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Devoirs, Examens

Intégration, Analyse de Fourier

FrançoisDEMARÇAY

Département de Mathématiques d"Orsay

Université Paris-Sud, France

"Dieu ne se soucie pas de nos difficultés mathématiques.»

MikhailGROMOV, Professeur permanent à l"IHES.

2

Méthodologie de travail

Polycopié de cours.Des chapitres constituant un polycopié en cours d"élaboration seront

distribués régulièrement. Chaque étudiant est invité à signaler les fautes typographiques et

autres défauts, puisque cela aidera à améliorer le polycopié pour l"année prochaine. De

nombreux exercices d"assimilation seront inclus. Lecture régulière du polycopié.Afin de réussir sa formation au métier merveilleux de mathématicien - métier qui exige une grande capacité de lire, en solitaire, des textes ma-

thématiques écrits -, chaque étudiant doit impérativement lire et étudier attentivement le

polycopié. Le travail de lecture peut s"effectuer occasionnellement, même sur des courtes

périodes d"une dizaine de minutes, à la maison, à la bibliothèque ou dans les transports en

commun.C"est en lisant qu"on devient vraiment intelligent, car on absorbe les intelligences

variées d"autres personnes sans rester confiné en soi-même, voire infiniment pire : confiné

à l"abrutissement total du tripotage crétinisant de téléphone portable! Tous les mathéma-

ticiens professionnels sont de grands lecteurs et savent mettre à distance la technologie ludique envahissante. Assiduité au cours.Il est vrai que lire des mathématiques peut s"avérer ardu voire dé- courageant, d"autant plus que d"assez nombreux textes écrits sous-entendent beaucoup de choses et ne parviennent pas véritablement à transmettre les intuitions fondamentales. Or c"est principalement le cours oral au tableau qui permet de transmettre les idées infor- melles et les intuitions importantes. Aussi lecture du polycopié et présence au cours sont- ellesdeux activités complémentaires et indispensables pour une préparation optimale au

métier de mathématicien. De plus,on lit beaucoup plus facilement le polycopié après avoir

écouté le professeur.

Prise de notes pendant les séances de cours.L"existence d"un polycopiéne dispense absolument pas de prendre des notes manuscrites complètes et soignées, car ces notes, relatives au cours intuitif, viendront compléter la lecture du polycopié écrit.Au tableau

apparaîtront de nombreuses figures qui seront absentes du polycopié.Il faut donc être très

respectueux des figures, qui sont de la pensée intuitive très élaborée. Devoirs à la maison.Trois devoirs à la maison seront proposés au cours du semestre avec des exercices de niveau fort accessible.On tiendra compte "inconsciemment» des performances de chacun aux devoirs à la maison pour relever ou rabaisser les notations. Évidemment, avoir réfléchiindépendammentsur ces devoirs aidera grandement à obtenir une note finale agréable, car un certain pourcentage des questions d"examen (partiel) seront des variations sur des questions traitées à la maison. 3

1. Partiel du Jeudi 10 Mars 2011 ................................... 4

2. Corrige détaillé du partiel du Jeudi 10 Mars 2011 ................ 7

3. Examen du Jeudi 19 Mai 2011................................... 15

4. Corrigé détaillé de l"examen du Jeudi 19 Mai 2011 ............... 18

5. Partiel du Lundi 12 Mars 2012 .................................. 25

6. Corrigé détaillé du partiel du Lundi 12 mars 2012................ 29

7. Examen du Jeudi 10 Mai 2012................................... 39

8. Devoir-maison à rendre pour le Mercredi 11 Avril 2012........... 42

9. Devoir-maison à rendre pour le Mercredi 2 Mai 2012............. 46

10. Partiel du 13 mars 2013 et son corrigé détaillé.................... 48

11. Examen du Mercredi 15 mai 2013 ............................... 59

12. Devoir-maison à rendre pour le Mardi 12 mars 2013.............. 62

13. Devoir-maison à rendre pour le Mercredi 15 mai 2013 ............ 67

14. Partiel du Mercredi 12 mars 2014................................ 73

15. Corrigé détaillé de l"Examen partiel du Mercredi 12 mars 2014 ... 77

16. Examen du Jeudi 15 mai 2014 ................................... 84

17. Partiel du Mercredi 12 novembre 2014........................... 88

18. Corrigé du partiel du Mercredi 12 novembre 2014................ 91

19. Examen du Jeudi 8 janvier 2015 ................................. 101

20. Rattrapage du Vendredi 19 juin 2015 ............................ 104

21. Partiel du Mardi 10 novembre 2015.............................. 107

22. Corrigé du partiel du Mardi 10 novembre 2015 .................. 110

23. Examen du Mardi 12 janvier 2016 ............................... 113

24. Rattrapage du Jeudi 14 juin 2016................................ 118

25. Partiel du jeudi 10 novembre 2016............................... 122

26. Corrigé détaillé du partiel du jeudi 10 novembre 2016 ............ 126

4 FrançoisDEMARÇAY, Département de Mathématiques d"Orsay, Université Paris-Sud1. Partiel du Jeudi 10 Mars 2011

Exercice 1.SoientHetKdeux espaces de Hilbert, soitFun sous-espace vectoriel arbi- traire deH, et soitLune application linéaire continue quelconque deFdansK. L"objectif est de démontrer qu"il existe (au moins) un prolongement linéaire continu eL:H!K de l"applicationLàHtout entier,i.e.satisfaisanteLF=LetjjjeLjjj<1, dont la norme d"opérateur reste inchangée :jjjeLjjj=jjjLjjj. (a)Rappeler la définition de la norme d"opérateurjjjLjjj. (b)Montrer tout d"abord queLadmet un unique prolongement linéaire continuL02

