[PDF] Corrigé Epreuve B Agro Véto 2009

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Corrig´e Epreuve B Agro V´eto 2009

Partie I

1.Gest le nombre d"essais n´ecessaires pour obtenir le premier succ´es ( prise d"une greffe) lors d"une suite

d"´epreuve de Bernoulli ind´ependantes de probabilit´e de succ´esp.

DoncGsuit la loi g´eom´etrique de param`etrepG ?→ G(p);G(Ω) =N?,P(G=n) =pqn-1D"apr`es le cours:

E(G) = 1/p,V(G) =q/p22. a) D"apr`es le I.1,Xksuit la loiG(p) b)X=?R k=1Xk c)E(X) =?R k=1E(Xk) =R/p( par lin´earit´e de l"esp´erance) Les variablesXk´etant ind´ependantes,V(X) =?R k=1V(Xk) =Rq/p2E(X) = 1/p,V(X) =Rq/p23. Loi deX a) L"ensemble des valeurs prises parXestI=N\{0,..,R-1} b) Soitn?N? i.P(X1=x1,..,XR=xR) =R? k=1P(Xk=xk) en raison de l"ind´ependance des variables

P(X1=x1,..,XR=xR) =R?

k=1pqxk-1=pRqn-R ii. (X=n) =? (x1,..,xR)?D{X1=x1,..,XR=xR}o`uD=? (x1,..,xR)?(N?)R, x1+..+xR=n? On a une union d"´ev´enements incompatibles deux `a deux :

P(X=n) =?

(x1,..,xR)?DP(X1=x1,..,XR=xR) =? (x1,..,xR)?DpRqn-R=α(R,n)pRqn-R o`uα(R,n) est le cardinal deD, le nombre deR-uplets solutions.

4. a) Un partage deSenRsegments est d´efini par 0< s1< s2. < ... < sR-1< n; on obtient ainsi les

segments non r´eduits `a 1 point : [0,s1],[s1,s2],..,[sR-1,n] On d´efinit l"application qui `a unR-uplet deD,(x1,..,xR),associe le partage tel ques1=x1,s2=

1+x2,..,sR-1=x1+x2+..+xR-1

On d´efinit bien un partage car lesxisont non nuls etx1+x2+..+xR-1< n

R´eciproquement, `a tout partage, on d´efinit unR-ulpet deD,xi´etant la longueur dui`eme segment

On d´efinit donc bien une bijection de l"ensemble des solutions de (E) sur l"ensemble des partages deS

b) Un partage est d´efini de mani`ere unique par la donn´ee deR-1 points distincts de [1,..,n-1] ( lessi)

c) Il y a donc ?n-1 R-1?partages deSet donc le cardinal deD´egal `aα(R,n) est ´egal `a?n-1

R-1??n≥R,P(X=n) =?n-1

R-1?pRqn-RPartie II

1. Soitn≥1

i=1P(Xk=i) =?n a)un=P(Z=n) =P(Z > n-1)-P(Z > n) =vn-1-vn b)?N n=1nun=?N n=1n(vn-1-vn) =?N-1 n=0(n+ 1)vn-?N n=1nvn?N n=1nun=?N-1 n=0(n+ 1)vn-?N-1 n=0nvn-NvN? n=1nun=?N-1 n=0vn-NvNPosonsTN=?N n=1nunetSN=?N n=0vn Si la s´erie?vnconverge, alors la suite (SN) converge et elle est donc major´ee. D"autre part , la suite (TN) est croissante carTN+1-TN= (N+ 1)uN+1≥0 La suite (TN) est croissante et major´ee, elle est donc convergente;

Cela signifie que la s´erie?nunconverge.

c) La s´erie ?unconverge ( et sa somme vaut 1),vN=?∞ n=N+1un

On suppose que la s´erie?nunconverge.

