Injection surjection
http://exo7.emath.fr/ficpdf/fic00003.pdf
Untitled
surjective ?bijective? Exercice 2: Soit l'application f définie comme suit: f: RR. Année 2012-2013. 1ere Année. Algèbre. 1. fest-elle injective ?surjective ?
Injection surjection
https://math.univ-lille1.fr/~bodin/exo4/selcor/selcor03.pdf
Pascal Lainé Ensembles-Applications Exercice 1 : Soit : → définie
est une application. (i) bijective (ii) injective et pas surjective (iii) surjective et pas injective (iv) ni surjective ni injective. Justifier.
MÉTHODES ET EXERCICES
fait la résolution. → Exercice 1.4. Pour démontrer qu'une application est injective ou surjective. — Pour démontrer que f
Exercices du chapitre 2 avec corrigé succinct
Soit f : R+ → R définie par f (x) = x. Cette application est-elle injective? surjective? bijective? Que faudrait-il modifier pour qu'elle devienne bijective ?
Cours : Ensembles et applications
Injection surjection
Corrigé du TD no 6
(e) Grâce à l'analyse réelle (théorème de la bijection) on voit que f ◦ g : R → R est bijective
Applications - Injections - Surjections - Bijections
25 août 2017 n = 0 ↦→ g(n) = n − 1. Montrer que g ◦ f = IdN mais que ni f ni g ne sont bijectives. 2 Fonctions numériques. EXERCICE 3. Soit la fonction ...
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bijective et sa bijection réciproque est. (g ◦ f )−1 = f −1 ◦ g−1. Démonstration. D'après la proposition 1 il existe u : F → E tel que u ◦ f = idE et ...
Injection surjection
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MÉTHODES ET EXERCICES
Corrigés des exercices Théorème de la bijection pour les fonctions numériques ... Pour démontrer que f : E ?? F est injective sur E : on se donne.
Pascal Lainé Ensembles-Applications Exercice 1 : Soit : ? définie
est une application. (i) bijective (ii) injective et pas surjective (iii) surjective et pas injective (iv) ni surjective ni injective. Justifier.
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1. fainsi définie est-elle injective ? surjective ?bijective? Exercice 2: Soit l'application f définie comme suit : Corrigé Fiche de TD 2. fix) = 3x+ 5.
Cours : Ensembles et applications
Injection surjection
Exercices du chapitre 2 avec corrigé succinct
Exercice II.3 Ch2-Exercice3. Soit f : R+ ? R définie par f (x) = x. Cette application est-elle injective? surjective? bijective? Que.
TD no 6 — Injections surjections
https://www.math.univ-toulouse.fr/~jgillibe/CPP/TD6_injections_surjections.pdf
Cours - Injections surjections
http://christophebertault.fr/documents/coursetexercices/Cours%20-%20Injections
[PDF] Injection surjection bijection - Exo7 - Exercices de mathématiques
Injection surjection bijection Exercice 1 Soient f : R ? R et g : R ? R telles que f(x) = 3x+1 et g(x) = x2 ?1 A-t-on f ?g = g? f ? Indication ?
[PDF] Injection surjection bijection
Biblioth`eque d'exercices Énoncés L1 Feuille n? 3 Injection surjection bijection Exercice 1 Soient f : R ? R et g : R ? R telles que f(x)=3x + 1
[PDF] Pascal Lainé Ensembles-Applications Exercice 1 : Soit
(i) bijective (ii) injective et pas surjective (iii) surjective et pas injective (iv) ni surjective ni injective Justifier 4 Soient ? ? tels
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Exercice 1: Soit f: R? R telle que f(x) = 3x + 5 1 f ainsi définie est-elle injective? surjective ?bijective? Exercice 2: Soit l'application f définie
[PDF] Corrigé du TD no 6
Corrigé du TD no 6 Exercice 1 1 Les applications f ? g et g ? f sont données par f ? g : R ?? R (a) L'application f est-elle injective?
