[PDF] Baccalauréat S Centres étrangers 10 juin 2016





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?Baccalauréat S Centres étrangers?

10 juin 2016

Exercice I(4 points)

Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer sielle est vraie ou fausse, en jus-

tifiant la réponse. il est attribué un point par réponse exacte correctement justifiée. Une ré-

ponse non justifiée n"est pas prise en compte. une absence de réponse n"est pas pénalisée.

1.Dans une boulangerie industrielle, on prélève au hasard unebaguette de pain dans la

production. Onadmetque lavariable aléatoire exprimantsa masse, engramme, suitla loi normale d"espérance 200 et d"écart-type 10.

Affirmation 1

La probabilité que la masse de la baguette soit supérieure à 187 g est supérieure à 0,9.

2. Affirmation 2

L"équationx-cosx=0 admet une unique solution dans l"intervalle?

0 ;π

2? les droitesD1etD2qui admettent pour représentationsparamétriques respectives : ?x=1+2t y=2-3t z=4t,t?Ret???????x=-5t?+3 y=2t? z=t?+4,t??R

3. Affirmation 3

Les droitesD1etD2sont sécantes.

4. Affirmation 4

La droiteD1est parallèle au plan d"équationx+2y+z-3=0.

Exercice II(6 points)

Soitfune fonction définie sur l"intervalle

[0; 1], continue etpositive sur cet intervalle, etaune réel tel que 0On note :

—Cla courbe représentative de la

fonctionfdans un repère orthogo- nal :

—A1l"aire du domaine plan limité par

l"axe des abscisses et la courbeC d"une part, les droites d"équations x=0 etx=ad"autre part.

—A2l"aire du domaine plan limité par

l"axe des abscisses et la courbeC d"une part, les droites d"équations x=aetx=1 d"autre part. 1 A1A2 aC x Le but de cet exercice est de déterminer, pour différentes fonctionsf, une valeur du réela vérifiant la condition (E) : "les airesA1etA2sont égales». On admet l"existence d"un tel réelapour chacune des fonctions considérées.

Partie A : Étudedequelques exemples

1.Vérifier que dans les cas suivants, la condition (E) est remplie pour un unique réelaet

déterminer sa valeur. a.fest une fonction constante strictement positive. b.fest définie sur [0 ; 1] parf(x)=x.

2. a.À l"aide d"intégrales, exprimer, en unités d"aires, les airesA1etA2.

b.On noteFune primitive de la fonctionfsur l"intervalle [0 ; 1]. Démontrer que si le réelasatisfait la condition (E), alorsF(a)=F(0)+F(1) 2.

La réciproque est-elle vraie?

3.Dans cette question, on envisage deux autres fonctions particulières.

a.La fonctionfest définie pour tout réelxde [0 ; 1] parf(x)=ex. b.La fonctionfdéfinie pour tout réelxde[0 ; 1]parf(x)=1 (x+2)2.

Vérifier que la valeura=2

5convient.

Partie B : Utilisation d"une suite pour déterminer une valeur approchée dea Dans cette partie, on considère la fonctionfdéfinie pour tout réelxde [0 ; 1] parf(x)=

4-3x2.

1.Démontrer que siaest un réel satisfaisant la condition (E), alorsaest solution de

l"équation : x=x3 4+38. Dans la suite de l"exercice, on admettraque cette équationaune uniquesolution dans l"intervalle [0 ; 1]. On noteacette solution.

2.On considère la fonctiongdéfinie pour tout réelxde [0 ; 1] parg(x)=x3

4+38et la

suite (un)définie par :u0=0 et, pour tout entier natureln,un+1=g(un). a.Calculeru1. b.Démontrer que la fonctiongest croissante sur l"intervalle [0 ; 1]. d.Prouver que la suite(un)est convergente. À l"aide des opérations sur les limites, prouver que la limite esta. e.On admet que le réelavérifie l"inégalité 0Exercice III(5 points) Un institut effectue un sondage pour connaître, dans une population donnée, la proportion de personnes qui sont favorables à un projet d"aménagement du territoire. Pour cela, on in- terroge un échantillon aléatoire de personnes de cette population, et l"on pose une question

à chaque personne.

