[PDF] TOPOMETRIE Calcul gisement et distance entre

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DidierBouteloup

IGN/ENSG

TOPOMETRIE

CALCULS

TOPOMETRIQUES

ÉCOLENATIONALE DESSCIENCESGEOGRAPHIQUES.

6et 8avenueBlaise Pascal

77455Marne laValléeCedex 2

www.ensg.ign.fr

©IGN 2006

Tabledes matières

ChapitreI. Gisementd'unedirection ... ... .............................5

1.Qu'est-ce qu'ungisement? ... ... .........................................5

ChapitreII. Calculgisementet distanceentre2 points.. ... ... ... ... 7

1.Calcul gisementetdistance entre2points ... ... ... ... ....................7

Exercicen°1. CalculdeV0 etrayonnement. ... ... ... ...... ... ... ... ... ... .9 ChapitreIII. Intersection.. ................................................11

1.Intersection ................................................................11

ChapitreIV. Relèvement.. ................................................15

1.Relèvement ...............................................................15

ChapitreV. Stationexcentrée. ... ........................................19

1.Station excentrée.. ........................................................19

ChapitreVI. Cheminementpolygonal. ... ...............................23

1.Cheminement polygonal.. ................................................23

Corrigésdes exercices.. ...................................................27

ChapitreI

Gisementd'une

direction

1.Qu'est-ce qu'ungisement?

Définition

Legisement estl'angleformé parladirection orientéeABavec l'axeparallèleà l'axedes ordonnées(axeY) delareprésentation. Lesgisements sontcomptéspositivement de0à 400gradesdans lesensdes aiguillesd'une montre. SCH.1

ChapitreII

Calculgisement et

distanceentre 2 points

1.Calcul gisementetdistance entre2points

1.1.Conversion Polaire-->Rectangulaire

Calculdes coordonnéesd'unpoint Minconnupar ladonnéedes coordonnéesd'un pointA connuetde lamesuredu gisementetde ladistanceAM.

1.2.Conversion Rectangulaire-->Polaire

Calculdu gisementetde ladistanceAB àpartirdes coordonnéesdespoints AetB connus.

Remarque

laformule (2)permetde leverl'ambiguïtéde 200gradessur lecalculde "arctan ».

1.3.G0 etRayonnement

Orientationdu limbe

Unthéodolite permetd'effectuerdes lecturesd'angleshorizontaux. Ceslectures sontcomptées positivementdansle sensdesaiguilles d'unemontrepar rapportà unedirection originecorrespondantà lalecture" zéro». SCH.2

8TOPOMETRIE

Legisement d'unedirectionpeut sedéduiredu gisementdel'origine deslectures d'angleshorizontaux mesuréeslorsdu tourd'horizon.Celui ciappelé G0d'orientation peutsecalculer àpartirde l'observationdepoints connusen coordonnées.

Définition

Lamoyenne decesvaleurs individuellesdonnel'orientation moyenneduzéro dulimbe aumomentdu tourd'horizon ¨nest lenombrede pointsvisésconnus encoordonnéesdepuis lastation L'analysedes écartsentreles G0individuelset cegisementmoyen d'orientation permetde décelerleséventuelles erreursdecalculs etd'observationsmais ausside montrerun éventueldéplacementdes pointsconnusen coordonnées(bornedéplacée, mauvaiseidentification depointsvisés. ..) . Legisement d'unedirectionà déterminersecalcule simplementensuite:

Exercicen°1. CalculdeV0 etrayonnement

Ungéomètre procèdeàla déterminationde2 pointsnouveaux80 et81à partirde pointsgéodésiques lesplusproches 50,51,52 ,53et54 decoordonnéesplanes suivantes.