?n≥N+ 1, nun≥Nuncarun≥0

D"o`u?∞

n=N+1nun≥?∞ n=N+1Nun=NvN n=N+1nun, par le thm des gendarmes, limN→∞NvN= 0 d) Si ?nunconverge, alorsSN-1=TN+NvN

La suite (TN) converge ainsi que la suite (NvN)

D"o`u la suite (SN) converge, cela signifie que la s´erie?vnconverge. On a donc montr´e que si?nunconverge alors?vnconverge et par le b) on a montr´e que si?vn converge alors?nunconvergeZadmet une esp´erance si et seulement si?vnconverge2

En cas de convergence, lim

N→∞NvN= 0, d"o`u limN→∞SN-1= limN→∞TNet doncE(Z) =?∞ n=0vn3.vn= 1-(1-qn)R a) lim n→∞qn= 0 d"o`u (1-qn)R= 1-Rqn+o(qn) ( DL de (1 +x)α); d"o`uv Par le thm de comparaison des s´eries `a termes positifs,?vnconverge D"apr`es le II.2, on en d´eduit queYadmet une esp´erance etE(Y) =?∞ n=01-(1-qn)Rc) PourR= 2

1-(1-qn)2= 2qn-q2n

E(Y) = 2?∞

n=0qn-?∞ n=0?q2?ncar les deux s´eries convergent

E(Y) = 211-q-11-q2=2p

-1p(1 +q)=1 + 2q1-q2E(Y) =1 + 2q1-q24.?x≥0, f(x) = 1-(1-qx)R= 1-(1-exlnq)R fest d´ecroissante sur [0,+∞[ b)qx→0 quandx→+∞,d"o`u (1-qx)R= 1-Rqx+R(R-1)2 q2x+o?q2x?

D"o`uf(x)-Rqx≂ -R(R-1)2

q2xquandx→+∞ c) Les deux ´equivalents sont de mˆemes signes dans un voisinage de +∞ Donc il existe un r´eelA >0, tel que?x≥A, f(x)-Rqx<0,d"o`uf(x)< Rqx La fonctionfest continue et positive sur [0,+∞[ ?x≥A, f(x)< Rqx qxdx=?exlnqlnq? D"o`u qxdxconverge Par le thm de comparaison des int´egrales de fonctions positives, on en d´eduit que f(x)dxconverge? f(x)dxconverge3 d) Six≥0,?R-1 k=0qx(1-qx)k=qx1-(1-qx)R1-(1-qx)=f(x) ( somme des premiers termes d"une suite g´eom´etrique de raison 1-qx?= 1?x?[0,+∞[, f(x) =?R-1 k=0qx(1-qx)k? qx(1-qx)kdx=? exlnq?1-exlnq?kdx=? -?1-exlnq?k+1(k+ 1)lnq? =-?1-eAlnq?k+1(k+ 1)lnq→-1(k+ 1)lnq quandA→+∞

D"o`u?

qx(1-qx)kdx=-1(k+ 1)lnq

On retrouve alors que?

f(x)dxconverge et? f(x)dx=-1lnq? R-1 k=01(k+ 1)5. Encadrement deE(Y) n+1

Puis en sommant :

N+1 n=0v npar la relation de Chasles ; N-1 f(x)dx, d"o`u?N f(x)dx+ 1? N+1

f(x)dx+ 1c) En faisant tendreNvers +∞dans les in´egalit´es ci-dessus, puisque tous les termes convergent :?+∞

n=0v f(x)dx+ 1-1lnq? R-1 R-1 k=01(k+ 1)+ 16. a) Mˆemes types de calculs qu"au II5 k+1 k1x ?R+1 11x k=11k R-1 11x dx,d"o`u?R k=21k 11x dx+ 1? R+1 11x k=11k 11x dx+ 14 k=11k ln(R+ 1)ln(R)-1 =ln(R+1R )ln(R)→0 quandR→+∞

Par le thm des gendarmes,

k=11kln(R)→1 quandR→+∞ -1lnqP k=11kln(R)+1ln(R)? -1lnq>0?

Encore par le thm des gendarmes,

E(Y)ln(R)→-1lnqE(Y)≂-ln(R)lnqquandR→+∞Partie III

1.Znest le nombre de de rosiers pour lesquels la greffe a pris pendant la (n+ 1)i`eme semaine

2.Y1est le nombre de greffes prises lors de la premi`ere semaine.

C"est le nombre de succ´es lors deR´epreuves de Bernouilli ind´ependantes de probabilit´e de succ´espY

1suit la loi binomialeB(R,p),E(Y1) =np,V(Y1) =npq3.Ynest `a valeurs dans{0,..,R}

a) (Yn=m)m=0,..,Rforme un syst`eme complet d"´ev´enements

P((Yn+1=l) =?R

m=0P((Yn+1=l,Yn=m)=?R m=0P((Zn+Yn=l,Yn=m) =?Rquotesdbs_dbs7.pdfusesText_5

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