Les trois parties sont relatives à cette même situation, mais peuvent être traitées de manière

indépendante. Partie A : Nombre depersonnes qui acceptent derépondre au sondage On admet dans cette partie que la probabilité qu"une personne interrogée accepte de ré- pondre à la question est égale à 0,6.

1.L"institut de sondage interroge 700 personnes. On noteXla variable aléatoire corres-

pondantaunombre de personnesinterrogées quiacceptentderépondreà la question posée. a.Quelle est la loi de la variable aléatoireX? Justifier la réponse.

0,92 0,93 0,94 0,95.

probabilité supérieur à 0,9, que le nombre de personnes répondant au sondage soit supérieur ou égal à 400. Partie B : Proportion de personnes favorables au projet danslapopulation Dans cette partie, on suppose quenpersonnes ont répondu à la question, et on admet que ces personnes constituent un échantillon aléatoire de taillen(oùnest un entier naturel supérieur à 50). Parmi ces personnes, 29 % sont favorables au projet d"aménagement.

1.Donner un intervalle de confiance, au niveau de confiance de 95%, de la proportion

de personnes qui sont favorables au projet dans la population totale.

2.Déterminer la valeur minimale de l"entiernpour que l"intervalle de confiance, au ni-

veau de confiance de 95 %, ait une amplitude inférieure ou égale à 0,04. Partie C : Correction dueà l"insincérité de certaines réponses Danscettepartie,onsuppose que,parmilespersonnessondéesquiontacceptéderépondre à la question posée, 29 % affirment qu"elles sont favorables au projet. L"institut de sondage sait par ailleurs que la question posée pouvant être gênante pour les

personnes interrogées, certaines d"entre elles ne sont passincères et répondent le contraire

de leur opinion véritable. Ainsi, une personne qui se dit favorable peut : — soit être en réalité favorable au projet si elle est sincère. — soit être en réalité défavorable au projet si elle n"est passincère.

Par expérience, l"institut estime à 15 % le taux de réponses non sincères parmiles personnes

ayant répondu, et admet que ce taux est le même quelle que soitl"opinion de la personne interrogée.

Le but de cette partie est, à partir de ces données, de déterminer le taux réel de personnes

favorables au projet, à l"aide d"un modèle probabiliste. Onprélève au hasard la fiche d"une

personne ayant répondu, et on définit : •Fl"évènement "la personne est en réalité favorable au projet»; Fl"évènement "la personne est en réalité défavorable au projet»; •Al"évènement "la personne affirme qu"elle est favorable au projet»; Al"évènement "la personne affirme qu"elle est défavorable auprojet».

Ainsi, d"après les données, on ap(A)=0,29.

1.En interprétantles données de l"énoncé, indiquer les valeurs dePF(A) etP

F(A). 2.

On posex=P(F).

a.Reproduire sur la copie et compléter l"arbrede probabilité ci-contre. b.En déduire une égalité vérifiée parx?F xA A F1-xA A

3.Déterminer, parmi les personnes ayant répondu au sondage, la proportion de celles

qui sont réellement favorables au projet.

Exercice IV(5 points)

Candidat/e/sn"ayant pas choisi la spécialité mathématique

On veut modéliser dans le plan la coquille d"un nautile à l"aide d"une ligne brisée en forme

de spirale. On s"intéresse à l"aire délimitée par cette ligne.

On munit le plan d"un repère orthonormaldirect

?O;-→u;-→v?. complexeszk=? 1+k n? e i2kπ net on noteMkle point d"affixezk. Dans ce modèle, le pourtour du nautile est la ligne brisée reliant tous les pointsMkavec

0?k?n.

Par exemple, pour les entiersn=6,n=10 etn=20, on obtient les figures ci-dessous. n=6n=10n=20

1 2-1-2

-1 -211 2-1-2 -1 -211 2-1-2 -1 -21 Partie A : Ligne brisée forméeà partir desept points Dans cette partie, on suppose quen=6. Ainsi, pour 0?k?6, on azk=? 1+k 6? e i2kπ 6.

1.Déterminer la forme algébrique dez1.

2.Vérifier quez0etz6sont des entiers que l"on déterminera.

l"aire de ce triangle est égale à 7? 3 24.
Partie B : Ligne brisée formée à partir den+1 points Dans cette partie,nest un entier supérieur ou égal à 2.

