[PDF] Le produit scalaire et ses applications - Lycée dAdultes

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1

Le produit scalaire et ses

applicationsTable des matières

1 Définitions et propriétés

2

1.1 Définition initiale

2

1.2 Définition dans un repère orthonormal

2

1.3 Définition projective

3

1.4 Propriétés

4

1.5 Projection

5

1.6 Applications

6

1.6.1 En physique

6

1.6.2 Lignes de niveau

8

2 Relations métriques dans un triangle

9

2.1 Relation d"Al Kashi

9

2.2 Relation des sinus

11

2.3 Théorème de la médiane

13

3 Trigonométrie

14

3.1 Formules d"addition

14

3.2 Formules de duplication

16

3.3 Formules de linéarisation

18 PAUL MILAN17 mai 2011 PREMIÈRES

21 DÉFINITIONS ET PROPRIÉTÉS1Définitionsetpropriétés

Les trois définitions suivantes sont équivalentes. On pourrait choisir comme point de départ chacune d"elle.

1.1Définitioninitiale

Définition 1 :On appelle produit scalaire de deux vecteurs~uet~v, le nombre réel noté ~u~vtel que : u~v=12 jj ~u+~vjj2 jj~ujj2 jj~vjj2Par convention, on écrira : ~u~u=~u2.

Exemple :Calculer le produit scalaire!AB!ADpour la figure suivante :CommeABCDest un parallélogramme, on a!AB+!AD=!ACdonc :

AB!AD=12

!AC2!AB2!AD2 12 (AC2AB2AD2) 12 (36169) 112
Définition 2 :Dans un repère orthonormal(O,~ı,~â), le produit scalaire de deux vecteurs ~uet~vde coordonnées respectives(x;y)et(x0;y0)est égal à : u~v=xx0+yy0

On peut aussi utiliser la notation matricielle :

x y x0 y 0 =xx0+yy0PAUL MILAN17 mai 2011 PREMIÈRES

1.3 DÉFINITION PROJECTIVE3Montrons que cette définition est équivalente à la définition initiale.

On rappelle que si un vecteur

~ua pour coordonnées(x;y)alors : jj ~ujj2=x2+y2

On a alors :

u~v=12 jj!u+vjj2 jj~ujj2 jj~vjj2 12 h (x+x0)2+ (y+y0)2(x2+y2)(x02+y02)i 12 (x2+2xx0+x02+y2+2yy0+y02x2y2x02y02) 12 (2xx0+2yy0) =xx0+yy0 Exemple :Déterminer le produit scalaire :!AB!AC!

AB!AC=32

02 12 12 1 2 3 1 =1(3) + (2)(1) =1

1.3Définitionprojective

Définition 3 :Le produit scalaire de deux vecteurs~uet~vest défini par :

u~v=jj~ujj jj~vjj cos(~u,~v)Montrons que cette définition est équivalente à la définition dans un repère

orthonormal. Prenons un repère orthonormal(O,~ı,~â)dont le premier vecteur~ısoit coli- néaire et de même sens que le vecteur ~u. Le vecteur~uet~vont pour coordonnées respectives(x;y)et(x0;y0), avec : (x=jj~ujj y=0et(x0=jj~vjjcos(~u,~v) y

0=jj~vjjsin(~u,~v)

On a donc :PAUL MILAN17 mai 2011 PREMIÈRES

41 DÉFINITIONS ET PROPRIÉTÉS~

u~v=xx0+yy0 =jj~ujj jj~vjj cos(~u,~v)Cette définition revient à projetter le vecteur ~vsur le vecteur~u. Exemple :Déterminer le produit scalaire :!AB!AC!

