[PDF] TD électronique MP-PC-PSI-PT Exercice 3 : Utilisation d'un

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- 1 -

TRAVAUX DIRIGES

D'ELECTRONIQUE

MP/MP*

PC/PC*

PSI/PSI*

PT/PT*

Ce TD comporte deux séries d"exercices :

1) Des exercices d"applications directes du cours

2) Des exercices d"entrainement à l"écrit des concours (issus des annales X-ENS, Mines-

Ponts, Centrale-Supélec et CCP)

Dans la première série vous trouverez, pour chacune des parties " composition en fréquence

d"un signal périodique », " filtres linéaires », " oscillateurs quasi-sinusoïdaux » et

" amplificateur opérationnel en régime saturé » donnant :

Conseils

Méthodes Erreurs à éviter

A Indications

afin de vous permettre de vous aiguiller dans la résolution d"un exercice et d"acquérir les bons

réflexes pour aborder une situation nouvelle.

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- 2 -

Sommaire

1ère série :

Remarques générales pour la composition en fréquence d"un signal périodique ......... page 3

Exercice 1 : Signal obtenu avec un multiplieur ................................................. page 5

Exercice 2 : Décomposition d"un signal carré ................................................... page 6

Remarques générales pour les filtres linéaires ................................................... page 7

Exercice 3 : Utilisation d"un multiplieur pour la mesure de déphasage .................... page 10

Exercice 4 : Filtre de Rauch ......................................................................page 12

Remarques générales pour les oscillateurs quasi-sinusoïdaux ............................... page 15

Exercice 5 : Oscillateur à résistance négative ................................................. page 16

Exercice 6 : Oscillateur à pont de Wien ........................................................ page 18

Remarques générales pour l"amplificateur opérationnel en régime saturé ................... page 20

Exercice 7 : Allumage automatique des réverbères .......................................... page 21

Exercice 8 : Réalisation d"un GBF sommaire ................................................ page 23

2ème série :

Exercice 9 : Décomposition d"un signal modulé en amplitude ............................. page 26

Exercice 10 : Signal généré par un intégrateur ................................................ page 27

Exercice 11 : Signal redressé par diode ........................................................ page 29

Exercice 12 : Analyse des composantes fréquentielles d"un signal sonore ................ page 31

Exercice 13 : Démodulation d"un signal modulé en amplitude ............................. page 33

Exercice 14 : Montage intégrateur à amplificateur opérationnel ............................ page 35

Exercice 15 : Principe d"une montre à quartz ................................................. page 37

Exercice 16 : Détection de véhicule ............................................................ page 39

Exercice 17 : Sonde thermique ................................................................. page 43

Exercice 18 : Interrupteur commandé pour éolienne ........................................ page 45

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- 3 -

1ère série : exercices d'applications directes du cours

◊◊◊◊ Remarques générales pour la composition en fréquence d"un signal

périodique

Conseils :

· Regarder si le signal à étudier est composé de termes sunusoïdaux ou s"il est

périodique non sinusoïdal (de type créneau, triangle, ...). · Dans tout le TD on garde les même notations, à savoir : pour une décomposition de la forme [ ]0

1( ) cos( ) sin( )n n

ns t a a n t b n tw w = + +∑ les coefficients se calculent à l"aide des intégrales suivantes : 0 01( ) T a s t dtT=∫ 0

2( )cos( )

T n a s t n t dtTw=∫ 0

2( )sin( )

T n b s t n t dtTw=∫ On écrira aussi la décomposition sous la forme : 0

1( ) cos( )n n

ns t c c n tw j = + +∑, ou bien 0

1( ) sin( )n n

ns t c c n tw j Méthodes : · Pour déterminer le spectre d"un signal possédant un nombre fini de termes : Lorsque le signal que l"on veut analyser est composé d"une multiplication de termes

sinusoïdaux, on linéarise en utilisant la trigonométrie, on obtient l"expression du

signal comme somme de termes sinusoïdaux, c"est-à-dire la décomposition de

Fourier du signal.

Il faut connaître les formules de trigonométrie qui permettent de linéariser. · Pour déterminer le spectre d"un signal possédant un nombre infini de termes : Lorsque le signal que l"on veut analyser est périodique et n"est pas composé de termes sinusoïdaux, on applique le théorème de Fourier et on calcule les coefficients

à l"aide du calcul intégral.

Erreur à éviter : · Si la décomposition contient des termes en cosinus et sinus relatifs à une même fréquence il ne faut pas ajouter les deux composantes dans le spectre mais écrire un seul terme : cos sin cos( )A a B a C aj+ = + avec 2 2C A B= + et arctanB

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- 4 -

· Un déphasage ne modifie pas le spectre.

