Analyse Numérique PDF Dec 2 2014 nées

Analyse Numérique

Exercice 2.5 En appliquant le Théorème de Rouché (voirs cours d'analyse complexe) et la règle de Descartes localiser au mieux les zéros des polynômes.

Analyse Numérique

Analyse Numérique. Recueil d'Exercices Corrigés. Calcul et Programmation. Conformément au programme du module de Math5 de 2ème année LMD ST. Izidi Lahouari.

Analyse

Jul 2 2010 continus. Page 2. Page 3. Table des matières. Partiel d'Analyse Numérique. 5. Exercice ‚ : interpolation de Lagrange [3 pt] .

Analyse Numérique : SMA-SMI S4 Cours exercices et examens

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Exercices de mathématiques - Exo7

le cours d'analyse. [007201]. Exercice 159. Soit f : E ? F soit ?f la relation d'équivalence sur E dont les classes d'équivalence sont les fibres de f

UNIV.JEANPAULCALVI.COM/ 1ANALYSE NUMÉRIQUE

JEAN-PAUL CALVI

1R2UPS

Université de Toulouse

ISNB 978-2-9546609-0-5

R2 Décembre 2014

L"ouvrage est disponible en ligne sur les pages suivantes : http://uni v.jeanpaulcalvi.com http://www .math.univ-toulouse.fr/˜calvi

Il est interdit de déposer ce documents sur une page ou dans une archive électronique sans l"autori-

sation écrite de l"auteur.

UNIV.JEANPAULCALVI.COM/ 1At my hut

All that I have to offer you,

Is that the mosquitoes are small.

Bashô

UNIV.JEANPAULCALVI.COM/ 1

UNIV.JEANPAULCALVI.COM/ 1Préface

J"attribue mon intérêt - tardif - pour l"analyse numérique à deux accidents non entièrement indé- pendants et conjointement à l"origine de ce livre.

Le premier, qui permit le second, remonte à ma

rencontre avec Len Bos, aujourd"hui professeur à l"université de Vérone, un remarquable numé- ricien - et très passable fermier - tandis que le second se produisit un peu plus tard lorsque le Dé- partement de Mathématiques de l"Université Paul Sabatier me confia, il y a déjà une dizaine d"an- nées, un cours d"analyse numérique destiné à des étudiants de la filière informatique. Si la Providence seule explique le premier, le cours d"informatique en question m"échut par une méthode intéressante que j"appelle celle du dernier reste : le départe- ment me fit plusieurs fois l"honneur de m"attribuer un enseignement dont aucun de mes collègues ne voulait, attention que j"ai toujours tenté de m"ex- pliquer, même difficilement, par l"évidence de mes qualités pédagogiques. J"abordai la préparation de ce cours avec une intention hérétique, celle de m"adresser au public auquel il était destiné, en sui- vant un syllabus à la fois laconique et banal, dans l"idée de procurer une culture numérique rudimen- taire mais cohérente à qui ne se risquerait pas à lire une seule des démonstrations qu"il contien- drait. En réalité, je rencontrai au début plusieurs promotions d"étudiants remarquables qui me dis- suadèrent de supprimer les démonstrations qu"ils n"étaient pas contraints de lire et firent en sorte que mon cours ne prenne jamais la direction d"une introduction purement informelle. Si bien qu"un pu- blic plus expert s"intéressa au texte et je fus par la suite conduit à développer le contenu jusqu"à inclure quelques éléments surtout destinés à des lecteurs qui se spécialisaient en mathématiques, en avertissant les autres par le symbole. Pour rester cohérent avec mon objectif, je me suis appuyé sur des bases mathématiques modestes : une connais- sance raisonnable de l"analyse des fonctions d"une variable réelle, disons, du théorème des valeurs in-

termédiaires jusqu"à la formule de Taylor (qui serarappelée) et une certaine familiarité avec le calcul

matriciel. J"ai inséré d"assez nombreux exercices, souvent élémentaires, y compris dans le cours du texte, dans l"espoir d"aider à la compréhension.

