[PDF] Anneaux et arithmétique

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Anneaux et arithmétique

Pierron Théo

ENS Ker Lann

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Table des matières

1 Généralités sur les groupes1

1.1 Groupes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Sous-groupes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Morphismes de groupes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Généralités sur les anneaux7

2.1 Définitions et premières propriétés. . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.1 Anneaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.2 Sous-anneaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.1.3 Morphismes d"anneaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2 Éléments remarquables d"un anneau. . . . . . . . . . . . . . . 11

2.3 Idéaux d"un anneau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.4 Idéaux premiers et maximaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.5 Application à la géométrie algébrique. . . . . . . . . . . . . . 18

3 Généralités sur les corps21

3.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.2 Extensions et caractéristique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.3 Compléments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4 Les anneaux de polynômes27

4.1 Définitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.2 Division euclidienne dansA[X]. . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.3 Comparaison deA[X] etZ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.4 Éléments entiers d"un anneau. . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

5 Le quotient33

5.1 Quotient d"un groupe par un sous-groupe distingué. . . . . . 33

5.2 Quotient d"un anneau par un idéal. . . . . . . . . . . . . . . 33

5.2.1 Généralités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5.2.2 Conséquences directes de l"existence du quotient. . . . 35

i iiTABLE DES MATIÈRES

5.2.3 Le théorème des restes chinois. . . . . . . . . . . . . . 37

6 Corps finis41

7 Localisation d"anneaux45

7.1 Définition de la localisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

8 Anneaux factoriels49

8.1 Divisibilité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

8.2 Anneaux factoriels et localisation. . . . . . . . . . . . . . . . 53

8.3 Anneaux factoriels et anneaux de polynômes. . . . . . . . . . 54

8.4 Test d"irréductibilité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

9 Anneaux principaux et euclidiens59

Chapitre 1Généralités sur les groupes1.1 GroupesDéfinition 1.1 SoitGun ensemble non vide. On dit queGest un groupe pour la loi?ssi il existe?:G2→Gque l"on appelle loi de composition interne qui vérifie :

• ?x,y,z?G3,x?(y?z) = (x?y)?z=x?y?z.

• ?e?G,?x?G,e?x=x?e=x.

• ?x?G,?x-1?G,x?x-1=x-1?x=e.

Remarque 1.1

•eest unique (sinone=e?e?=e?)

•x-1est unique (sinon,(x-1)?= (x-1)??e= (x-1)??(x?x-1) = ((x-1)??x)?x-1=x-1).

Définition 1.2

Si (G,?) est un groupe.

On dit queGest l"ensemble sous-jacent à (G,?) et que?munitGd"une structure de groupe.

Gest dit abélien ssi?x,y?G2,x?y=y?x.

Exemples :

•(Z,+)

•(N,+) n"en est pas un.

• {e}est un groupe abélien.

•(Z/nZ) est un groupe abélien.

•PourK? {C,R,Q}, (K?,×) est un groupe abélien.

•(Mn(K),+) est un groupe abélien.

•(GLn(K),×) est un groupe non abélien.

•(Sn,◦) est un groupe.

1

CHAPITRE 1. GÉNÉRALITÉS SUR LES GROUPES

1.2 Sous-groupes

Définition 1.3

Soit (G,?) un groupe etH?Gun sous-ensemble non vide deG.Hest un sous-groupe de (G,?) ssi la restriction de?àHinduit une loi de composition interne surH.

Remarque 1.2

•Un sous-groupe(H,?)de(G,?)est un groupe.

•SiGest abélien,Haussi.

Exemples :

•(Z,+) est un sous-groupe de (Q,+) qui est un sous-groupe de (R,+).

•Get{eG}sont des sous-groupes deG.

•({z?C,zn= 1},×) est un sous-groupe de (C?,×).

•nZest un sous-groupe de (Z,+).

• {M?GLn(C),det(M) =±1}est un sous-groupe de (GLn(C),·). Proposition 1.1Soit (G,?) un groupe et∅?=H?G.

Hest un sous-groupe deGssi?x,y?H2,x?y-1?H.

Démonstration.

?SupposonsHsous-groupe deG. Soit (x,y)?H2.y-1est dansHet ?est interne doncx?y-1?H. ?Pour toutx?H,xx-1?HdoncHadmet un neutreeG.

On a de plus (eG,x)?H2doncx-1?H.

Enfin, (x,y-1)?H2doncxy?H.

DoncHest un sous groupe deG.

Théorème 1.1Les sous-groupes de(Z,+)sont lesnZ,n?N.

Démonstration.

•LesnZsont clairement des sous-groupes deZ.

•SoitHun sous-groupe deZ. SiH={0}, alorsH= 0Z.