A Indications :

· Les formules trigonométriques permettant de transformer un produit en somme sont les suivantes : ( )1sin cos sin( ) sin( )2a b a b a b= + + - ( )1cos cos cos( ) cos( )2a b a b a b= - + + ( )1sin sin cos( ) cos( )2a b a b a b= - - + · La décomposition de Fourier d"un signal sinusoïdal ( ) sins t a tw= est lui-même. · Si un terme de la décomposition possède un coefficient négatif, son amplitude dans le spectre est l"opposé de ce coefficient.

· Parité du signal :

si ( )s t est paire, alors 0nb= pour tout n; si ( )s t est impaire, alors 0na= pour tout n. · Dans le calcul des coefficients de Fourier na pas oublier les relations suivantes pour simplifier l"écriture :

2Tw p=

cos(2 ) 1np= cos( ) ( 1)nnp= - sin(2 ) sin( ) 0n np p= =

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- 5 - ◊◊◊◊ Exercice 1 : Signal obtenu avec un multiplieur Dans le montage ci-dessous, on dispose d"un multiplieur analogique, qui transforme les

signaux d"entrée 1( )v t et 2( )v t en un signal de sortie ( )s t tel que 1 2( ) ( ) ( )s t k v t v t= × × où k est

une constante. On choisit 1 1( ) cos( )v t V tw= et 2 2( ) sin( )v t V tw j= + Déterminer le graphe du spectre de Fourier du signal de sortie ( )s t du multiplieur.

Solution

Le signal de sortie

( )s t du multiplieur s"écrit 1 2( ) cos( )sin( )s t kVV t tw w j= +, ou encore

1 21( ) (sin(2 ) sin( ))2s t kVV tw j j= + +.

On en déduit que le signal

( )s t est composé de deux signaux : une composante continue d"amplitude

1 21sin2kVVj et une harmonique de rang 2 : 1 21sin(2 )2kVV tw j+ , de pulsation

2w et d"amplitude 1 21

2kVV (pas de terme fondamental).

Les coefficients

ncs"écrivent : 0 1 21sin2c kVVj= et 2 1 21

2c kVV=.

On remarque que

0 2c c< car sin 1j<.

Le spectre de Fourier du signal

( )s t est le suivant :

1( )v t

2( )v t( )s t

amplitude pulsation 2w"R0

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- 6 - ◊◊◊◊ Exercice 2 : Décomposition d"un signal carré Le montage suivant, appelé multivibrateur astable, fonctionne avec un amplificateur

opérationnel idéal en régime saturé (de tension de saturation satV), génère en sortie un signal

rectangulaire d"amplitude satV et de période 1 Déterminer le graphe du spectre de Fourier du signal sv pour 15 VsatV= (on calculera l"amplitude des quatre premiers termes).

Solution

Le signal

sv est impair, alors 0na= pour tout n, la valeur moyenne 0a est nulle aussi.

Calculons les coefficients

nb : /2

0 0 /22 2sin( ) sin( ) ( )sin( )

T T T n s sat sat T soit

2cos( /2) 1 cos( ) cos( /2)sat

nVn T n T n TbT n nw w w Or

2Tw p=, donc cos( ) 1n Tw= et cos( /2) cos( ) ( 1)nn T nw p= = - , on obtient alors

2(1 ( 1) )nsat

nVb np= - - . Si n est pair 0nb= , et si n est impair 4sat nVbnp=.

On peut écrire

0

41( ) sin((2 1) )2 1

sat s pVv t p tpwp

Les coefficients

nc s"écrivent : 2(1 ( 1) )nsat nVc np= - -. Avec

15 VsatV=, on obtient : 119,1Vc= , 36,4 Vc= , 53,8 Vc= , 72,7 Vc=.

Le spectre de Fourier du signal rectangulaire est le suivant : sv R C 1R 2R sv 0 t satV T 2 T nc

3w5w7www0

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- 7 - ◊◊◊◊ Remarques générales pour les filtres linéaires

Conseils :

· La fonction de transfert d"un filtre

( )Hw peut s"obtenir avec tous les " grands

théorèmes » : loi des mailles, loi des noeuds, loi de Pouillet, théorème de Thévenin,

théorème de Norton, théorème de superposition, loi des noeuds en terme de potentiel : tout est bon ! · Dans la pratique on utilisera le plus souvent le diviseur de tension ou le théorème de Millman. · On utilisera systématiquement la notation complexe qui permet d"éliminer la variable temporelle, l"aspect mathématique se réduit au calcul du module et de l"argument d"un nombre complexe, puis à une étude éventuelle d"une fonction de w. · Ecrire la fonction de transfert en fonction d"une variable adimensionnée 0 xw w= (pulsation réduite) où

0w est une grandeur caractéristique du système homogène à

l"inverse d"un temps, par exemple : 1 RC, R

L ou 1

LC. · Notations : la fonction de transfert se met sous la forme jH Gej= où G H= est le gain du filtre et argHj= est la phase. Méthodes : · Pour déterminer rapidement la nature du filtre :

On regarde la valeur de la tension de sortie

( )sv t en considérant les deux arguments suivants : - un condensateur se comporte : en basse fréquence comme un interrupteur ouvert, en haute fréquence comme un fil ; - une bobine se comporte : en basse fréquence comme un fil, en haute fréquence comme un interrupteur ouvert.