J"ai aussi inclus les codes de fonctionsSCILABqui

implémentent les algorithmes fondamentaux; ces codes ne sont pas nécessairement les plus efficaces ni les plus élégants. Mes goût personnels se sont insinués au travers de quelques codes de calculs for- mels adaptés au logicielMAXIMA.

Au final, le texte contient un traitement assez

substantiel de l"interpolation polynomiale, du cal- cul approché des intégrales et de l"approximation des racines des équations, trois thèmes qui forment souvent l"essentiel d"une introduction à l"analyse numérique. Par contre, les quatrième et cinquième chapitre, consacrés à l"analyse numérique matri- cielle ne sont sans doute que des esquisses. Les exercices donneront aux lecteurs intéressés une ap- proche plus riche du sujet. Les questions de complexité et de stabilité des procédés numériques sont introduites de manière concrète et informelle, et sont abordées chaque fois que c"est possible sans être excessivement tech- nique. J"ai toujours jugé qu"il n"y avait pas de plus décourageante manière de commencer un cours d"analyse numérique que par un chapitre sur l"étude des erreurs. Des versions préliminaires ont été progressive- téléchargées, plus de vingt mille fois dans la der- nière année et, dans les deux tiers des cas, hors de France. Il est possible qu"une future seconde édition élargie prenne la forme d"une publication classique si elle existe encore au moment où je l"aurai com- plétée.

Foix, Juin 2013

Jean-Paul Calvi

†. Les logicielsSCILABetMAXIMAsont des logiciels libres téléchargeables sur internet et adaptés à tous les systèmes d"exploi-

tations

†. Université de Toulouse, UPS, Institut de Mathématiques de Toulouse (CNRS UMR 5219), F-31062 Toulouse, France. Cour-

riel : jpcmath@netscape.net

UNIV.JEANPAULCALVI.COM/ 1vi

Renvois. Lorsque le texte renvoie à un objet (théorème, section, exercice, etc) du même chapitre, seul le numéro

de l"objet est indiqué. Par contre si le texte renvoie àun objet d"un autre chapitre, le numéro du chapitre ap-

paraît aussi. Ainsi, si au cours chapitre 2, on renvoie au théorème 20 du chapitre 1, on écrira théorème I.20. Pour utiliser les liens, il suffit de sélectionner le second, ici 20. [TH0]ANALYSE NUMÉRIQUECALVI

UNIV.JEANPAULCALVI.COM/ 1Table des matières

Préface v

Table des matières vii

Table des codesSCILABix

Table des codesMAXIMAix

I Interpolation 1

1 INTRODUCTION À L"INTERPOLATION POLY-

NOMIALE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1 Espaces de polynômes . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Le problème général de l"interpolation polyno-

miale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Détermination du polynôme d"interpolation . . 3

1.4 Terminologie et notations . . . . . . . . . . . . 4

1.5 Simplification de l"expression de la formule

d"interpolation de Lagrange . . . . . . . . . . . 5

1.6 Propriétés algébriques et linéarité . . . . . . . . 5

2 ALGORITHME DE CALCUL ET EXEMPLES

GRAPHIQUES. . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.1 Algorithme basé sur la formule de Lagrange . . 6

2.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3 Le coût de l"algorithme . . . . . . . . . . . . . 7

2.4 La stabilité de l"algorithme . . . . . . . . . . . 9

2.5 La formule de récurrence de Neville-Aitken . . 10

2.6 L"algorithme de Neville-Aitken . . . . . . . . . 11

2.7 Algorithme de calcul formel . . . . . . . . . . 12

3 ÉTUDE DE L"ERREUR. . . . . . . . . . . . . . 12

3.1 L"énoncé du théorème . . . . . . . . . . . . . . 12

3.2 Le théorème de Rolle généralisé . . . . . . . . 14

3.3 Démonstration du théorème 9 . . . . . . . . . . 14

3.4 Choix des points d"interpolation . . . . . . . . 15

3.5 Précision et nombre de points . . . . . . . . . . 16

4 POLYLIGNES. . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.1 Subdivisions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