AB!AC=jj!ABjj jj!ABjj cos60°

=ABACcos60° =3212 =3

1.4Propriétés

Propriété 1 :Nous nous en remettons au lecteur pour montrer les proprié- tés suivantes : 1

Le pr oduitscal aireest commutatif :

u~v=~v~u 2 Le pr oduitscalair eest distributif par rapport à l"addition de deux vec- teurs : u(~v+~w) =~u~v+~u~m 3 Le pr oduitscalair eest distributif par rapport à la multiplication par un scalaire : (a~u)(b~v) =ab(~u~v)PAUL MILAN17 mai 2011 PREMIÈRES

1.5 PROJECTION5Propriété 2 :Nous nous en remettons au lecteur pour montrer les pro-

priétés suivantes : 1

Si les vecte urs

~uet~vsont colinéaires et de même sens alors : u~v=jj~ujj jj~vjj 2

Si les vecte urs

~uet~vsont colinéaires et de sens contraires alors : u~v=jj~ujj jj~vjj 3

Si les vecte urs

~uet~vsont perpendiculaires alors : u~v=01.5Projection Théorème 1 :Soit deux vecteurs!ABet!CD. On appelleKetHles projec- tions orthogonales respectives deCetDsur la droiteAB, on a alors :

AB!CD=ABKHsi!ABet!KHsont de même sens.

!AB!CD=ABKHsi!ABet!KHsont de sens contraires.On a pour les deux cas les figures suivantes : Exemple :En utilisant les renseignements portés sur la figure ci-dessous, calculer les produits scalaires suivants : !AB+!AH !ABet!AH+!HC !ABPAUL MILAN17 mai 2011 PREMIÈRES

61 DÉFINITIONS ET PROPRIÉTÉS

!AB+!AH !AB=AB2+!AH!AB si on projette orthogonalementBsur(AH), on obtientH, donc : =AB2+AH2 en utilisant le théorème de Pythagore, on a =AB2+ (AB2BH2) =2AB2BH2 =241 =7 !AH+!HC !AB=!AH!AB+!HC!AB si on projette orthogonalementAsur(HC), on obtientH, donc : =AH2+!HC!HB = (AB2BH2)HCHB =4121 =1

1.6Applications

1.6.1Enphysique

On peut utiliser le produit scalaire pour calculer la résultante de deux forces. Soit un pointOsoumis à deux forces!F1et!F2qui forme un angle de 50 degré. les intensités des deux forces!F1et!F2sont respectivement 300 N et 200 N. On a alors la figure ci-dessous :PAUL MILAN17 mai 2011 PREMIÈRES

1.6 APPLICATIONS7D"après la première définition, on a :

F1!F2=12

jj!F1+!F2jj2F21F22

D"après la troisième définition, on a :

F1!F2=F1F2cos50°

On obtient alors :

12 jj!F1+!F2jj2F21F22 =!F1!F2=F1F2cos50° jj !F1+!F2jj2=2F1F2cos50°+F21+F22 jj!F1+!F2jj=q2F1F2cos50°+F21+F22 =p2300200cos50°+3002+2002 '455,12 N On retrouve le produit scalaire en physique pour le travail d"un force. En effet le travailWd"une force~Fest égale au produit scalaire du vecteur force~Fpar le vecteur déplacement

W=~F~`

Une dépaneuse remorque une voiture en panne sur une côte de 20 degré. La En supposant que le câble fait un angle de 30 degré avec le plan de la route et que la tension est de 1600 N, quel est le travail effectué par la dépaneuse sur la voiture

si ele la remorque sur une distance de 0,50 km sur cette route en pente.L"angle de la route n"a pas d"importance ici. On a alors :

W=!FT!`

=FTcos30500 =1600p3 2 500
=400 000p3 '692,82 kJPAUL MILAN17 mai 2011 PREMIÈRES

81 DÉFINITIONS ET PROPRIÉTÉS1.6.2Lignesdeniveau

Un problème de lignes de niveau consiste à déterminer un ensemble de points du plan qui vérifient une égalité. Ce nom vient des courbes que l"on trace sur une carte routière qui correspondent aux points de même altitude. SoientAetBdeux points donnés tels queAB=6. On appelleLkl"ensemble des pointMtels que :!MA!MB=k 1) Déterminer l"e nsembledes point Msuivant les valeurs dek. 2) Constr uire,si possi ble,Lk, dans chacun des cas suivants. a)k=10b) k=5c) k=0d) k=7

3)Cest tel queABCest un triangle équilatéral. Comment choisirkpout queC

soit un point deLk? 1) Soit Ile milieu du segment[AB]. On introduit le pointIdans la relation de L k.