Puis on compare les valeurs de

sv à basse et haute fréquence et on donne la nature du filtre : passe bas, passe haut, passe bande ou coupe bande. · Pour déterminer le diagramme de Bode pour le gain : On chercher à tracer les asymptotes en basse et haute fréquence de la courbe (log )dBG x où 20logdBG H=. Pour (log )dBG x on cherche les limites sans négliger tous les termes, de manière à obtenir une relation de la forme (log ) log dBG x a x b= + (c"est-à-dire une équation de droite !).

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- 8 - · Pour déterminer le diagramme de Bode pour la phase : On chercher à tracer les asymptotes en basse et haute fréquence de la courbe (log )xj. Pour (log )xj les valeur limites ne dépendent pas de logx et valent le plus souvent :

0, p±, ou 2

p±.

j est le plus souvent exprimé à partir de la fonction arctan, pour connaître le

domaine de variation de j il est nécessaire de connaître le signe de cosj et de sinj. · Pour déterminer la bande passante d"un filtre :

On cherche la ou les fréquences de coupure

cw qui vérifient max( )2 cGGw=.

Ou bien on cherche les

cw telles que max( ) 3dB c dBG Gw= -. · Pour reconnaître le caractère dérivateur ou intégrateur d"un filtre : On regarde dans une bande de fréquence (BF ou HF) si la fonction de transfert est proportionnelle à jw : comportement dérivateur ou à 1 jw : comportement intégrateur. Dans les deux cas on observe une pente de

20 /décadedB± dans le

diagramme de Bode. · Pour obtenir l"équation différentielle liant la tension d"entrée ev à la tension de sortie sv à partir de la fonction de transfert :

La fonction de transfert s"écrit

s evP jHv Q j w w= = où P et Q sont deux polynômes.

L"équation différentielle s"obtient avec

()()s eQ j v P j vw w= en utilisant dvj vdtw®et 2 2

2( )d vj vdtw®.

· Pour obtenir l"effet d"un filtre sur un signal périodique : On considère la décomposition de Fourier du signal : tous les termes dont la pulsation appartient à l"intervalle de bande passante sont présents en sortie mais leur amplitude est modifiée (multipliée par le gain du filtre) et ils sont déphasés (phase du filtre), on fera attention à la valeur de la pulsation de la composante modifiée ; tous les termes dont la pulsation n"appartient pas à l"intervalle de bande passante sont filtrés et ne sont pas présents en sortie.

D"une manière générale :

avant le filtre : 0

1( ) cos( )e n n

nv t a c n tw j après le filtre : 0 0

1( ) ( ) cos( ( ))s n n

nv t G a G n c n t nw w j j w (avec ()00G Gw= ®).

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- 9 - Erreur à éviter : · Lorsqu"on fait une étude asymptotique pour le gain il ne faut pas écrire dBG® -¥, même si c"est le cas pour logx (on cherche une équation de droite !). A

Indications :

· Pour les filtres passe-bas et passe-haut de 2nd ordre il peut y avoir résonnace ou non ; il faut le vérifier avant de tracer une courbe de gain. · En écrivant la fonction de transfert sous la forme H A jB= + et ()cos sinjH Ge G jjj j= = +, on obtient facilement cosA

Gj= et sinB

Gj=. · Effets des caractères dérivateur ou intégrateur : avec un filtre passe bas en haute fréquence (intégrateur), on transforme un signal rectangulaire en signal triangulaire ; avec un filtre passe haut en basse fréquence (dérivateur), on transforme un signal triangulaire en signal rectangulaire. · On peut remarquer certains effets particuliers d"un filtre sur un signal périodique : avec un filtre passe bas très sélectif, on filtre le fondamental et toutes les harmoniques, et on obtient un signal continu ; avec un filtre passe bande très sélectif, on filtre la composante continue et toutes les harmoniques sauf une, et on obtient un signal sinusoïdal.

