[PDF] La proportionnalité CONTINUITE ÉCOLE - COLLÈGE

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La proportionnalité

CE2 CM1 CM2 6ème

-Savoir organiser les données d'un problème en vue de sa résolution. -Utiliser un tableau ou un graphique en vue d'un traitement des données. -Construire un tableau ou un graphique. -Interpréter un tableau ou un graphique. -Lire les coordonnées d'un point. -Placer un point dont on connaît les coordonnées. -Utiliser un tableau ou la "règle de trois" dans des situations très simples de proportionnalité. -Résoudre des problèmes relevant de la proportionnalité et notamment des problèmes relatifs aux pourcentages, aux échelles, aux vitesses moyennes ou aux conversions d'unités, en utilisant des procédures variées (dont la "règle de trois"). -Reconnaître et traiter des situations qui relèvent ou non de la proportionnalité, dans le cadre des grandeurs.

Raisonnements simples s'appuyant sur

la linéarité relative à la multiplication et l'addition, ou sur l'utilisation du coefficient de proportionnalité (entier ou décimal). -Passage par l'image de l'unité (ou règle de trois). -Tableau de proportionnalité sans formalisation. -Appliquer un taux de pourcentage.

5ème 4ème 3ème

-Propriété de linéarité. -Tableau de proportionnalité : compléter, reconnaître ou écarter. -Règle de trois c'est-à-dire passage par l'image de l'unité. -Rapport de linéarité ou coefficient de proportionnalité sous forme de quotient. -Utiliser les expressions " en fonction de », " est fonction de ». -Comparer des proportions. -Utiliser, calculer un pourcentage. -Utiliser, calculer l'échelle d'une carte ou un dessin.

Utilisation de la proportionnalité :

-Déterminer une quatrième proportionnelle. S'ajoute : "Le produit des extrêmes est égal au produit des moyens". -Déterminer le pourcentage relatif à un caractère d'un groupe constitué de deux groupes.

Proportionnalité et représentations

graphiques : caractérisation de la proportionnalité par l'alignement de points avec l'origine.

Synthèse du travail conduit

précédemment, approche de la notion de fonction, connaissance des fonctions linéaires et affines.

Fonction linéaire :

-Définition. -Calculer l'image d'un nombre donné, l'antécédent d'un nombre donné. -Déterminer l'expression algébrique d'une fonction linaire connaissant un nombre et son image. -Représenter graphiquement une fonction linéaire. -Déterminer graphiquement l'image d'un nombre donné, l'antécédent d'un nombre donné. -Lire et interpréter graphiquement le coefficient d'une fonction linéaire représentée par une droite.

Fonction affine : mêmes items.

La proportionnalité de x et y caractérise

les fonctions linéaires, celle des accroissements de x et y caractérise les fonctions affines.

Ce document a pour but d'apporter aux enseignants du cycle des approfondissements et du collège une

aide à la construction de la notion de proportionnalité et des outils nécessaires à la traiter.

La construction de cette notion est référencée pour l'école élémentaire au BOEN HS n°3 du 19 juin 2008 et pour le

collège au BO spécial n°6 du 28 août 2008, en mathématiques, dans le champ " Organisation et gestion de données ».

CONTINUITE ÉCOLE - COLLÈGE

Numéro 4

Septembre 2012

Du grec pro (pour) et portio (part, rapport) repris en latin par proportio (rapport et analogie) et onis (tout) : "par analogie au tout". Donc "le mot proportion désigne le rapport entre les parties d'une chose" * * Alain Rey, Dictionnaire historique de la langue française, éditions Le Robert

" La résolution de problèmes de proportionnalité est déjà travaillée à l'école primaire. Elle se poursuit en 6ème, avec des outils

nouveaux. La proportionnalité fait l'objet d'un apprentissage continu et progressif sur les quatre années du collège et permet de

comprendre et de traiter de nombreuses notions du programme. »

BO spécial n°6 du 28 août 2008

Étymologie

Construire la notion de proportionnalité...

