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MATHS

BCPST 1

MÉTHODES ET EXERCICES

MATHS

BCPST 1

MÉTHODES ET EXERCICES

A. BÉGYN | G. CONNAN | R. LEROY | F. EZANNO 4 e

édition

© Dunod, 2018

11 rue Paul Bert, 92240 Malakoff

www.dunod.com *4#/Création graphique de la couverture : Hokus Pokus Créations

Table des matières

CHAPITRE1LOGIQUE,ENSEMBLES,SIGNES

ET ?1

Méthodes à retenir2

Énoncés des exercices5

Du mal à démarrer ?10

Corrigés des exercices11

CHAPITRE2NOMBRES COMPLEXES ET TRIGONOMÉTRIE20

Méthodes à retenir21

Énoncés des exercices24

Du mal à démarrer ?29

Corrigés des exercices30

CHAPITRE3SUITES RÉELLES44

Méthodes à retenir45

Énoncés des exercices48

Du mal à démarrer ?55

Corrigés des exercices56

CHAPITRE4SYSTÈMES LINÉAIRES ET CALCUL MATRICIEL71

Méthodes à retenir72

Énoncés des exercices74

Du mal à démarrer ?81

Corrigés des exercices82

i ©Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit. CHAPITRE5ESPACES VECTORIELS ET APPLICATIONS LINÉAIRES98

Méthodes à retenir99

Énoncés des exercices104

Du mal à démarrer ?112

Corrigés des exercices113

Méthodes à retenir141

Énoncés des exercices146

Du mal à démarrer ?154

Corrigés des exercices156

CHAPITRE7DÉRIVABILITÉ,DÉVELOPPEMENTS LIMITÉS175

Méthodes à retenir176

Énoncés des exercices179

Du mal à démarrer ?187

Corrigés des exercices189

CHAPITRE8INTÉGRATION,ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES210

Méthodes à retenir211

Énoncés des exercices214

Du mal à démarrer ?221

Corrigés des exercices223

Méthodes à retenir247

Énoncés des exercices250

Du mal à démarrer ?257

Corrigés des exercices258

ii

CHAPITRE10VARIABLES ALÉATOIRES274

Méthodes à retenir275

Énoncés des exercices276

Du mal à démarrer ?282

Corrigés des exercices283

CHAPITRE11VECTEURS ALÉATOIRES295

Méthodes à retenir296

Énoncés des exercices298

Du mal à démarrer ?305

Corrigés des exercices306

CHAPITRE12GÉOMÉTRIE325

Méthodes à retenir326

Énoncés des exercices330

Du mal à démarrer ?335

Corrigés des exercices336

CHAPITRE13STATISTIQUES349

Méthodes à retenir350

Énoncés des exercices351

Du mal à démarrer ?354

Corrigés des exercices355

iii ©Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.

Logique, ensembles, signes

et ?Chapitre1

CHAPITRE

1 1

Logique, théorie des ensembles

et manipulations des signes et

Thèmes abordés dans les exercices

- Raisonnements mathématiques - Opérations sur les ensembles - Propriétés générales des applications - Manipulation des symboles

ΣetΠ

Points essentiels du cours pour la résolution

des exercices - Démonstration d"une implication, d"une équivalence - Raisonnement par contraposée - Raisonnement par l"absurde - Raisonnement par récurrence - Démonstration d"une inclusion, d"une égalité entre ensembles - Règles de calcul pour les opérations sur les ensembles - Image directe d"une partie par une application - Injectivité, surjectivité ou bijectivité d"une application - Théorème d"inversibilité pour la loi de composition - Théorème de la bijection pour les fonctions numériques - Règles de calcul avec les symboles

ΣetΠ

- Règles de calcul sur les coefficients binomiaux - Sommes usuelles : sommes arithmétiques, sommes géométriques, formule du binôme 1 ©Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.

Chapitre1Logique, ensembles, signes

et

Les méthodes à retenir

Pourdémontreruneimplicationouune

équivalence- Pour démontrer que A=?B on suppose que la propriété A est verifiée et on doit démontrer que la propriété B l"est aussi.

Exercice1.13

- Pour démontrer l"implication A=?B, on peut raisonner par contraposée, c"est-à-dire démontrer l"implicationnon(B)=? non(A) : on suppose que B n"est pas verifiée et on démontre qu"alors A ne l"est pas non plus.

