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LES ISOMÉTRIES DU PLAN
Exemples : la translation la symétrie orthogonale sont des isométries. c) Déplacements et antidéplacement : - Si f est une isométrie de (P)
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un nombre complexe est un déplacement du plan d'angle un argument de a. z ? ? = ei?(z ? ?). • Si a = 1 f est la translation de vecteur.
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Le tableau ci-dessous donne la classification des isométries en déplacements ou antidéplacements Identité Déplacement Rotation Déplacement Translation
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4eme Année Section : Mathématiques RECAPITULATIF
Prof : Dhahbi . A * Isométries, déplacement et antidéplacementI - Généralités :
Le plan P est rapporté à un repère orthonormé directe (O, i j1°/ Définition :
On appelle isométrie toute application du plan P dans lui même qui conserve les distances.Soit f une application du plan P dans lui-même
f est une isométrie signifie Exemples: les translations , les rotations et les symétries axiales sont des isométries .2°/ Propriétés caractéristiques :
Théorème :
Soit f une application du plan P dans lui-même
f est une isométrie f conserve le produit scalaire mages ''BA ''CA AB ACPropriétés :
* Une isométrie est une bijection et sa réciproque est une isométrie. * La composée de deux isométries est une isométrie. * Une , le parallélisme et le barycentre de deux points pondérés. * Une isométrie transforme une droite en une droite, un segment en un segment et un cercle en un cercle . * Pour tout points A, B, C, D, E et F , par une isométrie et x et y deux réels , on a : AB = x CD + y EF ''BA = x ''DC + y ''FEII - Isométries et points fixes :
1°/ Isométrie fixant trois points non aligné :
Théorème :
Une isométrie du plan qui fixe trois points non .Corollaire :
Deux isométries du plan qui coïncident en trois points non alignés sont égales.2°/ Isométrie fixant deux points distincts :
Théorème :
3°/ Isométrie fixant un seul point :
Théorème :
Une isométrie du plan fixant un seul point est une rotation de centre A.4°/ Isométrie ne fixant aucun point :
Théorème :
Soit f une isométrie du plan, O un point du .
Il existe une isométrie unique g telle que f =
'OOt o g et g (O) = O.Théorème :
Toute isométrie du plan est translation ou une rotation ou une symétrie orthogonale ou la composée
Conséquence :
us trois symétries orthogonales.5°/ Classification des isométries :
On peut classer les isométries en deux catégories : celles qui conservent les mesures des angles orientés
appelés : déplacements et celle qui ne conservent pas les angles orientés appelés : antidéplacements
RECAPITULATIF :Isométries du plan 1 Dhahbi . A
RECAPITULATIF :Isométries du plan
f est une isométrie de P avec o o o CC BB AA f + A , B et C sont trois points non alignés f = identité du plan f est une isométrie de P avec o o BB f AA + AB f = S(AB) . f est une isométrie de P avec o o CB f AA + AB = AC f = )),(,(ACABAR ou f = Smed[BC] . f est une isométrie de P avec o o AB f BA f = SI ou I = A * B ou f = Smed[AB] . f est une isométrie de P avec o o CB f BA + : sont trois points non alignés1ér cas :f est un déplacement : * Si
),(BCAB 0 [ 2 f =BCABtt
* Si ),(BCAB [ 2C = A impossible
* Si ),(BCAB [ 2 ] et f =R( I, ) ou I med[AB] med[BC].2émecas :f est un antidéplacement : f =
S ou f est une symétrie glissante. * Si f = S = med[AB] = med[BC] impossible S * f est une symétrie glissante f = S o ut ut o S avec = ( A*B B*C)Pour chercher
u on utilise f o f = ut2 et A B C ( f o f)(A) = C 2 u AC u 2 1 ACIII - Déplacements et antidéplacements :
1°/ Propriétés :
* Un déplacement conserve les mesures des angles orientés. * Un antidéplacement change les mesures des angles orientés en leurs opposés. * La composée de deux déplacements ( resp . antidéplacement ) est un déplacement. * La composée ement est un antidéplacement. * La resp . antidéplacement) est un déplacement ( resp .antidéplacement)IV - Déplacements :
Soit f une isométrie du plan P.
f est un déplacement f transforme un repère orthonormé direct en un repère orthonormé direct . f est un déplacement rthogonales . a) Théorème : tels que AB et C
D,on à: (
AB ''BA CD ''DC ) [ 2 ]. ( AB ''BARECAPITULATIF :Isométries du plan 2 Dhahbi . A
RECAPITULATIF :Isométries du plan
b) Théorème : f est une translation.Théorème :
parallèles est une translation de vecteur orthogonal à ces axes . Réciproquement, toute translation est la composée de deux 'DS o DS IJt2 avec ID ; J
D et ( IJ )
DThéorème :
sécantes est une ro des axes . Réciproquement, toute rotation est la composée de deux symét. 'DS o DS )2,(Or tel que: D et 2 ( OI OJ 2 [ 2 ]Théorème :
Soit A , B , C et D quatre point du plan .
Si AB = CD et A
B alors il existe un unique déplacement du plan qui transforme A en C et B en D. * Si ),(CDAB 0 [ 2 f =BDACtt
* Si ),(CDAB [ 2 f = SI ou I = A * C = B*D. * Si ),(CDAB [ 2 ] et f =R( I, ) ou I med[AC] med[BD] si non I (AB) (CD) dans le cas ou med[AC] = med[BD].Exemple :
f = ACt o ),(Ar est un déplacement qui transforme A en C et B en D.V - Antidéplacements :
Soit f une isométrie du plan P.
f est un antidéplacement f transforme un repère orthonormé direct en un repère orthonormé indirect f est un antidéplacement rthogonales .Théorème 1:
passant par ce pointThéorème 2:
Soit f un antidéplacement qui ne fixe aucun point. Il existe un seul vecteur non nul u et une droite unique D tels que:f = ut o DS DS o ut réduite de f. f est appelé symétrie glissante de vecteur uRemarques :
* f o f =quotesdbs_dbs42.pdfusesText_42[PDF] somme double max(i j)
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