Sommaire

Page 1

Étymologie

Programmes

Notion

Page 2

Le point de vue du professeur

Des procédures

Page 3

Proposition pour une

progressivité des apprentissages

Page 4

Deux pratiques pour une

continuité

Ressources

...c'est ...ce n'est pas Analyser des situations concrètes liées à la vie quotidienne. Entrer dans la notion par un outil " tableau ». Proposer des situations variées afin de les trier pour apprendre à identifier celles qui en relèvent.

Proposer uniquement des situations relevant

de la proportionnalité. S'appuyer aussi sur des énoncés en géométrie, en grandeurs et mesure et des représentations graphiques issues d'autres disciplines. Centrer uniquement le propos sur des énoncés de type " recette ».

Mettre en place progressivement les

raisonnements pour reconnaître et traiter des situations de proportionnalité.

Attendre une seule méthode de résolution.

Mettre en valeur le passage par l'unité :

reconnaissance et outil.

Sous-estimer l'importance de la règle de trois

dans les pratiques. Groupes départementaux Évaluation / Mathématiques - Commission École-Collège

Un apprentissage continu et progressif

1 Passage par l'unité (règle de trois) Application de la linéarité

6 livres coûtent 150 €.

1 livre coûte 6 fois moins cher donc 150 : 6 = 25 €.

9 livres coûtent 9 fois plus donc 9 X 25 = 225 €.

150 euros c'est pour 6 livres, on divise par 6 pour un livre puis

on multiplie par 9 pour 9 livres.

Ce qui s'écrit : ଵହ଴×ଽ

Mise en forme possible dans un tableau :

Nombre de livres 6 3 9

Coût (euros) 150 75 225

Passage par l'unité (règle de trois) Application de la linéarité OEufs : 2 oeufs c'est pour 4 coupes, on divise par 4 pour une coupe et on multiplie par 10 pour 10 coupes.

Ce qui s'écrit ׷

4 On réciterait de la même façon et écrirait : Pour le chocolat : ଵ଴଴×ଵ଴ ସ et pour le sucre : ଷ଴×ଵ଴

Mise en forme possible dans un tableau :

Nombre de coupes 4 8 2 10

OEufs 2 4 1 5

Chocolat en g 100 200 50 250

Sucre en g 30 60 15 75

Dans ce cas, la procédure la plus adaptée est l'utilisation du tableau en raison de la multiplicité des données.

Dire que deux grandeurs sont proportionnelles, c'est affirmer que les valeurs de l'une s'obtiennent en multipliant par

une constante les valeurs de l'autre. Cette constante se nomme le coefficient de proportionnalité.

La proportionnalité est un concept avant d'être un outil qui s'appuie sur les acquisitions précédentes se rapportant à

l'addition et à la multiplication. La pratique de la proportionnalité en tant qu'outil suppose la maîtrise des

relations arithmétiques entre les nombres : double, moitié, multiple, diviseur...

Passage par l'unité (règle de trois)

Application de la linéarité a. propriété d'additivité b. propriété d'homogénéité (par rapport à la multiplication)

Utilisation d'une représentation graphique

Utilisation du coefficient de proportionnalité*

Utilisation de l'égalité des rapports*

*Procédures mises en oeuvre plutôt au collège

Exercice 19 - Évaluation nationale CM2 - 2010

Pour faire une mousse au chocolat, Louis a trouvé une recette qui permet de faire quatre coupes. Il faut : -2 oeufs -100 g de chocolat -30 g de sucre Calcule les quantités de chacun des ingrédients (oeufs, chocolat, sucre) pour faire 10 coupes.

Résolutions possibles :

Le point de vue du professeur !