4.2 Fonctions polylignes . . . . . . . . . . . . . . 18

4.3 Approximation des fonctions continûment dé-

rivables par les fonctions polylignes . . . . . . 19

4.4 Représentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.5Approximation des fonctions continues par

des fonctions polylignes . . . . . . . . . . . . . 22

4.6 Extension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

5 EXERCICES ET PROBLÈMES. . . . . . . . . . 24

6 NOTES ET COMMENTAIRES. . . . . . . . . . 33II Intégration 34

1 FORMULES DE QUADRATURES ÉLÉMENTAIRES34

1.1 L"énoncé du problème . . . . . . . . . . . . . . 34

1.2 Présentation générale . . . . . . . . . . . . . . 35

2 EXEMPLES FONDAMENTAUX. . . . . . . . . 36

2.1 La formule du point milieu . . . . . . . . . . . 36

2.2 La formule du trapèze . . . . . . . . . . . . . . 36

2.3 La formule de Simpson . . . . . . . . . . . . . 37

3 ÉTUDE DEL"ERREUR. . . . . . . . . . . . . 37

3.1 Estimation de l"erreur dans la formule du point

milieu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2 Estimation de l"erreur dans la formule du trapèze 38

3.3 Estimationdel"erreurdanslaformuledeSimpson 39

4 COMPOSITION. . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.1 Idée générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.2 Exemples fondamentaux de formules composées 41

4.3 Codes Scilab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

5 EXERCICES ET PROBLÈMES. . . . . . . . . . 44

6 NOTES ET COMMENTAIRES. . . . . . . . . . 49

III Équations numériques 50

1 INTRODUCTION. . . . . . . . . . . . . . . . . 50

2 MÉTHODE DE DICHOTOMIE(OU DE BISSEC-

TION) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.2 Etude de la convergence . . . . . . . . . . . . . 51

3 MÉTHODE DENEWTON. . . . . . . . . . . . 53

3.1 Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.2 Etude de la convergence . . . . . . . . . . . . . 54

3.3 Autres versions . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.4 Calcul formel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4 MÉTHODE DE LA SÉCANTE. . . . . . . . . . 59

4.1 Construction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.2 Etude de la convergence . . . . . . . . . . . . . 60

5 LE THÉORÈME DU POINT FIXE. . . . . . . . . 62

5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5.2 Énoncé du théorème du point fixe . . . . . . . 62

5.3 Illustration graphique . . . . . . . . . . . . . . 63

5.4 Démonstration du théorème du point fixe . . . . 64

5.5 Démonstration de la convergence de la suitexn65

5.6 Le problème de la stabilité dans les approxima-

tions successives . . . . . . . . . . . . . . . . 66

6DAVANTAGE SUR LE THÉORÈME DU POINT

FIXE ET SES APPLICATIONS. . . . . . . . . . 67

6.1 Sur la rapidité de convergence . . . . . . . . . 67

6.2 Sur l"hypothèse de stabilité de l"intervalle . . . 68

6.3 Application à l"étude de la méthode de la sécante 70

6.4 Application à la méthode de Newton . . . . . . 70

7INTERPOLATION DELAGRANGE ET SE-

CONDE MÉTHODE DE LA SÉCANTE. . . . . . 71

8 EXERCICES ET PROBLÈMES. . . . . . . . . . 74

vii UNIV.JEANPAULCALVI.COM/ 1viiiTABLE DES MATIÈRES9 NOTES ET COMMENTAIRES. . . . . . . . . . 77

IV Systèmes linéaires 78

1 RAPPEL SUR LES SYSTÈMES LINÉAIRES. . . 78

1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

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