MA!MB=k!MI+!IA

!MI+!IB =k MI

2+!MI!IB+!IA!MI+!IA!IB=k

MI

2+!MI!IB+!IA!IA!IB=k

CommeI=m[AB]alors!IB+!IA=!0 et!IA!IB=AB24

MI 2AB24 =k MI

2=k+AB24

CommeAB=6, on a :

MI 2=k+9 Pour que cette égalité soit vérifiée, il faut que : k+9>0)k>9 Conclusion :Sik>9 l"ensemble des pointMest un cercle de centreIet de rayonpk+9. Lorsquek=9, l"ensemble est réduit au pointI.

2)L10n"existe pas. Les autres cas sont représenté ci-dessous :PAUL MILAN17 mai 2011 PREMIÈRES

9 3) Si le triangle ABCest équilatéral, la droite(CI)représente une hauteur du triangleABC. On sait que la longueur de la hauteur d"un triangle équilatéral de côté 6 est égale à : h=6p3 2 =3p3

On a alors :

pk+9=3p3)k+9=27)k=18

Conclusion :: Le pointC2L18

2Relationsmétriquesdansuntriangle

2.1Relationd"AlKashi

Cette relation a pour but de déterminer une relation entre les trois longueurs

d"un triangle soit une généralisation du théorème de Pythagore.PAUL MILAN17 mai 2011 PREMIÈRES

102 RELATIONS MÉTRIQUES DANS UN TRIANGLEThéorème 2 :Dans un triangle quelconqueABCen prenant les notations

indiquées sur la figure ci-dessous, on a : a

2=b2+c22bccosˆADémonstration :On part de la relation :

!BC2= (!BA+!AC)2 !AC!AB)2 !AC22!AC!AB+!AB2 =AC2+AB22ACABcosˆA Ce qui devient en utilisant les notations de la figure : a

2=b2+c22bccosˆA

Exemple :Soit le triangle ci-dessous. Déterminer la longueurBCet les angles ˆBetˆC.Avec nos notations nous avons alors :b=3c=8 etˆA=60. Nous cher- chons donc à déterminerales anglesˆBetˆC. D"après la relation d"Al Kashi, nous avons : a

2=b2+c22bccosˆA

=32+8223812 =9+6424 =49 donc : a=7PAUL MILAN17 mai 2011 PREMIÈRES

2.2 RELATION DES SINUS11Pour déterminer l"angle

ˆB, on fait une permutation circulaire de la formule d"Al Kashi, c"est à dire : a!b b!c c!a

A!ˆB

On obtient donc :

b

2=c2+a2+2accosˆB

2accosˆB=a2+c2b2

cos

ˆB=a2+c2b22ac

49+649278

104112

1314

On obtient donc :

B=arccos1314

'21,79 enfin, on trouve l"angle

ˆC, par complément à 180, soit :

C'1806021,79'98,21

2.2Relationdessinus

La formule d"Al Kashi est efficace si l"on connaît deux distances et un angle ou 3 distances. Par contre si l"on ne connaît qu"une distance, la relation n"est pas

utilisable. On utilise alors la relations des sinus.Théorème 3 :Dans un triangle quelconqueABC, on a les relations sui-

vantes en gardant les mêmes notations et en appelantSla surface du tri- angleABC:

S=acsinˆB2

sin

ˆAa

=sinˆBb =sinˆCc Démonstration :On a la figure ci-dessousPAUL MILAN17 mai 2011 PREMIÈRES

122 RELATIONS MÉTRIQUES DANS UN TRIANGLEOn a alors :

S=BCAH2

Avec nos notations et comme sin

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