Des procédures... aux résolutions

Exercice 15

Item 88 : 49,9% (taux de réussite départemental) La réponse attendue est " Neuf (ou 9) livres coûtent 225€. » Item 89 : 27,8% (taux de réussite départemental) La réponse attendue est " Quinze (ou 15) objets coûtent 33€. » Groupes départementaux Évaluation / Mathématiques - Commission École-Collège

Exercice 15 - Évaluation nationale CM2 - 2011

A/ Le directeur doit acheter des cahiers et des livres pour l'école. 6 livres coûtent 150 €.

Combien coûtent 9 livres ? (item 88)

Résolutions possibles :

Dans ce cas, la procédure la plus adaptée est l'utilisation du passage à l'unité (règle de trois) parce qu'il n'y a qu'une seule donnée.

Exercice 15 - Évaluation nationale CM2 - 2011

B/ 10 objets identiques coûtent 22 €. Combien coûtent 15 de ces objets ? (item 89)

Résolution possible :

C'est une pratique usuelle de calcul mental (multiplier par 15, c'est multiplier par 10 puis ajouter la moitié de ce nombre).

Exercice 19

Item 99 : 31% (taux de réussite départemental)

La procédure utilisée pour chacun des trois

ingrédients est correcte. Item 100 : 25% (taux de réussite départemental)

La réponse attendue est " 5 oeufs, 250g de

chocolat, 75g de sucre. » 2

Objectifs Proposition d'activités / situations

en CM1 / CM2

Proposition d'activités / situations

en 6ème / 5ème

Manipuler : reconnaître des

situations de proportionnalité concrètes afin de visualiser les effets de la proportionnalité

Pistes de travail

ŹAgrandissement et réduction de figures

ŹPrix donnés à l'unité (bon de commande)

ŹRecette de cuisine

ŹProportionnalité du périmètre du carré avec son côté ŹProportionnalité du périmètre du cercle avec la longueur de son diamètre (nombre ʌ)

ŹMasse suspendue et allongement du ressort

ŹEngrenages : nombre de tours effectués avec des roues dentées différentes

Identifier le rapport existant

Imaginer le nombre de tours en fonction de ce rapport

Pistes de travail

ŹEn lien avec la multiplication :

-prix donnés à l'unité -conversions de longueurs, aires, volumes -travail sur les durées : par addition, multiplication et division ŹProportionnalité du volume d'un parallélépipède, d'un prisme, d'un cylindre avec l'aire de leur base ŹProportionnalité des mesures d'angles aux effectifs dans un diagramme circulaire ou semi-circulaire ŹProduction du plan de la chambre à une échelle donnée, puis inversement, utilisation d'un plan d'une maison ou d'un appartement

ŹEn lien avec l'EDD :

-travail sur cartes d'état-major, IGN, SIG pour apprécier l'évolution des forêts ou l'aménagement d'une ville -comparaison de pourcentages Ź " Camera obscura » : agrandissement, réduction à la lumière solaire

Reconnaître des situations

proportionnelles ou non ŹTrier un corpus d'énoncés de problèmes

ŹArgumenter son tri

Situations proportionnelles :

ŹNombre d'articles / prix à l'unité

ŹPrix / masse

ŹNombre de tours de piste

ŹRéduction ou agrandissement

ŹConversion d'unités (m, cm, mm)

ŹQuestionnaires à choix multiples ou vrai / faux

Situations non proportionnelles :

ŹPrix à l'unité / prix au lot

ŹMasse / taille

ŹTarif d'une place de cinéma / tarif d'une carte de 10 ou

15 places

ŹTri d'un corpus d'énoncés plus finement, tri de tableaux, en argumentant son tri ŹDébut du concept de " grandeur en fonction d'une autre »

Conversion des devises avec ou sans commission

Masse d'un livre en fonction du nombre de pages, en tenant compte ou non de la masse de la couverture Coût des places de spectacles avec ou sans carte d'abonnement Distance d'arrêt d'un véhicule proportionnelle au carré de la vitesse en tenant compte ou non du temps de réaction du conducteur Conversion de la température repérée de degré Celsius en degré