[PDF] MÉTHODES ET EXERCICES - Dunod
1 Méthodes à retenir 2 Énoncés des exercices 5 Du mal à démarrer ? 10 Corrigés Pour démontrer que f : E ?? F est injective sur E : on se donne
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25 août 2017 · n = 0 ?? g(n) = n ? 1 Montrer que g ? f = IdN mais que ni f ni g ne sont bijectives 2 Fonctions numériques EXERCICE 3 Soit la fonction
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Cette application est-elle injective? surjective? bijective? Que Montrer en utilisant les résultats du chapitre 1 que la négation de l'implication
[PDF] Applications injectives surjectives et bijectives
1 2 3 4 5 6 f Exercice 2 La courbe représentée ci-dessous est-elle le graphe d'une On dit que f est injective si quel que soitl'élément b de F
Comment montrer qu'une fonction est injective surjective et bijective ?
Une fonction f:E?F f : E ? F est dite bijective si elle est à la fois injective et surjective, ou encore si pour tout y?F y ? F , l'équation y=f(x) y = f ( x ) poss? une unique solution. Si E et F sont des ensembles finis, E et F doivent alors avoir le même nombre d'éléments.Comment résoudre une application bijective ?
Pour calculer la réciproque d'une application f:E?F f : E ? F bijective, on résout pour tout y de F l'équation y=f(x) y = f ( x ) , d'inconnue x?E x ? E , c'est-à-dire que l'on exprime x en fonction de y .Comment montrer que g est bijective ?
si y = 0 et h(0) = 0. Donc g est une bijection. avec f(?1) = ?1 et f(1) = 1. Donc la restriction de f, appelée g : [?1,1] ?? [?1,1], est une bijection.- 1. L'application f est bijective si et seulement si il existe une application g : F ? E telle que f ? g = idF et g ? f = idE. 2. Si f est bijective alors l'application g est unique et elle aussi est bijective.
Pascal Lainé
1Ensembles-Applications
Exercice 1 :
Soit ݂ǣܫ՜ܬ
1. Donner des ensembles ܫ et ܬ
2. Donner des ensembles ܫ et ܬ
3. Donner des ensembles ܫ et ܬ
4. Donner des ensembles ܫ et ܬ
Allez à : Correction exercice 1 :
Exercice 2 :
Dire (en justifiant) pour chacune des applications suivantes si elles sont injectives, surjectives, bijectives :Allez à : Correction exercice 2 :
Exercice 3 :
Soit ؿܫԹ et ؿܬԹ, deux intervalles de Թ. Soit ݂ǣܫ՜ܬ1. Montrer que ݂ est injective.
2. ܭ tel que ݂ǣܫ՜ܭ
Allez à : Correction exercice 3 :
Exercice 4 :
1. ݂ est-elle injective ?
2. ݂ est-elle surjective ?
3. ݃ est-elle injective ?
4. ݃ est-elle surjective ?
Allez à : Correction exercice 4 :
Exercice 5 :
Soient
Où ܧ
Les fonctions sont-elles injectives, surjective ? Comparer ݂ל݃ et ݃לAllez à : Correction exercice 5 :
Exercice 6 :
Soit ݂ une application de ܧ vers ܧ
Montrer que ݂ est surjective.
Pascal Lainé
2Allez à : Correction exercice 6 :
Exercice 7 :
݂ǣԳ՜Գ définie pour tout ݊א1. Existe-t-il ݃ǣԳ՜Գ telle que :݂ל݃ൌܫ
2. Existe-t-il ݄ǣԳ՜Գ telle que :݄ל݂ൌܫ
Allez à : Correction exercice 7 :
Exercice 8 :
1. Existe-t-il une fonction ݃ǣԺ՜Ժ telle que ݂ל݃ൌܫ
2. Existe-t-il une fonction ݄ǣԺ՜Ժ telle que ݄ל݂ൌܫ
Allez à : Correction exercice 8 :
Exercice 9 :
Montrer que les trois propriétés suivantes sont équivalentes (i) ݂ est injective (ii) ݂ est surjective (iii) ݂ est bijectiveAllez à : Correction exercice 9 :
Exercice 10 :
Répondre aux questions qui suivent, en justifiant, le cas échéant, votre réponse par un bref argument, un
calcul ou un contre-exemple.1. Si les applications ݑǣԳ՜Ժ et ݒǣԺ՜Գ ݑלݒל
aussi bijective. Vrai ou Faux, justifier.(i) bijective (ii) injective et pas surjective (iii) surjective et pas injective (iv) ni surjective ni
injectiveJustifier.
euclidienne de ݈ par ݊ est une application.(i) bijective (ii) injective et pas surjective (iii) surjective et pas injective (iv) ni surjective ni
injectiveJustifier.