Sinon,H\ {0} ?=∅donc il existen?= 0?H.

Hest un groupe donc|n| ?Hdonc on peut supposern?0. On pose ensuiten0= min{n?H,n >0}.

Tout élément den0Zest dansH.

Réciproquement, six?H,x=n0q+ravecr < n0.

On a alorsr?Hdoncr= 0 doncx?n0Z.

DoncH=n0Z.

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1.3. MORPHISMES DE GROUPES

1.3 Morphismes de groupes

Définition 1.4

Soient (G,?) et (G?,??) deux groupes. On appelle mor- phisme de groupes toute applicationf:G→G?telle que?x,y?G×G?, f(x?y) =f(x)??f(y). Si (G?,??) = (G,?),fest un endomorphisme de groupes. Sifest bijective, c"est un isomorphisme de groupe. Sifest bijective et (G,?) = (G?,??),fest un automorphisme de groupes. Remarque 1.3 Soitf:G→G?un morphisme de groupes. On af(eG) =eG? et pour toutx?G,f(x-1) =f(x)-1.

Exemples :

•Pour toutk?N, l"application :

f k:???Z→Z x?→kx est un morphisme injectif de (Z,+) dans lui-même. •det :GLn(R)→R?est un morphisme de groupes de (GLn(R),×) dans (R?,×).

Ce morphisme est surjectif et non injectif.

•ei·est un morphisme de (R,+) dans (C?,×) ni surjectif ni injectif. Proposition 1.2SoientG,G?etG??trois groupes,f:G→G?etg: G ?→G??deux morphismes de groupes.

•g◦fest un morphisme de groupes.

•Sifest un isomorphisme,f-1aussi.

•L"image directe parfd"un sous-groupe deGest un sous-groupe de G •L"image réciproque parfd"un sous-groupe deG?est un sous-groupe deG.

Démonstration.

•Clair

•Considérerf◦f-1et conclure par injectivité def.

•Il suffit de dérouler les définitions.

Définition 1.5Soit (G,?) et (G?,??) deux groupes,f:G→G?un mor- phisme de groupes. On appelle noyau defet on note Ker(f) le sous-groupe de (G,?) défini commef-1({eG?}). On appelle image defet on note Im(f) le sous-groupef(G) de (G?,??).

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CHAPITRE 1. GÉNÉRALITÉS SUR LES GROUPES

Théorème 1.2Avec les notations précédentes,fest injective ssiKer(f) = {eG}etfest surjective ssiIm(f) =G?.

Démonstration.

?x,x??G2,(f(x) =f(x?))?(x=x?) ssi?x,x??G2,(f(x?x?-1) =eG??x?x?-1=eG) ssi?x,x??G2,(x?x?-1?Ker(f)?x?x?-1=eG) ssi?z?G,(z?Ker(f)?z=eG) ssi Ker(f) ={eG}

Théorème 1.3

(Factorisation des morphismes de groupes)Soient G,G?etG??trois groupes etf:G→G?etg:G→G??deux morphismes de groupes.

Ker(f)?Ker(g) ssi?x,y?G2,f(x) =f(y)?g(x) =g(y)

Démonstration.

1?2 Soientx,y?G2tel quef(x) =f(y).

f(x?y-1) =eG?doncx?y-1?Ker(f)?Ker(g) doncg(x) =g(y).

2?1 Soitx?Ker(f).

f(x) =eG?=f(eG) doncg(x) =g(eG) =eG??doncx?Ker(g).

3?2 Soit (x,y)?G2tel quef(x) =f(y).

On ag(x) =h(f(x)) =h(f(y)) =g(y).

2?3 Soity?Im(f). Il existex?Gtel quey=f(x). On pose alors

h(y) =g(x). A priori,hdépend du choix dexmais (2) nous montre l"indépendance dehvis à vis de ce choix.hest donc bien définie. Par constructionhvérifieg=h◦fet l"unicité est induite.hest de plus bien un morphisme de groupes (définitions...) Corollaire 1.1Ker(f) = Ker(g)ssi il existe un unique isomorphisme de groupesh:Im(f)→Im(g)tel queg=h◦f.

Démonstration.

?Clair ?On a déjà un morphisme surjectifhvérifianth◦f=g. Reste à montrer qu"il est injectif.

Soity?Im(f).

h(y) =eGssi?x?G,y=f(x),h(f(x)) =g(x) =eG??

Doncx?Ker(g)?Ker(f) doncy=f(x) =eG?.

Donchest un isomorphisme de groupes.

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1.3. MORPHISMES DE GROUPES

Corollaire 1.2Sifest surjective,Ker(f)?Ker(g)ssi il existe un unique morphismeh:G?→G??tel queg=h◦f.