Fahrenheit

Résoudre des problèmes

avec des présentations variées

ŹEnoncés

ŹTableaux

ŹReprésentations graphiques

ŹLes mêmes avec un registre de nombres étendu (nombres décimaux...) ŹFormalisation progressive du repérage, pratiques graphiques confortant l'alignement des points avec l'origine dans des situations de proportionnalité

Résoudre des problèmes

pour construire le répertoire des procédures ŹFaire émerger les différentes procédures :

Passage par l'unité

Application de la linéarité

Propriété d'additivité

Propriété d'homogénéité (par rapport à la multiplication)

Utilisation d'une représentation graphique

ŹÉmergence de différentes procédures avec des nombres décimaux :

Passage par l'unité (règle de trois)

Utilisation du coefficient de proportionnalité, d'un rapport de linéarité sous forme de fraction ou décimale Tableau de proportionnalité à construire et/ou à compléter

Calcul et application d'un pourcentage

Comparaison de proportions en utilisant l'écriture fractionnaire Propriété caractéristique de l'alignement des points

Utiliser la procédure la plus

adaptée pour résoudre un problème Cf. le corrigé des exercices 15 et 19 des évaluations nationales (page 2) ŹUn seul nombre cherché, utiliser de préférence la règle de trois ŹPlusieurs nombres cherchés, le tableau a du sens et les procédures peuvent être variées

Résoudre des situations

complexes

ŹÉnoncés avec des données multiples ŹCalcul de fréquences, proportionnalité des fréquences et des

effectifs ŹPrésentation des données sous la forme de diagramme, histogramme. En particulier, diagrammes circulaires ou semi- circulaires ŹCalcul de pourcentages avec des référentiels différents : " pourcentage de ... », enchaînement de hausses et de baisses en pourcentages

Résoudre des situations

particulières ŹVitesse, pourcentage, échelle ŹDes situations ouvertes : Calcul d'une vitesse moyenne d'un véhicule ayant roulé à des vitesses différentes pendant des temps différents Détermination d'une proportion d'un mélange dont on connaît la masse volumique et celles de ses deux ingrédients Etant donnée une proportion de boules rouges dans une urne de boules de différentes couleurs, détermination du nombre de boules rouges à ajouter pour obtenir telle autre proportion Propositions pour une progressivité des apprentissages

Varier la

présentation des situations et leur résolution :

énoncés, tableaux,

représentations graphiques.

Penser à

schématiser. Groupes départementaux Évaluation / Mathématiques - Commission École-Collège 3 Procédure par essais-erreurs : Si je mange 100 grammes de fromage blanc, alors je mange 16 grammes de matière grasse. Je n'ai donc pas atteint le maximum autorisé. Donc j'essaie avec un nombre plus grand, par exemple,

150 grammes. Si je mange 150 grammes de fromage blanc, alors je mange

150×ଵ଺

ଵ଴଴=24 g de matière grasse. C'est trop ! Donc j'essaie avec un nombre entre 100 et 150 ... . Procédure utilisant les propriétés de linéarité : Il y a 16 grammes de matière grasse dans 100 grammes de fromage blanc. Donc, il y a 8 grammes de matière grasse dans 50 grammes de fromage blanc, 4 grammes de matière grasse dans 25 grammes de fromage blanc, 20 grammes de matière grasse dans 125 grammes de fromage blanc (en multipliant 4 et 25 par 5 ou en ajoutant 16 et 4 puis 100 et 25). Groupes départementaux Évaluation / Mathématiques - Commission École-Collège

Si cette situation est proposée en 6ème, des procédures essais-erreurs peuvent être mises en oeuvre par les élèves. La règle de

trois en tant que passage par l'unité est attendue à partir de la classe de sixième, la procédure détaillée n'est pas à

encourager, elle appuie seulement la compréhension de l'écriture directe d'une règle de trois.

Cette situation peut être proposée en 5ème voire dès la 6ème dans le cadre de tâches complexes.