PointsE(m)N(m)

50982591.010 3155 242.710

51983111.450 3157 891.810

52986130.980 3154 407.730

53979758.400 3154 999.820

54982679.857 3154 794.980

TAB.1 Ilstationne lepoint50 etmesurele angleshorizontauxsuivants :

Calculgisement etdistanceentre 2points9

PointVisé Moyennedes lecturesréduites(grades)

800.0000

5252.7859

81156.6256

53232.5948

51350.3884

54125.5665

TAB.2 Ilmesure égalementlesdistances horizontalesréduitesà laprojectiondepuis lastation 50:

PointVisé Distanceshorizontales (m)

80300.460

81216.612

TAB.3

Question1

¨Calculerpour chaquepointconnu leG0individuel

¨Calculerle G0moyende lastation50

Question2

¨Calculerles coordonnéesplanesdes points80et 81

10TOPOMETRIE

ChapitreIII

Intersection

1.Intersection

1.1.Problématique

Methode

Commentdéterminer lescoordonnées(X M,Y M)d'un pointMinaccessible (clocher,château d'eau,pylône,cible, ... )àpartir d'unréseaude points géodésiques Ladistance n'étantpasmesurable directement,pourrésoudre ceproblèmeà

2inconnues, 2sériesde mesuressontnécessaires.

Apartir d'unpointconnu A,un tourd'horizonest effectués'orientantsur des pointsconnus (1,2, 3)et lepointMinconnu.Ces mesuresd'angleshorizontaux vontpermettre dedéterminerle gisementdela directionAM. Lamême opérationdepuisun pointconnuBpermettrade définirlegisement dela directionBM.Lecalcul consisteàdéterminer lelieud'intersection deces deuxlieux géométriquesainsidéfinis. SCH.3

1.2.Calcul d'unpointisolé àpartirde 2viséesd'intersection

Solutiontrigonométrique

1.Calculdes G0moyend'orientation enAeten Bavec

2.Calculet validationduG0 moyen

12TOPOMETRIE

3.Calculdes gisementsGAMetG BM

4.Calculdu gisementetde ladistanceAB

avec

5.Résolutiondu triangleABM(voirschéma cidessous)

Larelation dessinusappliquée autriangleABM permetd'écrire: d'où

6.Calculdes coordonnéesdeMàpartir deA

Intersection13

SCH.4 :RÉSOLUTIONDU TRIANGLEABM

Solutionanalytique

Cettesolution reposesurl'écriture deséquationsdes droitesAMetBM,elle est plusfacile àmettreen oeuvred'un pointdevue informatique ou

Remarque

Pourdes questionsdestabilité numérique,ilest préférabledecalculer laplus petitevaleur de àpartir delaplus grandedeces deuxvaleurs.Le contrôleducalcul consisteà comparerle gisementGBMcalculéau gisementissudes observations.

14TOPOMETRIE

ChapitreIV

Relèvement

1.Relèvement

1.1.Arc capable

Définition

L'ensembledes pointsMsous lequelonpeut voir2points AetB sousun angleconstant aestune portiondecercle decentreO appeléarccapable AB

Propriété

L'angleobservé aucentredu cercleestle doubledel'angle observéenun point quelconquede l'arccapable. SCH.5

1.2.Relèvement

L'ensembledes pointsMsous lequelunopérateur aperçoitlesegment ABsousun angleaetle segmentBCsous unanglebsesitue doncàl'intersection de2arcs capables.

Solutiongéométrique

SCH.6

1.Calculdes gisementsetdistances ABetBC.

2.Calculdes coordonnéesdescentres O1etO 2descercles supportdesarcs

capables demême

3.Résolutiondu triangleO1O2M

4.Calculdes coordonnéesdeM àpartirde O1etcontrôle ducalculen calculant

àpartir deO2.

SolutionAnalytique

Lasolution Mestle barycentredespoints A,Bet Caffectésdes coefficientsp, m,n :

16TOPOMETRIE

SCH.7 SoientA etalesangles quiintersectentle segmentBCrespectivement enAet M SoientB etblesangles quiintersectentle segmentACrespectivement enB etM SoientC etglesangles quiintersectentle segmentABrespectivement enC etM

Lespoids p,met ns'obtiennentcomme suit:

Relèvement17

ChapitreV

Stationexcentrée

1.Station excentrée

Problématique

Afinde déterminerlescoordonnées depointsnouveaux 1et2etlorsque les conditionsd'observation durepèreconnu Rn'autorisentpas lecentragedu théodolitesur cedernieril estnécessaired'effectuer desobservationsà partir d'unpoint auxiliairetemporaireS: Mesuresd'angles horizontauxsurdes pointsconnusA,B, C,.. .etinconnus

