[PDF] Théorème de Bézout Théorèmes de Bé

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Spécialité TS Théorèmes de Bézout - Gauss 2011-2012

Petit théorème de Fermat

Correction des exercices

1

Théorème de Bézout

Exercice 2 p 87

2 - a) 11a - 7b = 1

Il existe un couple d'entiers (

u ; v) = (11 ; - 7) tels que au + bv = 1. Donc d'après le théorème de Bézout, a et b sont premiers entre eux. b) a - nb = 1 donc (u ; v) = (1 ; - n).

Il existe un couple d'entiers (

u ; v) = (1 ; -n) tels que au + bv = 1. Donc d'après le théorème de Bézout, a et b sont premiers entre eux.

Exercice 8 p 87

a) En utilisant l'algorithme d'Euclide, on obtient :

726 = 137´5 + 41

137 = 41´3 + 14

41 = 14´2 + 13

14 = 13´1 + 1

b) d'où :

1 = 14 - 13

1 = 14 - [41 - 2 × 14] = 3 × 14 - 41

1 = 3 × [137 - 3 × 41] - 41 = 3 × 137 - 10 × 41

1 = 3 × 137 - 10[726 - 5 × 137]

et donc (- 10) × 726 + 53 × 137 = 1.

Une solution particulière (

x0 ; y0) est donc (- 10 ; 53).

Exercice 9 p 88

a) 1694x + 319y = 11

1694 = 319´319 + 99

319 = 99´3 + 22

99 = 22´4 + 11

22 = 11´2

d'où :

11 = 99 - 4 × 22 = 99 - 4[319 - 3 × 99] = 13 × 99 - 4 × 319

11 = 13[1 694 - 5 × 319] - 4 × 319

11 = 13 × 1 694 - 69 × 319

donc 13 × 1 694 - 69 × 319 = 11.

Une solution (

x0 ; y0) est donc (13 ; - 69). b) 3 388 x + 638y = 22

3 388 = 638 × 5 + 198

638 = 198 × 3 + 44

198 = 44 × 4 + 22

44 = 22 × 2

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Petit théorème de Fermat

Correction des exercices

2

22 = 198 - 4 × 44 = 198 - 4[638 - 3 × 198] 22 = 13 × 198 - 4 × 638 = 13[3 388 - 5 × 638] - 638 × 4

22 = 13 × 3 388 - 69 × 638

donc 13 × 3 388 -69 × 638 = 22.

Une solution (

x0 ; y0) est donc (13 ; - 69).

Exercice 11 p 88

a) a et b sont premiers entre eux selon le théorème de Bézout. b) ( a + b)u + b(v - u) = au + bu + bv - bu = = au + bv. c) Si c divise a + b alors il existe un entier l tel que a + b = λc, on a donc : ( a + b)u + b(v - u) = luc + (v - u)b = au + bv d'où luc + (v - u)b = 1 b et c sont donc premiers entre eux.

De même (

a + b)v + a(u - v) = au + bv d'où lvc + (u - v)a = 1, a et c sont premiers entre eux.

Théorème de Gauss

Exercice 17 p 88

1) a) a = (n - 2)(n - 1) n(n + 1)(n + 2)

b) Si n = 3k alors 3 divise n donc 3 divise a. Si n = 3k + 1, alors 3 divise n - 1 donc 3 divise a. Si n = 3k + 2, alors 3 divise n - 2 donc 3 divise a.

Conclusion : a est divisible par 3.

Si n = 5k alors 5 divise n donc 5 divise a.

Si n = 5k + 1, alors 5 divise n - 1 donc 5 divise a. Si n = 5k + 2, alors 5 divise n - 2 donc 5 divise a. Si n = 5k + 3, alors 5 divise n + 2 donc 5 divise a. Si n = 5k + 4, alors 5 divise n + 1 donc 5 divise a.

Conclusion : a est divisible par 5.

2) Si n = 4k alors n(n² - 4) = 4k(16k² - 4) = 16k(4k² - 1); donc 8 divise n(n² - 4) donc 8

divise a. Si n = 4k + 1 alors n² - 1 = 16k²+ 8k + 1 - 1 = 8(2k² + k); donc 8 divise n² - 1; donc 8 divise a. Si n = 4k - 1 alors n² - 1 = 16k²- 8k + 1 - 1 = 8(2k² - k); donc 8 divise n² - 1; donc 8 divise a.

Si n = 4k + 2 alors n² - 4 = 16k²+ 16k + 4 - 4 = 8(2k² + 2k); donc 8 divise n² - 4; donc 8

divise a.

Si n = 4k - 2 alors n² - 4 = 16k²- 16k + 4 - 4 = 8(2k² - 2k); donc 8 divise n² - 4; donc 8

divise a.

Conclusion : a est divisible par 8.

3) 3 et 5 sont premiers entre eux donc a est divisible par 3´5 = 15.

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Petit théorème de Fermat

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3

8 et 15 sont premiers entre eux; donc a est divisible par 8´15 = 120.

Exercice 22 p 88

1) a) 13x0 + 4y0 = 13´17 + 4´7 = 221 + 28 = 249

Donc (17;7) est bien solution de l'équation (E). b) Si (x,y) est solution de (E) alors 13(x - x

0) =4(y0 - y)

Donc 4 divise 13(x - x

0). Or 4 et 13 sont premiers entre eux, donc selon le théorème de Gauss 4 divise x - x 0.

Il existe donc un entier k tel que x = x

0 + 4k

D'où : 13´4k = 4(y

0 - y)

Soit : y = y

0 -13k

Réciproquement, on vérifie que les couples (17 + 4k; 7 - 13k) avec k entier sont bien solutions de l'équation (E).

Les solutions dans

V² vérifient 17 + 4k ³ 0 et 7 - 13k ³ 0

Soit : -

17 4 k 7

13; soit : -4 k 0

Les couples solutions de l'équation dans

V² sont donc :

(1; 59), (5; 46) , (9; 33), (13; 20) et (17;7) 2) x + y + z = 28

26x + 17y + 13z = 613

26x - 13x + 17y - 13y = 613 - 13´28

x + y + z = 28

13x + 4y = 249

x + y + z = 28 La question 1) nous donne les couples solutions de la première équation : (17 + 4k; 7 -

13k) avec k entier.

En reportant dans la deuxième équation, on obtient : 17 + 4k + 7 - 13k + z = 28

Soit 24 - 9k + z = 28

Soit : z = 4 + 9k

Les triplets solutions du système sont donc de la forme (17 + 4k;7 - 13k; 4 + 9k) avec k entier. Dans V3, il y a un seul triplet solution : (17; 7; 4) (pour k = 0) Fractions irréductibles - Petit théorème de Fermat

Exercice 29 p 89

a) 331 n'est pas divisible par : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 donc 331 est un nombre premier car 172 < 331 < 19 2. b) n + 1 = 10 330
c) 331 étant premier; donc selon le petit théorème de Fermat, 10

331 - 1 1 [331]

Donc 331 divise 10

330 - 1 = n.

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Petit théorème de Fermat

Correction des exercices

4

Exercice 31 p 89

•2p + 1 = 2p - 2 + 3.

D'après le théorème de Fermat

p divise 2p - 2.

Donc p divise 2

p + 1 si, et seulement si, p divise 3. p doit donc être égal à 3. • Réciproquement si p = 3, 2p + 1 = 9 et 3 divise 9.

Le seul nombre premier solution est donc 3.

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