4. Soient ܽǡܾǡܿǡ݀אԺ tels que ܽ݀െܾܿ
Allez à : Correction exercice 10 :
Exercice 11 :
Montrer que :
Pascal Lainé
3 a. Montrer que ݂ est injective ? b. ݂ est-elle surjective ?Allez à : Correction exercice 11 :
Exercice 12 :
Pour un entier ݊אԳ on désigne par ܫ2. A quelle condition portant sur les entiers ݉ et ݊ peut-on définir une application ݂ǣܫ՜ܫ
injective, surjective, bijective ?Allez à : Correction exercice 12 :
Exercice 13 :
Soient ܨ, ܧ et ܩ trois ensemble et soient ݂ǣܧ՜ܨ et ݃ǣܨ՜ܩ1. Montrer que si ݂ et ݃ sont injectives alors ݃ל
2. Montrer que si ݂ et ݃ sont surjectives alors ݃ל
3. Que peut-on conclure sur ݃ל
4. Montrer que si ݃ל
5. Montrer que si ݃ל
6. Si à présent ݂ǣܧ՜ܨ et ݃ǣܨ՜ܧ
suivants : a. ݃ל݂ൌܫ b. ݂ל݃ൌܫ c. ݂ל݂ൌܫAllez à : Correction exercice 13 :
Exercice 14 :
1. Montrer que si ݂ admet au moins une section alors ݂ est surjective.
2. Montrer que toute section de ݂ est injective.
Une application ݎ, de ܻ dans ܺ, telle que ݎל݂ൌܫ3. Montrer que si ݂ possède une rétraction alors ݂ est injective.
4. Montrer que si ݂ est injective alors ݂ possède une rétraction.
5. Montrer que toute rétraction de ݂ est surjective.
Allez à : Correction exercice 14 :
Exercice 15 :
Allez à : Correction exercice 15 :
Exercice 16 :
Pascal Lainé
4Allez à : Correction exercice 16 :
Exercice 17 :
Soit ݂ǣܦ
1. Représenter ܦ
b. Montrer que ݂ est injective, on pourra se ramener au système du 2.a..3. Est-ce que ݂ est surjective ?
Allez à : Correction exercice 17 :
CORRECTIONS
Correction exercice 1 :
Allez à : Exercice 1 :
Correction exercice 2 :
Une fonction est bijective si et
bijective.݂ est bijective.
Pascal Lainé
5 ݃ est une bijection strictement croissante de Թ sur Թ, par conséquent pour tout ݕא unique ݔא On va étudier (sommairement) cette fonction et dresser son tableau de variation. Les seules bijections de ؿܧԹ sur ؿܨԹ ܧ est ܨPour tout ݕאԹ il existe ݔא
Pour tout ݕא
autres ݕLe " ݔସ ݔ ».
Pour tout ݕെଷ
య, ݕ admet deux antécédents, ݇ est ni surjective ni injective.Pascal Lainé
6Allez à : Exercice 2 :
Correction exercice 3 :
1.Donc ݂ est injective.
Allez à : Exercice 3 :
Correction exercice 4 :
1.Donc ݂
Donc pour tout א
݂ est surjective.
3.Donc ݃ est injective.
AlorsCe qui équivaut à
Allez à : Exercice 4 :
Correction exercice 5 :
݂ est injective.
ͳ ݊ tel que ͳൌ-݊, ݂
injective. Pour tout ݕൌ݊אԳ ݔൌ-݊א que :݃ est surjective.