Exercice1.5

- Pour démontrer une équivalence A??B on raisonne par double- implication : on démontre l"implication A=?B ainsi que sa réci- proque B=?A.

Exercice1.15

Pourraisonnerparlabsurde- Pour démontrer que A est vérifiée : on suppose que A n"est pas

vérifiée et on en déduit une contradiction évidente du type 1=0,

Exercices1.10 et1.15

Pourdémontreruneproposition

logiquedépendantde quanti“cateurs- Pour démontrer que?x?E, P(x):onsefixeunx?E quelconque et on doit alors démontrer que P(x)estvérifiéepourcexfixé.

Exercices1.1 et 1.5

- Pour démontrer que?x?E/ P(x) : on doit donner (au moins) un exemple dex?E quivérifielapropriétéP(x).LorsqueP(x) estune équation alorsxest l"inconnue et on doit trouver (au moins) une solution.

Exercices1.1 et1.14

- Pour démontrer que?!x?E/ P(x) : on démontre comme précé- demment que?x?E/ P(x) et, de plus, qu"il ne peut y avoir deux valeurs distinctes dexpour lesquelles P(x) est vraie (ceci à l"aide d"un raisonnement par l"absurde).

Exercice1.14

2

Logique, ensembles, signes

et ?Chapitre1

Pourraisonnerparrécurrence- Si la propriété à démontrer, pour tout entier natureln, vérifie une

relation donnée entre le rangnet le rangn+1 on utilise alors le principe de récurrence.

Exercices1.6, 1.7, 1.19 et1.21

- Si la propriété à démontrer, pour tout entier natureln, vérifie une relation donnée entre les rangsn,n+1etn+2 on utilise alors le principe de récurrence à deux pas.

Exercice1.7

- Si la propriété à démontrer, pour tout entier natureln, vérifie une le principe de récurrence forte.

Exercice1.7

Pourdémontreruneinclusionou une

égalitéentredeux ensembles- Pour démontrer l"inclusion E?F on démontre l"implication x?E=?x?F.

Exercices1.10 et1.15

- Pour démontrer l"égalité E=F on raisonne par double-inclusion : on démontre l"inclusion E?F et l"inclusion réciproque F?E.

Exercices1.10, 1.15 et1.16

- Dans les deux cas, on peut aussi utiliser les opérations sur les en- sembles.

Exercices1.15 et1.16

Pour déterminer le domaine de

dé“nition dune fonction- On repère les opérations potentiellement interdites (racines, lo-

riablexpour que toutes ces opérations soient définies, puis on fait la résolution.

Exercice1.4

Pour démontrer quune application est

injective ou surjective- Pour démontrer quef:E-→F est injective sur E : on se donne (x 1 ,x 2 )?E 2 tel quef(x 1 )=f(x 2 ), et on doit alors montrer que x 1 =x 2

Exercices1.12, 1.13 et1.14

- Pour démontrer quef:E-→F est surjective de E sur F : on se donney?F fixé quelconque , et on doit alors donner (au moins) unx?Etelquey=f(x), par exemple en démontrant que l"équa- tiony=f(x) d"inconnuexa (au moins) une solution dans E.

Exercices1.12, 1.13 et1.14

- Pour démontrer quef:E-→F est surjective on peut aussi appli- quer le théorème des valeurs intermédiaires.

Exercice1.11

3 ©Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.

Chapitre1Logique, ensembles, signes

et

Pour démontrer qu"une application est

bijective- On revient à la définition en démontrant qu"elle est à la fois injec- tive sur E, et surjective de E sur F.

Exercices1.11 et1.13

- On démontre les deux en même temps : on se donney?Ffixé quelconque , et on doit alors montrer que?!x?E/y=f(x), par exemple en démontrant que l"équationy=f(x) d"inconnuexa une unique solution dans E.

Exercices1.11 et1.14

- On utilise le théorème d"inversibilité pour la loi de composition : on détermine une applicationg:F-→E telle quef◦g=id F et g◦f=id E

Exercice1.23

- Dans le cas d"une fonction numérique, on peut utiliser le théo- rème de la bijection.