Démonstration.

?On a un unique morphisme surjectifh: Im(f)→Im(g) qui marche.

Im(f) =G?donchinduith?:G?→G??eth?◦f=g.

?S"il existeh:G?→G??tel queh◦f=g,hprend ses valeurs dans Im(g).hse factorise alors enh?: Im(f)→Im(g) et devient surjectif. Le théorème précédent assure Ker(f)?Ker(g). Remarque 1.4 Si on supposefetgsurjectifs, alorsh:G?→G??l"est aussi.

Théorème 1.4

(Produit direct de groupes)SoientG1etG2des groupes (resp. groupes abéliens). La loi : ?:???(G1×G2)2→G1×G2 (x1,x2),(y1,y2)?→(x1?1y1,x2?2y2) fait deG1×G2un groupe (resp. groupe abélien). Les applications : p

1:???G

1×G2→G1

(x,y)?→x et p

2:???G

1×G2→G2

(x,y)?→y sont des morphismes de groupes. Démonstration.La démonstration se fait coordonnée par coordonnée. Remarque 1.5 Il est donc possible de construire récursivement une structure de groupe sur un produit cartésien de(G1,···,Gn). Proposition 1.3(G1×G2,?) vérifie la propriété fondamentale : pour tout (T,·) groupe muni de deux morphismesf1:T→G1etf2:T→G2, il existe un unique morphismef:T→G1×G2tel quefi=pi◦f.

Démonstration.

f:???T→G1×G2 x?→(f1(x),f2(x)) convient et c"est le seul. Remarque 1.6 Une telle propriété définit(G1×G2,?)à isomorphisme près.

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CHAPITRE 1. GÉNÉRALITÉS SUR LES GROUPES

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Chapitre 2Généralités sur les anneaux2.1 Définitions et premières propriétés2.1.1 AnneauxDéfinition 2.1

SoitAun ensemble non vide. On dit que (A,+,×) est un anneau ssi :

•+ et×sont internes

•(A,+) est un groupe abélien d"élément neutre noté 0 • ×est associative et distributive par rapport à + Aest appelé ensemble sous-jacent à (A,+,×). (A,+) est appelé groupe sous-jacent à (A,+,×).

Définition 2.2

(Définition équivalente)A?=∅est un anneau ssi il existe deux lois de composition interne + et×vérifiant :

• ?(x,y,z)?A3,(x+y) +z=x+ (y+z) =x+y+z

• ?0?A,?x?A,x+ 0 = 0 +x=x

• ?x?A,?(-x)?A,x+ (-x) = (-x) +x= 0

• ?(x,y)?A2,x+y=y+x

• ?(x,y,z)?A3,(xy)z=x(yz) =xyz

• ?(x,y,z)?A3,(x+y)z=xz+yzetx(y+z) =xy+xz

Proposition 2.1Pour toutx?A, 0x=x0 = 0.

Démonstration.0x= (0+0)x= 0x+0xdonc 0x= 0. De même,x0 = 0.

Exemples :

•(Z,+,×), (Q,+,×), (R,+,×), (C,+,×) sont des anneaux.

•(Z/nZ,+,×) est un anneau pour toutn?N.

•(Mn(K),+,×) est un anneau avecK? {Q,R,C}.

•Si (G,?) est un groupe abélien, (hom(G,G),?,◦) est un anneau. 7

CHAPITRE 2. GÉNÉRALITÉS SUR LES ANNEAUX

Définition 2.3On dit que (A,+,×) est unitaire ssi il existex?=y?A2et si×possède un neutre noté 1.

Définition 2.4

On dit que (A,+,×) est abélien si×est commutative. Proposition 2.2Si (A,+,×) est un anneau unitaire, alors, pour toutx?

A,-x= (-1)x.

Démonstration.(-1)x+x= (-1)x+1x= (-1 + 1)x= 0x= 0. Par unicité de l"inverse,-x= (-1)x.

Exemples :

•Z,Q,R,C,Z/nZ,Mp(K) et hom(G,G) sont unitaires pourn?= 1.

•Z,Q,R,CetZ/nZsont abéliens pour toutn?N.

•(2Z,+,×) est un anneau commutatif non unitaire.

• {f?RR,supp(f) compact}

1muni de + et×est un anneau commu-

tatif non unitaire.

2.1.2 Sous-anneaux

Définition 2.5

Soit (A,+,×) un anneau et∅?=B?A.Best un sous- anneau deAssi :

•(B,+) est un sous-groupe de (A,+)

Best interne

Définition 2.6

(Définition équivalente)Best un sous-anneau deAssi pour tout (x,y)?B2,x-y?Betxy?B. Remarque 2.1 SiAest unitaire, on impose1A?B.Best alors unitaire, ce qui revient à dire que(B,+|B,×|B)est un anneau unitaire siAl"est.