Si ݊ est pair, il existe א
Si ݊ est impaire, il existe א
Pascal Lainé
7Que ݊ soit paire ou impaire
Remarque :
Comme on le voit sur cet exemple, il ne suffit pas que ݃ל de ݂݂ଵǣܧ՜ܧAllez à : Exercice 5 :
Correction exercice 6 :
Allez à : Exercice 6 :
Correction exercice 7 :
݃ǣԳ՜Գ telle que :݂ל݃ൌܫAllez à : Exercice 7 :
Correction exercice 8 :
݃ǣԺ՜Ժ telle que ݂ל݃ൌܫ Soit ݄ la fonction définie, pour tout אAllez à : Exercice 8 :
Correction exercice 9 :
On suppose que ݂ est injective, on va montrer que ݂ est surjective. pas injective.Soit ݂ܨא ݁ܧא
݁భ്݁మ donc ݂
Pascal Lainé
8 On suppose que ݂ est surjective et on va montrer que ݂ est injective. -à-݂ ors ݂ pas surjective. ݊െͳ éléments et le second ݊ donc il existe un ݂ montre que ݂ surjective. montrer les trois équivalences.Allez à : Exercice 9 :
Correction exercice 10 :
Cela montre que ݑלݒל
Car ݑ est injective
Car ݒ est injective
Car ݑ est injective
Finalement ݑלݒל
2. ݂
oduit de facteur premier entraine que ܽൌܽᇱ, ܾܾᇱ et ܿൌܿ
Donc ݂ est injective et pas surjective.
Donc ߮
Donc ߮
Premier cas ܽ
Pascal Lainé
9 Si ܽൌ-, alors ܾܿൌെͳ, en particulier ܾ Ce sont les mêmes formules que dans le cas où ܽAllez à : Exercice 10 :
Correction exercice 11 :
1. 2.Pascal Lainé
10Cela montre que ଵ
Finalement
Ce qui montre que ݂ est injective.
b. Regardons si ͳאCe qui équivaut à
Mais ଵ
Allez à : Exercice 11 :
Correction exercice 12 :
1. Première méthode : raisonnons par récurrence
applications injectives de plus. applications injectives de plus.Deuxième méthode :
2. ݂ǣܫ՜ܫ
tous distincts par conséquent ݉݊.Remarque :
Supposons que ݂ est surjective.
plusieurs images), par conséquent ݊݉.Pascal Lainé
11Pour que ݂ soit bijective il faut (et il suffit) que ݂ soit injective et sujective, par conséquent il
faut que ݉݊ et que ݊݉, autrement dit il faut que ݉ൌ݊.Remarque :
Allez à : Exercice 12 :
Correction exercice 13 :
Car ݃ est injective
Car ݂ est injective.
Donc ݃ל
2. Première méthode :
Pour tout ݖܩא il existe ݕܨא
Comme pour tout ݕܨא il existe ݔܧא surjective.Remarque :
(b) Si on commence par écrire " pour tout ݕܨא il existe ݔܧאDeuxième méthode :
que ݃ל3. Si ݃ et ݂ sont bijectives alors elles sont injectives et ݃ל
alors elles sont surjectives et ݃ל݂ est surjective, on en déduit que ݃לCar ݃ל
5. Première méthode :
Pour tout ݖܩא, il existe ݔܧא tel que ݖൌ݃לDeuxième méthode :
Ce qui montre que ݃ est surjective.
6. a. ݃ל݂ൌܫPascal Lainé
12Remarque :
b. ݂ל݃ൌܫ c. ݂ל݂ൌܫ Par conséquent ݂ est bijective et ݂ିଵൌ݂.Allez à : Exercice 13 :
Correction exercice 14 :
݂ est injective.
4. Pour tout ݔܺא
de ܺ valeur dans ܺ tous la même valeur).Pour tout ݔܺא
ݎ est bien une rétraction de ݂.
Remarque :
5. Pour tout ݔܺא
Cela montre que ݎ est surjective.
Remarque :
Les rôles habituels de ݔ et ݕ
6.Si ݂ admet une section alors ݂
Si ݂ admet une rétraction alors ݂
Par conséquent ݂ est bijective, on note ݂ିଵǣܻ՜ܺComme ܫ݀ൌݎל
Comme ܫ݀ൌ݂ל
Allez à : Exercice 14 :
Correction exercice 15 :
2.Pascal Lainé
13Allez à : Exercice 15 :
Correction exercice 16 :
Donc 2.Allez à : Exercice 16 :
Correction exercice 17 :
deux demi-plan, ܦ 2. a. b. comme ݔെݕ- sur ܦPascal Lainé
14 comme ݔݕ- sur ܦAllez à : Exercice 17 :
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