Exercices1.11 et1.14

Pour déterminer lapplication

réciproquedune bijection-Poury?F fixé quelconque,f -1 (y) est l"unique solution de l"équa- tiony=f(x) d"inconnuex?E.

Exercices1.9 et1.14

-Sionatrouvég:F-→E telle quef◦g=id F etg◦f=id E ,alors f -1 =g.

Exercice1.23

Pour déterminer limage directe dun

ensembleparune fonction- On étudie les variations de la fonction sur l"ensemble donné. On applique le théorème des valeurs intermédiaires sur chaque inter- valle où la fonction est monotone.

Exercice1.8

Pourcalculerunesomme formelle- Onmetenfacteur lestermesnedépendantpasdel"indicedesom- mation, on utilise ensuite les règles de calcul sur les symbolesΣ, et on conclut en faisant apparaître les sommes usuelles à l"aide de changements d"indice.?→

Exercices1.17, 1.20, 1.21 et1.22

- Si le résultat final est donné dans l"énoncé, on peut aussi démon- trer la formule par récurrence.

Exercices1.19 et1.20

4

Logique, ensembles, signes

et ?Chapitre1

Énoncés des exercices

1.1

Vrai ou faux ?

En justifiant soigneusement, dire pour chacune des assertions suivantes si elle est vraie ou fausse. a)?(x,y,z)?R 3 ,?xReconnaîtredes ensembles ment. Déterminer lesquels. E 1 ={5,8,11,14,17,...}, E 2 =?x 2 ,x??1,5? ?,E 3 3 2 3 2 ∩Z, E 4 =?y 2 ,y?[-5,-1]?,E 5 =?-1,1?,E 6 E 7 =[1,25], E 8 ={3x+2,x?N }, E 9 =?m?[1,25] :?k?N,m=k 2 E 10 ={-1,0,1}, E 11 =?n?N :?k?N ,n=3k+2?, E 12 ={3n+2,n?N }, E 13 E 14 =?t 2 ,t?[1,5]?,E 15 =?sin(k 2 ),k?Z?,E 16 ={1,4,9,16,25}, 1.3

Sous-partiesdeR

Écrire pour chacune des assertions suivantes, le plus simplement possible, l"en- semble E des réelsxla vérifiant. a)x>4etx<7etx?=6 b) (x>0etx<3) oux=0 c) (x<3etx?N)oux=2 d) (x?R oux=-3) etx<0 e)?u?[3,+∞[:x=u 2 5 ©Dunod. Toute reproduction non autorisée est un délit.

Chapitre1Logique, ensembles, signes

et 1.4

Ensemble de dé“nition

Déterminer l"ensemble de définition :

a) de la fonctionudéfinie par u(x)=ln(x-1)+? 4-x x 4 -16+cosxsinx-1. b) de la fonctionvdéfinie par v(x)=? sin(x)-ln(1-x 2 1.5 Exemplede démonstrationdune implicationparcontraposée

Établir que :?n?N,n

2 pair=?npair. 1.6

Récurrencessimples

a) Montrer l"inégalité suivante : ?n≥2,?x>0, (1+x) n >1+nx b) Montrer que pour toutn≥1,

1+2+4+8+···+2

n =2 n+1 -1. (la formule pour une somme géométrique vue au lycée n"est pas supposée connue). 1.7

Exemplesde démonstrationparrécurrence

a) Établir que, pour toutn?N: n k=0 k 2 n(n+1)(2n+1) 6 b) Ondé“nitunesuiteréelle(u n n?N par :u 0 =u 1 =3et?n?N,u n+2 =u n+1 +2u n

Établir que, pour toutn?N:u

n =2 n+1 +(-1) n c) On définit une suite réelle (u n n?N par :u 0 =0,u 1 =3et ?n?N ,u n+1 =2 n n k=0 u k

Montrer que, pour toutn?N:u

n =3n. 1.8

Image directe

Dans les exemples suivantsfest une fonction deRdansRet I est un intervalle deR.

Déterminerf(I).

a) I=[π/4,5π/6],f(x)=cosx b) I=[0,?

13],f(x)=?x?

c) I=[-1,2],f(x)=x 2 6

Logique, ensembles, signes

et ?Chapitre1quotesdbs_dbs42.pdfusesText_42

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