Petit théorème de Fermat
Démonstration par récurrence du petit théorème de Fermat. Soit p un nombre premier et P a la propriété : ap=a p . Initialisation. 0p
LE PETIT THÉORÈME DE FERMAT En octobre 1640 dans une de
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pour premier (petit théorème de Fermat) lui aussi entre dans des détails qui montrent bien que ce mode de raisonnement reste inhabituel. Récurrence et
Concepts de base en arithmétique
3.4 Petit théorème de Fermat . Dans ce document nous utiliserons fréquemment le principe de récurrence ... La démonstration de ce théorème est trop.
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Petit théorème de Fermat TS
Petit théorème de FermatPetit théorème de Fermat. Soit p un nombre premier. Tout a∈ℕvérifie l'égalité : ap≡app divise ap-a.Ce théorème peut aussi s'énoncer sous la forme.Théorème bis, appelé aussi petit théorème de Fermat.Soit p un nombre premier. Tout
a∈ℕet non multiple de p vérifie l'égalité : ap-1≡1pp divise ap-1-1.Démonstration de l'équivalence de ces deux théorèmes.Le théorème bis implique le petit théorème de Fermat.Si
aest un multiple de p alors a≡0pet ap≡0p≡ap.Sian'est pas un multiple de p alors ap-1≡1pet ap≡ap.Le petit théorème de Fermat implique le théorème bis.
ap≡apou p divise ap-a=aap-1-1.a n'est pas un multiple de p, p est premier donc a est premier avec p. D'après le théorème de Gauss p divise
ap-1-1Démonstration du théorème bis.Soit E l'ensemble{ap, 2ap, 3ap,...,p-1ap}={nap, 1 np-1 }
na≠0pOn raisonne par l'absurde. On suppose que na≡0pou p divise na.a n'est pas un multiple de p, p est premier donc a est premier avec p. Si p divise na, d'après le théorème de Gauss p divise n.
1 np-1donc c'est impossible.Les p-1 éléments de E ne sont pas congrus modulo p.On suppose que
na≡map.On peut toujours choisir
nmdonc n-ma≡0pavec 0 n-m.1 np-1et1 mp-1donc n-mp-1Comme dans la démonstration précédente on en déduit que p divise n-m.
0 n-mp-1donc n-m=0.
na≡map⇒n=mdonc n≠m⇒na≠map. E={1p, 2p,...,p-1p}.On rappelle queb≡rpavec 0 rpsignifie que r est le reste dans la division euclidienne b par p.
Soit rnle reste de la division euclidienne de na par p alors :E={r1p,r2p,...,rp-1p, 1 rip-1 }Les p-1 restes sont distincts, non nuls et inférieurs à p-1 donc il prennent toutes les valeurs de 1 à p-1.
Thierry Vedel1 sur 3
Petit théorème de Fermat TS ap-1=1p
E={ap, 2ap, 3ap,...,p-1ap}={1p, 2p,...,p-1p}Effectuons le produit de tous les éléments de E.
a×2a×3a×...×p-1ap-1 facteurs ≡1 ×2 ×3 ×...×p-1p-1 facteursmodulop p ap-1×p-1!=p-1!pmodulop p diviseap-1-1p-1!et p est premier avec 1, 2, ... , (p-1) d'après le théorème de Gauss, p divise
ap-1-1,ap-1=1p.Démonstration directe du petit théorème de Fermat.Si p premier alors pour tout k,
1 kp-1 ,p
kest divisible par p. p kk-1...2 =pq kk-1...2 =n∈ℕ.doncpq=kk-1...2n=k!np est premier donc il est premier avec tout nombre non nul et strictement inférieur à lui-même.k divise pq et k est premier avec p donc k divise q,
q=kqket pqkk=kk-1...2donc pqk=k-1...2De mêmek-1divise qkdonc pqk-1=k-2...2et kk-1diviseq.On répète ce raisonnement jusqu'à 2 et donc
k!divise q.En simplifiant par
k!on obtient pq'=nSi p est premier1 kp-1,p
kest divisible par p donc p k=0p abp≡p pbpp p-1bp-1cp p-2bp-2c2 ...p1bcp-1p
0cp
pPour1 kp-1,p
kest divisible par p donc p k=0pdonc tous les termes sauf le premier et le dernier sont nuls. abp=p pbpp0cp
p=apbpp.Démonstration par récurrence du petit théorème de Fermat.Soit p un nombre premier et
Pala propriété : ap=apInitialisation.0p=0 ≡0p,P0est vraieThierry Vedel2 sur 3
Petit théorème de Fermat TS
Hérédité.On suppose Pavraie.
a1p≡ap1p,en appliquant Paon obtient a1p≡a1p.
Pa1est vraie.Conclusion.Pour tout a∈ℕ,Paest vraie.Thierry Vedel3 sur 3
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