inter- sections sera discut´e au chapitre2. Pour les probabilit´es de r´eunions, on peut se demander comment se g´en´eralise la propri´et´e 5 lorsqu"on r´eunit plus de deux ´ev`enements. Il est facile de v´erifier (faites-le!) que : P(A?B?C) =P(A)+P(B)+P(C)-P(A∩B)-P(A∩C)-P(B∩C)+P(A∩B∩C). Le cas g´en´eral est donn´e par la formule de Poincar´e ci-dessous qui exprime P(A1? ··· ?An) `a l"aide des probabilit´es detoutes les intersectionsdesAi: 2 `a 2, 3 `a 3, etc. L"exercice1.12sur le probl`eme des appariements pr´esente une

application de cette formule.Proposition 1.3 (Formule de Poincar´e)Pour tout entiern≥2et tous ´ev`enementsA1,...,An:

P n? i=1Ai? =n? i=1P(Ai) +n? k=2(-1)k+1?

1.3. La probabilit´e comme fonction d"ensemblesPreuve :On raisonne par r´ecurrence (voir aussi l"exercice5.6du chapitre5pour une autre m´ethode). La formule est vraie pourn= 2, car dans ce cas elle

se r´eduit `a

P(A?B) =P(A) +P(B)-P(A∩B).(1.2)

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