Exemples :

•Aet{0}sont des sous-anneaux deA(siAest unitaire,{0}n"en est plus un) •Pour toutn?= 1,nZn"est pas un sous-anneau de (Z,+,×). •Zest un sous-anneau deQ,Qest un sous-anneau deRetRest un sous-anneau deC.

2.1.3 Morphismes d"anneaux

Définition 2.7

Soient (A,+,×) et (B,+?,×?) deux anneaux.

Une applicationf:A→Best un morphisme d"anneaux ssifest un morphisme de groupes de (A,+)→(B,+?) et pour tout (a,b)?A2,f(a× b) =f(a)×?f(b).

1. supp(f) ={x,f(x)?= 0}

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2.1. DÉFINITIONS ET PREMIÈRES PROPRIÉTÉS

Définition 2.8(Définition équivalente)fest un morphisme d"anneaux ssi pour tout (a,b)?A2,f(a+b) =f(a) +?f(b) etf(a×b) =f(a)×?f(b). Remarque 2.2 SiAetBsont unitaires, on impose aussif(1A) = 1Bpour quefsoit un morphisme d"anneaux unitaires. Sifest bijective, on parle d"isomorphisme d"anneaux. SiA=B, on parle d"endomorphisme d"anneaux. Sifest un endomorphisme et un iso- morphisme, on parle d"automorphisme.

Exemples :

•det n"est pas un morphisme d"anneaux.

•L"application :

a?→fa:???(A,+)→(A,+) x?→ax est un morphisme d"anneaux.

Définition 2.9

SoientAetBdeux anneaux etf:A→Bun morphisme

d"anneaux.

•On appelle image defl"image directe deAparf:

Im(f) ={y?B,?x?A,y=f(x)}

•On appelle noyau defl"image réciproque de{0B}parf:

Ker(f) ={x?A,f(x) = 0}

Proposition 2.3

•fest surjective ssi Im(f) =B.

•fest injective ssi Ker(f) ={0A}.

Proposition 2.4SoientA,BetCtrois anneaux (resp. anneaux unitaires), f:A→Betg:B→Cdes morphismes d"anneaux (resp. d"anneaux unitaires). •g◦fest un morphisme d"anneaux (resp. d"anneaux unitaires) •Sifest un isomorphisme d"anneaux (resp. d"anneaux unitaires),f-1 est un isomorphisme d"anneaux (resp. d"anneaux unitaires) •Im(f) est un sous-anneau (resp. sous-anneau unitaire) deB.

Démonstration.

•Soit (x,y)?A2.

g(f(x+y)) =g(f(x) +?f(y)) =g(f(x)) +??g(f(y)) etg(f(x·y)) = g(f(x)·?f(y)) =g(f(x))·??g(f(y)). g(f(1A)) =g(1B) = 1C.

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CHAPITRE 2. GÉNÉRALITÉS SUR LES ANNEAUX

•f(f-1(x+?y)) =x+?y=f(f-1(x)) +f(f-1(y)) etf(f-1(x·?y)) = x+?y=f(f-1(x))·f(f-1(y)). L"injectivité defconclut.

De plusf-1(1B) =f-1(f(1A)) = 1A.

•1B=f(1A) donc 1B?Im(f). Six?,y?appartiennent à Im(f),x?= f(x) ety=f(y) doncx?-?y?=f(x)-?f(y) =f(x-y) etx?·?y?= f(x)·?f(y) =f(x·y)

Donc Im(f) est un sous-anneau deB.

Théorème 2.1(Factorisation des morphismes d"anneaux)Soient A,BetCtrois anneaux (resp. anneaux unitaires) etf:A→Betg: A→Cdeux morphismes d"anneaux (resp. d"anneaux unitaires).

Ker(f)?Ker(g) ssi?x,y?A2,f(x) =f(y)?g(x) =g(y)

ssi?!morphisme d"anneaux (resp. d"anneaux unitaires) h:Im(f)→Im(g)surjectif,g=h◦f

Démonstration.

1?2 Soientx,y?A2tel quef(x) =f(y).

f(x-y) = 0 doncx-y?Ker(f)?Ker(g) doncg(x) =g(y).

2?1 Soitx?Ker(f).

f(x) = 0 =f(0) doncg(x) =g(0) = 0 doncx?Ker(g).

3?2 Soit (x,y)?A2tel quef(x) =f(y).

On ag(x) =h(f(x)) =h(f(y)) =g(y).

2?3 Soity?Im(f). Il existex?Atel quey=f(x). On pose alors

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