[PDF] Chapitre 10 - Isométries dun espace euclidien - Corrigés

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Isométries d"un espace euclidien

Exercice 1 :

N otonsC1,C2etC3les colonnes de la matriceM. Supposons que la matriceM est orthogonale. D"après le cours, on a les relations kC1kAEkC2kAEkC3kAE1 et (C1jC2)AE(C1jC3)AE(C2jC3)AE0. La relationkC1k AE1 impliqueaAE0, puis on déduit de la relation (C1jC2)AE0 quebAE¡p2. De plus, on a

½(C1jC3)AE0

(C2jC3)AE0,½ p3cÅp3eAE0p2cÅp2d¡p2eAE0,½dAE ¡2c eAE ¡c. possibles pour (a,b,c,d,e) sont (0,¡p2,¡1,2,1) et (0,¡p2,1,¡2,¡1). Récipro- quement, on vérifie que ces deux solutions conviennent. I lsuffi td ecalcul erle dét erminantde Mpour les deux solutions précédentes. On trouve queM2SO3(R) si et seulement si (a,b,c,d,e)AE(0,¡p2,¡1,2,1). Exercice 2 :Notons (C1,...,Cn) les colonnes d"une telle matrice. D"après le cours, on a que (C1,...,Cn) est une base orthonormée deRn. Le vecteurC1étant unitaire, on a nécessairementC1AE¡§1 0¢¢¢0¢T. CommeC2est unitaire et est orthogo- nal àC1, on aC2AE¡0§1 0¢¢¢0¢T. En itérant, on trouve que le matrices qui conviennent sont les matrices de la forme 1(0) (0)"n1

Aavec ("1,...,"n)2{¡1,1}n.Exercice 3 :Notons (C1,...,Cn) les colonnes d"une telle matrice. D"après le cours,

sont orthogonaux deux à deux et que leurs coefficients sont positifs, chacun d"eux ne peut avoir qu"une unique composante non-nulle. Comme ils sont uni- taires, le coefficient correspondant vaut nécessairement 1. Ainsi les matrices qui conviennent sont les matrices dont les colonnes sont exactement à l"ordre près

BBBBB@1

CCCCCA,0

BBBBB@0

CCCCCA,...,0

BBBBB@0

CCCCCA.

Exercice 4 :

P our( P,Q)2E2et (¸,¹)2R2, on a

AE¸P(1¡X)ŹQ(1¡X)

AE¸'(P)Ź'(Q),

donc l"application'est linéaire. P ourP2E, on a en posantuAE1¡tdans l"intégrale k'(P)k2AEZ

P(1¡t)2dtAEZ

P(u)2duAEkPk2,

donc'2O(E).

P ourP2E, on a

donc'est la symétrie par rapport au sous-espace vectorielFAEKer('¡IdE) parallèlement àGAEKer('ÅIdE). Si l"on notePAEaX2ÅbXÅc2E, on a

P2F,'(P)AEP

,aAEaet¡(2aÅb)AEbetaÅbÅcAEc ,bAE¡a, doncFAEVect(X(1¡X),1). De même, trouveGAEVect(2X¡1). D "aprèslaquestionprécédente,lesvaleurspropresde'sont1,1,¡1.Donc,on a det(')AE1£1£(¡1)AE¡1. Exercice 5 :On commence par vérifier que Ker(u¡IdE) et Im(u¡IdE) sont supplé- mentaires.

D "aprèsle th éorèmedu r ang,o na

S iy2Ker(u¡IdE)\Im(u¡IdE), alors

u(y)AEyet9x2E,yAEu(x)¡x, donc, commeuest une isométrie, on a

AE(u(y)ju(x))¡(yjx)AE0.

AinsiyAE0 et Ker(u¡IdE)\Im(u¡IdE)AE{0E}.

On a donc montré queEAEKer(u¡IdE)©Im(u¡IdE). Il reste à vérifier que ces deux espaces sont orthogonaux. Si (x,y)2Ker(u¡IdE)£Im(u¡IdE), alors u(x)AExet9z2E,yAEu(z)¡z, donc, commeuest une isométrie, on a (xjy)AE(xju(z)¡z)AE(xju(z))¡(xjz)

AE(u(x)ju(z))¡(xjz)AE0.

Ainsi Ker(u¡IdE) et Im(u¡IdE) sont orthogonaux.Exercice 6 : S oit¸2Sp(u). Il existex2E\{0} tel queu(x)AE¸x. En prenant la normée, on obtient kxkAEku(x)kAEk¸xkAEj¸jkxk.

Commex6AE0, on en déduit¸AE§1.

S iuest diagonalisable, on aEAEE1©E¡1, doncuest une symétrie. Il suffit de vérifier queE1etE¡1sont orthogonaux pour montrer queuest une symétrie orthogonale. Si (x,y)2E1£E¡1, alorsu(x)AExetu(y)AE¡y. Par suite, donc (xjy)AE0. Finalement,E1etE¡1sont orthogonaux.

Exercice 7 :

(i)L "endomorphismeuest la rotation d"angle¼4 (ii)L "endomorphismeuest la réflexion d"axe Vect(p3iÅj). (iii)L "endomorphismeuest la réflexion d"axe Vect(2iÅj). (iv)L "endomorphismeuest la rotation d"angle¡Arccos(5/13).

Exercice 8 :

(i)uest la rotation d"axe dirigé par 3iÅjÅket d"angleµAE¡Arccos(¡5/6). (ii)L "endomorphismeuest la rotation d"axe dirigé pariÅket d"angleµAE¼/2. (iii)L "endomorphismeuest la rotation d"axe dirigé pariÅ4jÅket d"angleµAE¼.

Exercice 9 :

(i)L "endomorphismeuest la composée commutative entre : la r otationd "axeDdirigé pari¡4jet d"angle¡Arccos(8/9); la ré flexionpar r apporta uplan D?AEVect(k,4iÅj). (ii)L "endomorphismeuest la réflexion par rapport au plan Vect(iÅj,p6j¡k). (iii)L "endomorphismeuest la composée commutative entre : la r otationd "axeDdirigé pari¡3j¡ket d"angleµAE¡Arccos(5/6); la ré flexionpar r apporta uplan D?AEVectVect(3iÅj,iÅk).

O na les éq uivalences

A2O3(R),ATAAEI3,a2Å2b2AE1 et 2abÅb2AE0.

Ainsi, on obtient

A2O3(R),(a,b)2½

(1,0),(¡1,0),µ13 ,¡23

¡13

,23 O na

S i( a,b)AE(1,0), alorsuAEIdR3.

S i( a,b)AE(¡1,0), alorsuAE¡IdR3.

S i( a,b)AE(1/3,¡2/3), alors l"isométrieuest la réflexion par rapport au plan vectoriel Vect((1,¡1,0),(0,1,¡1)). S i( a,b)AE(¡1/3,2/3), alors l"isométrieuest la rotation d"axe dirigé par le vecteur (1,1,1) et d"angle¼.

Exercice 11 :

(i)O npeu tpr endre DAE0 @0 0 0 0 3 0

0 0¡31

etPAE13 @2¡2 1 1 2 2

2 1¡21

(ii)O npeu tpr endre DAE0quotesdbs_dbs7.pdfusesText_5

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