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SCIENCES SUP

Cours et exercices corrigés

SCIENCES SUP

ANALYSE COMPLEXE

POUR LA LICENCE 3

Patrice Tauvel

P. TAUVEL

Licence 3 • CAPES

ANALYSE COMPLEXE POUR LA LICENCE 3

Patrice Tauvel

COURS

9 782100 500741

ISBN 2 10 050074 0

ANALYSE COMPLEXE

POUR LA LICENCE 3

www.dunod.com Les fonctions holomorphes d'une ou plusieurs variables complexes interviennent dans plusieurs branches des mathématiques et aussi dans d'autres disciplines scientifiques, en particulier en physique. L'étude de ces fonctions est relativement ancienne et constitue toujours un domaine de recherche actif. Elles mettent en valeur la position privilégiée de l'analyse complexe, située entre la géométrie différentielle, la topologie, l'analyse fonctionnelle et l'analyse harmonique. Cet ouvrage présente l'ensemble des notions d'analyse complexe habituellement abordées en Licence. Afin que le livre soit très autonome, les premiers chapitres reprennent, avec démonstrations, les résultats classiques concernant les séries entières. Des exercices corrigés illustrent le cours et permettent au lecteur de faire le point sur les connaissances acquises. Cet ouvrage est principalement destiné aux étudiants de troisième année de Licence de mathématiques. Il s'adresse aussi aux candidats au CAPES ou à l'Agrégation et aux élèves des

écoles d'ingénieurs.

12345678

1 er cycle2 e cycle3 e cycle

LICENCEMASTERDOCTORAT

MATHÉMATIQUES

PHYSIQUE

CHIMIE

SCIENCES DE L'INGÉNIEUR

INFORMATIQUE

SCIENCES DE LA VIE

SCIENCES DE LA TERRE

PATRICE TAUVEL

est professeur à l'université de Poitiers.

ANALYSE COMPLEXE

POUR LA LICENCE 3

lim Tauvel Page I Vendredi, 9. juin 2006 10:14 10 lim Tauvel Page II Vendredi, 9. juin 2006 10:14 10

ANALYSE COMPLEXE

POUR LA LICENCE 3

Cours et exercices corrigés

Patrice Tauvel

Professeur à l'université de Poitiers

lim Tauvel Page III Vendredi, 9. juin 2006 10:14 10

Illustration de couverture : digitalvision

Conseiller scientifique : Sinnou David

© Dunod, Paris, 2006

ISBN 2 10 050074 0

lim Tauvel Page IV Vendredi, 9. juin 2006 10:14 10 1 1 1 1 1 1 1 1

Table des matiËres

AVANT-PROPOSXI

CHAPITRE 1 •S...RIES NUM...RIQUES

1.1 Notations et rappels1

1.2 Limite supérieure et limite inférieure2

1.3 Généralités sur les séries numériques4

1.4 Séries à termes positifs6

1.5 Convergence absolue8

1.6 Règles de Cauchy et de d"Alembert10

1.7 Séries alternées11

1.8 Séries semi-convergentes12

1.9 Série produit13

1.10 Convergence associative ou commutative14

1.11 Intégrales et séries17

Exercices19

Solutions des exercices20

CHAPITRE 2 SUITES ET S...RIES DE FONCTIONS

2.1 Convergence simple23

2.2 Convergence uniforme24

2.3 Continuité25

2.4 Dérivabilité25

2.5 Intégrabilité27

1 1 1 1 1 1 1 1

VIAnalyse complexe pour la Licence 3

2.6 Séries de fonctions28

2.7 Convergence normale29

Exercices30

Solutions des exercices31

CHAPITRE 3 SÉRIES ENTIÈRES

3.1 Généralités35

3.2 Rayon de convergence36

3.3 Continuité et intégrabilité38

3.4 Dérivabilité39

3.5 Fonctions développables en série entière40

3.6 Quelques exemples42

3.7 Fonction exponentielle43

3.8 Fonctions circulaires et hyperboliques45

Exercices46

Solutions des exercices47

CHAPITRE 4 FONCTIONS ANALYTIQUES

4.1 Dé36nition des fonctions analytiques50

4.2 Principe du prolongement analytique52

4.3 Principe des zéros isolés52

Exercices54

Solutions des exercices54

CHAPITRE 5 FONCTIONS HOLOMORPHES

5.1 Rappels58

5.2 Conditions de Cauchy-Riemann59

5.3 Déterminations continues du logarithme62

5.4 Autres déterminations continues64

Exercices65

Solutions des exercices66

1 1 1 1 1 1 1 1

Table des matiËresVII

CHAPITRE 6 ANALYTICITÉ ET HOLOMORPHIE

6.1 Arcs et chemins67

6.2 Intégration complexe69

6.3 Indice71

6.4 Existence des primitives72

6.5 Analyticité des fonctions holomorphes77

6.6 Fonctions circulaires réciproques79

Exercices82

Solutions des exercices83

CHAPITRE 7 PROPRIÉTÉS DES FONCTIONS HOLOMORPHES

7.1 Inégalités de Cauchy et conséquences84

7.2 Principe du maximum85

7.3 Lemme de Schwarz et applications87

7.4 Suites et séries89

7.5 Holomorphie et intégration91

Exercices94

Solutions des exercices95

CHAPITRE 8 FONCTIONS MÉROMORPHES

8.1 Un point de topologie98

8.2 Singularités isolées99

8.3 Fonctions méromorphes101

8.4 Théorème des résidus102

8.5 Théorème de l'indice104

8.6 Théorème de Rouché106

8.7 Inversion locale107

8.8 Séries de fonctions méromorphes109

Exercices112

Solutions des exercices113

1 1 1 1 1 1 1 1

VIIIAnalyse complexe pour la Licence 3

CHAPITRE 9 PRODUITS INFINIS

9.1 Produits in36nis de nombres complexes116

9.2 Produits in36nis de fonctions holomorphes119

Exercices123

Solutions des exercices124

CHAPITRE 10 HOMOTOPIE ET HOLOMORPHIE

10.1 Homotopie et simple connexité126

10.2 Primitive le long d'un arc130

10.3 Indice132

10.4 Formule de Cauchy135

10.5 Séries de Laurent137

10.6 Les généralisations140

Exercices142

Solutions des exercices143

CHAPITRE 11 HOLOMORPHIE ET PARTIES LOCALEMENT FINIES

11.1 Produit canonique de Weierstrass145

11.2 Applications147

11.3 Idéaux150

Exercices152

Solutions des exercices153

CHAPITRE 12 REPRÉSENTATION CONFORME

12.1 Topologie154

12.2 Un résultat d'isomorphisme157

12.3 Conservation des angles159

Exercices160

Solutions des exercices162

CHAPITRE 13 QUELQUES GRANDS CLASSIQUES

13.1 Théorèmes de Picard164

13.2 Théorème de Runge169

Exercices176

Solutions des exercices177

1 1 1 1 1 1 1 1

Table des matiËresIX

CHAPITRE 14 FONCTIONS HARMONIQUES

14.1 Premières propriétés179

14.2 Représentation intégrale181

Exercices184

Solutions des exercices185

CHAPITRE 15 QUELQUES CALCULS D"INTÉGRALES

15.1 Quelques lemmes186

15.2 Quelques méthodes188

RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES197

INDEX199

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