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- 10 - ◊◊◊◊ Exercice 3 : Utilisation d"un multiplieur pour la mesure de déphasage On reprend l"exercice 1 : dans le montage ci-dessous, on dispose d"un multiplieur analogique,

qui transforme les signaux d"entrée 1( )v t et 2( )v t en un signal de sortie ( )s t tel que

1 2( ) ( ) ( )s t kv t v t=où k est une constante ; puis on rajoute en sortie une cellule RC.

On donne 10,1Vk-=, 1MΩR= et 1nFC=.

1. Quelle est la nature du filtre RC en sortie du multiplieur ? Quelles sont la ou les

fréquences de coupure de ce filtre ?

2. Déterminer le graphe du spectre de Fourier du signal de sortie ( )sv t du filtre.

3. En déduire une méthode de mesure du déphasage j entre les signaux 1( )v t et 2( )v t.

Solution

1. En basse fréquence, le condensateur se comporte comme un interrupteur ouvert, donc

l"intensité du courant le traversant est nulle, et ( ) ( )sv t s t=. En haute fréquence, le condensateur se comporte comme un fil, et ( ) 0sv t=.

Il s"agit d"un filtre passe bas.

On détermine la fonction de transfert du filtre RC en sortie du multiplieur en reconnaissant un pont diviseur de tension 1

1( )11jCH j

jRCRjC ww w w = =++ et le gain correspondant s"écrit 2 1( )

1 ( )GRCww=+. ( )Gw est une fonction monotone décroissante (pour 0w>) donc le

filtre est passe bas d"ordre 1.

La pulsation de coupure

cw telle que max1( )2 2 cGGw= =, soit 1 cRCw=.

La fréquence de coupure

cf correspondante est 1

2cfRCp=, soit 159 Hzcf= .

2. La tension

( )sv tdu filtre s"écrit ( ) ( ) ( )sv t G s tw=.

La composante continue est multipliée par

(0) 1G=, elle est donc inchangée. L"amplitude de l"harmonique d"ordre 2 est multipliée par 2

1(2 ) 0,081 (4 )G fRCfp= =+,

elle est totalement filtrée par la cellule RC.

On a donc

1 21( ) cos2sv t kVVj=.

1( )v t

2( )v t( )s t

R

C( )sv t

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- 11 -

Le spectre de Fourier du signal de sortie

( )s t du multiplieur est le suivant :

3. Pour mesurer

j, il suffit de mesurer l"amplitude de la composante continue 1 21cos2kVVj, et connaissant k, 1V et 2V, on en déduit j. amplitude pulsation 2ww0

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- 12 - ◊◊◊◊ Exercice 4 : Filtre de Rauch On réalise le circuit suivant ayant une structure dite de Rauch, qui permet d"obtenir des filtres d"ordre 2 sans utiliser de bobine (qui prend beaucoup de place !).

1. Montrer que la fonction de transfert peut se mettre sous la forme :

20 2 1 0 0 1 2v

GG jvjmw

w w w w= = On précisera les valeurs de 0G, met 0w en fonction de R, 1C et 2C .

2. On applique à l"entrée une tension constante à 0t> : 1 0( )v t E=.

Les deux condensateurs étant déchargés à l"instant 0t=, déterminer l"équation différentielle à

laquelle obéit 2( )v t. Calculer 2(0 )v+ et 2( )v¥, valeur de la tension de sortie en régime permanent.

3. On veut obtenir 2

2m= . Calculer la valeur qu"il faut donner à 2C sachant que

110 nFC=.

On veut faire varier 0f entre : 1 kHz et 4 kHz. Entre quelles limites doit-on choisir R ?

4. On choisit R pour obtenir un filtre de fréquence 02 kHzf=. Donner le diagramme de

Bode asymptotique.

5. Le circuit peut-il être utilisé en circuit dérivateur ? en circuit intégrateur ?

6. On envoie à l"entrée un signal de fréquence 1,5 kHzf=. Le signal est donné par

1( ) cos(2 )v t a ftp=. Donner sans calcul le signal 2v observé en sortie.

Solution

1. On applique le théorème de Millman aux noeuds A et B en utilisant les amplitudes

complexes et on obtient : 1 2 2 1 1 1 B

Av v V

R R R V jCR R Rw et 1 2 11 A

BVjC vRV

jC R w w Or BV v-=, l"AO fonctionnant en régime linéaire v v- +=, de plus 0v+= (fil) donc 0BV=. RR R1C

2C1v2v

AB

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- 13 -

On en déduit

1 2 2

1 1 1A

v v R R V jCR R Rw et 1 2AV jRC vw= -.

On obtient alors

1 2 2 2 2

1 1 1 2

1

1 3vGv jRC R C C

w w On pose alors, par identification des puissances de w : 01G= -, 1 2 3 2

CmC= , et

0 1 2 1quotesdbs_dbs13.pdfusesText_19

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