1.Pour tout entierktel que 0?k?n, déterminer la longueurOMk.

2.Pourkentier tel que 0?k?n-1, déterminer une mesure des angles?-→u;---→OMk?

et?-→u;-----→OMk+1? En déduire une mesure de l"angle?---→OMk;-----→OMk+1?

3.Pourkentier tel que 0?k?n-1, démontrer que la longueur de la hauteur issue de

M k+1dans le triangleOMkMk+1est égale à? 1+k+1 n?

×sin?2πn?

2sin?2πn?

1+kn??

1+k+1n?

et que l"aire totale délimitée par la ligne brisée est égale àAn=a0+a1+···+an-1.

L"algorithme suivant permet de calculer l"aireAnlorsqu"on entre l"entiern:

VARIABLESAest un nombre réel

kest un entier nest un entier

TRAITEMENT Lire la valeur den

Aprend la valeur 0

Pourkallant de 0 àn-1

Aprend la valeurA+1

2sin?2πn?

1+kn??

1+k+1n?

Fin Pour

SORTIE AfficherA

On entre dans l"algorithmen=10

Recopier et compléter le tableau ci-dessous qui illustre lefonctionnement de l"algo- rithme. k0123456789

5.On admet queA2=0 et que la suite(An)converge et que limn→+∞An=7π3≈7,3.

Recopier et compléter les lignesL6 etL13 de l"algorithme ci-après qui permet de dé- terminer le plus petit entierntel queAn?7,2. On ne demande pas de déterminer n.

L1 VARIABLES :Aest un nombre réel

L2kest un entier

L3nest un entier

L4 TRAITEMENT :nprend la valeur 2

L5Aprend la valeur 0

L6 Tant que............

L7nprend la valeurn+1

L8Aprend la valeur 0

L9 Pourkallant de 0 àn-1

L10Aprend la valeurA+1

2sin?2πn?

1+kn??

1+k+1n?

Fin Pour

L12 Fin Tant que

L13 SORTIE : Afficher...

Exercice V(5 points)

Candidat/e/sayant choisi laspécialité mathématique Le but de cet exercice est d"étudier, sur un exemple, une méthode de chiffrement publiée en

1929 par le mathématicien et cryptologue Lester Hill. Ce chiffrement repose sur la donnée

d"une matriceA, connue uniquement de l"émetteur et du destinataire. Dans tout l"exercice, on noteAla matrice définie par :A=?5 27 7?

Partie A - Chiffrement de Hill

Étape 1On divise le mot en blocs de deux lettres consécutives puis, pour chaque bloc, on effectue chacune des étapes suivantes. Étape 2On associe aux deux lettres du bloc les deux entiersx1etx2tous deux compris entre 0 et 25, qui correspondent aux deux lettres dans le mêmeordre, dans le tableau suivant :

ABCDEFGHIJKLM

0123456789101112

NOPQRSTUVWXYZ

13141516171819202122232425

Étape 3On transforme la matriceX=?x1

x 2? en la matriceY=?y1 y 2? vérifiantY=AX.

Étape 4On transforme la matriceY=?y1

y 2? en la matriceR=?r1 r 2? , oùr1est le reste de la division euclidienne dey1par 26 etr2celui de la division euclidienne dey2par 26.
Étape 5On associe aux entiersr1etr2les deux lettres correspondantes du tableau de l"étape 2. Le bloc chiffré est le bloc obtenu en juxtaposant ces deux lettres. Question :utiliser la méthode de chiffrement exposée pour chiffrer lemot "HILL». Partie B - Quelques outilsmathématiques nécessaires au déchiffrement

1.Soitaun entier relatif premier avec 26.

Démontrer qu"il existe un entier relatifutel queu×a≡1modulo26.

2.On considère l"algorithme suivant :

VARIABLES :a,u, etrsont des nombres (aest naturel et premier avec 26)

TRAITEMENT :Lirea

uprend la valeur 0, etrprend la valeur 0

Tant quer?=1

uprend la valeuru+1 rprend la valeur du reste de la division euclidienne deu×a par 26

Fin du Tant que

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