1,2, ..(notation :1i)

Mesuresde distancesurle repèreprocheR(notation :dsr) Mesuresde distancessurles pointsàdéterminer 1,2,. ..(notation :Dsi) SCH.8

Calculs

Unesolution consisteàcalculer aupréalableles coordonnéesdela station excentréeS. Pourcalculer lesgisementsSi,il suffitdecorriger legisementRid'unpetit angleeavec:

1.Calculdes gisementsetdistances entrelastation connueetles points

d'orientation

2.Calculde lacorrectionà appliquerauxgisements

20TOPOMETRIE

3.Calculdu gisementmoyend'orientation enS

4.Ilsuffit ensuitedecalculer lescoordonnéesde Sàpartir :

-Coordonnéesde R -GisementRS : -Distancemesurée drs

5.Enfinde calculerlescoordonnées despointsnouveaux àpartirde S:

-Coordonnéesde S -Distancemesurée dsi

SCH.9 :CASD 'UNPOINT IINCONNU

Stationexcentrée 21

SCH.10 :CASD 'UNPOINT ICONNU

22TOPOMETRIE

ChapitreVI

Cheminement

polygonal

1.Cheminement polygonal

1.1.Definition

Uneligne polygonaleoupolygonation estunensemble desommetsformant une lignebrisée dontona prissoinde mesurerlesangles ainsiquela longueurdes cotéspour ainsidéterminerles coordonnéesdechacun desessommets. Cecheminement estditencadré lorsquelescoordonnées depointde départet d'arrivéesont connues,ilest ditenantenne lorsqueseuleles coordonnéesdu pointde départsontconnues, etfermélorsque lespointsde départetd'arrivée sontconfondus.

1.2.Calculs

Transmissiondes gisements

L'orientationdu premiercotédu cheminementestcalculée àpartirde visées d'orientationsur d'autrespointsconnus, latransmissionde cetteorientation s'effectueà l'aidedel'angle observéàchaque sommet.(voirchapitre 1.3G0 et rayonnement)

SCH.11

Fondamentaux

L'angleaiest calculépardifférence delecturesazimutales entrelavisée "avant »etla visée"arrière »soit:

SCH.12

Exemplede calculd'uncheminement encadré

Coordonnéesdes pointsS0et S5:

Xs0= 782875,12Xs5 =783228,94

Ys0= 215320,46Ys5 =215327,80

Lesgisements GAS0etG S5Bontété précedemmentcalculésà partirdes coordonnéesde A,S0,S 5etB

24TOPOMETRIE

IMG.1

Compensationdes gisements

L'imprécisiondes anglesobservés,fait quelegisement d'arrivéecalculé,diffère dugisement connuGS5B.Cette quantités'appellel'écart defermetureangulaire (f L'écartde fermetureangulaire(f )estréparti soit:

¨uniformémentsur chaquegisement

¨proportionnellementà lalongueurdes côtés,

Cheminementpolygonal 25

IMG.2

Compensationdes DXet DY

Pourchaque coté,onpeut calculeràpartir dugisementcompensé etdela distancemesurée (réduiteàla projection)DXet DY.L'imprécision des angleset desdistancesobservées, cumuléeàl'imprécision descoordonnéesdes pointsde départetd'arrivée provoqueunedifférence entre: Lescoordonnées calculéesdupoint d'arrivée etles coordonnéesconnuesdu pointd'arrivée Cesquantités s'appellentécartsde fermetureplanimétriqueselon lesaxesde la projection,respectivement (fx)selon l'axedesabscisses Xet(f y)selon l'axedes ordonnéesY. Cesécarts defermeturesont ensuiterépartisproportionnellement àlalongueur descotés :

26TOPOMETRIE

Corrigésdes exercices

Corrigéde l'exercicen°1: CalculdeV0 etrayonnement

Questionn°1

StationPtVisé GisementDistanceLecturesV0iPoidspV0ieiToléranceDistances gradesmgradesgradesgradesm TAB.4

Gisementmoyen 61,9610grades

écartmoyen d'orientation0,0012grades

TAB.5

Questionn°2

StationPointVisé

LecturesDistancesDXDYXY

gradesmmm

TAB.6 :CALCULDES POINTSRAYONNÉS

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