En regardant sur l'étiquette d'un fromage blanc, on lit dans sa composition: 16% de matière grasse. Je suis autorisé à manger 20

grammes de matière grasse. Quelle masse de fromage blanc suis-je autorisé à manger ? (Réponse : 125g)

Deux pratiques pour une continuité

Lieu Gestion de la classe Durée Support Activités de l'élève / de l'enseignant

Classe

Oral - Collectif 15

min

TNI ou

vidéoprojecteur ou rétroprojecteur ou papier - Rechercher l'école puis la cour à l'aide d'un logiciel de visualisation de la Terre par les satellites (Géoportail, GoogleEarth...) avec ou sans connexion internet - Mesurer la longueur et la largeur de la cour ou utiliser des repères remarquables selon la configuration de l'école sur la photo satellite - Reporter les dimensions dans un tableau

Cour de

récréation

Minimum deux groupes

pour la même consigne - Mesurer la longueur de la cour - Mesurer la largeur de la cour Remarque : il est préférable que cette phase soit réalisée en amont. Classe Oral - Collectif 5 min TNI ou tableau - Relever les dimensions Remarque : discuter la vraisemblance des résultats.

Classe Par 2 puis agrandir les

groupes pour favoriser les échanges 15 min

TNI ou tableau - Écrire la consigne : " Ҧ l'aide des distances mesurées sur la photo et dans la

cour, trouve à quelle longueur en réalité correspond un cm sur la photo satellite. »

Classe Oral - Collectif 15

min

TNI ou tableau ou

affiche - Synthèse des groupes : dégager le coefficient de proportionnalité, l'échelle - Conserver la trace écrite Proposition d'une séance pour le premier degré Approcher la notion de coefficient de proportionnalité

Ressources

Proposition d'une situation pour le second degré

Chercher le tout connaissant une partie et le pourcentage représentant cette partie par rapport au tout

Procédure détaillée par passage par l'unité : Quand on consomme 100 grammes de fromage blanc, on mange 16 grammes de matière grasse. Donc, pour manger 1 gramme de matière grasse, on consomme 16 fois moins de fromage blanc soit ଵ଴଴ ଵ଺grammes (éventuellement faire écrire = 6,25g) et pour manger 20 grammes de matière grasse, on consomme 20 fois plus de fromage blanc, c'est-à- dire : ଵ଴଴ ଵ଺×20 g de fromage blanc (éventuellement écrire 6,25 × 20). Procédure directe qui s'appuie sur ce raisonnement : 100g de fromage blanc pour 16g de matière grasse, on divise par 16 pour une unité de matière grasse et on multiplie par 20 pour 20 unités de matière grasse, ଵ଺ g de fromage blanc.

Bibliographie Sites Internet

Apprentissages numériques et résolution de problèmes CM1 et CM2 cycle 3, Hatier, Ermel La proportionnalité sans problème, CRDP de Franche-Comté

Pédagogie pratique à l'école et au collège - Concepts clés et situations - Problèmes en mathématiques,

numération, opérations...et proportionnalité, BASSIS Colette, Hachette Éducation

IREM de Grenoble " Grand N »

N°56, proportionnalité simple et multiple, p.43-53

N°71 Revue de mathématiques, sciences et technologie pour les maîtres de l'enseignement primaire,

Université Joseph Fourier

Du quotidien aux mathématiques : nombre, grandeurs, proportions, ROUCHE Nicolas, Ellipses Calcul pratique : arithmétique et géométrie, CHAMBADAL Lucien, Hachette

Plus vite que son nombre, GASQUET Sylviane, Seuil

http://mathoumatheux.ac-rennes.fr/ http://pernoux.perso.orange.fr http://euler.ac-versailles.fr http://www.banqoutils.education.gouv.fr/ http://www.uvp5.univ-paris5.fr/TFM/

14_article_92.pdf, article en ligne :

Repère IREM n° 14, Résolution de

quotesdbs_dbs6.pdfusesText_12

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[PDF] appropriate for currently active older people who are less likely than those currently inactive to need face to face encouragement and support. Sport

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