LinF;K

(c)Établir que l"applicationh7!F (h), deHà valeurs dansF, "projection orthogo- nale surF», est linéaire continue. Que vautjjjF jjj? (d)Considérer l"opérateureL:=L0F et conclure. Exercice 2.SoitC1;C2;:::;Ck;:::une suite de sous-ensembles convexes fermés non vides dans un espace de HilbertHqui satisfont : C k+1Ck(k>1): (a)Montrer par un exemple géométrique simple que l"intersection : C

1:=+1\

k=1C k peut se réduire à l"ensemble vide. (b)On suppose dorénavant queC16=;. Vérifier alors queC1est un sous-ensemble convexe fermé deH. (c)Fixons à présent un élémenth2Harbitraire. Pour tout entierk>1, on note : h k:=Ck(h) le projeté dehsurCk, et aussi : C1(h) le projeté dehsurC1. Vérifier alors que : jjhhkjj26jjhhk+1jj26jjhC1(h)jj2: (d)Qu"en déduire sur la suitejjhhkjj2 k>1? (e)En utilisant l"identité du parallélogramme (que l"on rappellera ou que l"on recons- tituera), établir que la suite(hk)k>1est alors nécessairement de Cauchy dansHpour la distance associée à la norme hilbertienne.

1.Partiel du Jeudi 10 Mars 2011 5(f)Si on note :

h

1:=limk!+1hk;

montrer que l"on a, pour toutg2C1:

Rehhh1; gh1i60:

(g)En déduire : h

1=C1(h);

et énoncer le résultat obtenu sous la forme d"un théorème clair. Exercice 3.Sif2C0(T), alors pour toutn2N, lan-ème somme de Fejér est continue sur le cercleTet satisfait : jjn(f)jjC06jjfjjC0: Exercice 4.Calculer les coefficients de Fourier de la fonctionf:R!Rdéfinie pour tout

2[;]par :

f() := 12 2; et prolongée comme fonction2-périodique (continue) surRtout entier. Exercice 5.On considère la série de fonctions : X n>1sin

3(n)n!:

(a)Montrer que cette série converge uniformément surR. On noteS()sa somme. (b)Montrer queSest de classeC1et2-périodique. (c)En développantsin3(n), exprimerS()en fonction de (justifier aussi l"existence) : () :=X n>1sin(n)n!: (e)En considérant aussi : () :=+1X n=1cosnn!; calculer explicitement() +i(). (f)En déduire que pour tout2R, on a la formule explicite :

S() =34

sinsin)ecos14 sinsin3)ecos3: Exercice 6.Soitf2C0(T)ayant une série de Fourier de la formeP n>1bnsin(n)avec b n2R. (a)Montrer que ses sommes de Fejérn(f)()sont impaires et en déduire quefelle- même est impaire.

6 FrançoisDEMARÇAY, Département de Mathématiques d"Orsay, Université Paris-Sud(b)On considère la fonctionF:R!Rdéfinie par :

F() :=Z

0 f(t)dt: Montrer queFest2-périodique, de classeC1, et que ses coefficients de Fourier sont donnés par :2 6 64b

F(0) =Z

2 0 tf(t)dt2; b

F(k) =12jkjbjkj;8k2Z:

Exercice 7.Soitf2C0(T). Montrer que la série :

X k2Zb f(k)k est absolument convergente.

2.Corrigé détaillé du partiel du Jeudi 10 Mars 2011 72. Corrigé détaillé du partiel du Jeudi 10 Mars 2011

Exercice 1.On supposeraF6=f0g, car siFse réduit àf0g, l"application linéaire continue H!Kidentiquement nulle convient comme prolongement de l"application nullef0g !

Kpréservant la norme d"opérateur.

(a)[0,5 pt] La norme de l"opérateur linéaire :

L:F;jj jjH!K;jj jjK

est classiquement définie par : jjjLjjj:=supf2F f6=0jjL(f)jjKjjfjjH=supf2F jjfjj=1jjL(f)jjK: (b)[1 pt] Tout élémentf2Fde l"adhérence du sous-espace vectorielFHs"obtient comme la limite dansHd"une certaine suite(fk)k>1d"élémentsfk2F, laquelle est alors nécessairement de Cauchy. Or la majoration uniforme : jjL(fk2)L(fk1)jjK6jjjLjjjjjfk2fk1jjH montre que la suiteL(fk) k>1est alors aussi de Cauchy dans l"espace de HilbertK, lequel est complet par définition. Donc il existe un uniqueg2Ktel quelimk!+1L(fk) =g.

Maintenant, cette application

1Lqui à un telf2Fassocie cegestlinéaire, puisque,

sif0k!f

02F, sig

0:=L(f

0), sif00k!f

002F, sig

00:=L(f

00), et si0; 00sont deux

constantes arbitraires, la suite0f0k+00f00kconverge vers0f 0+00f

00, et on déduit de la

linéarité deLque : lim k!+1L0f0k+00f00k=0limk!+1L(f0k) +00limk!+1L(f00k) =0g 0+00g 00; donc l"unique élément queLassocie à0f 0+00f

00est bien égal à0L(f

0) +00L(f

00). Ensuite, en passant à la limite dans les inégalités : jjL(fk)jjK6jjjLjjjjjfkjjH(k>1;fk2F); on obtient : jjL f jjK6jjjLjjjjjfjjH; et doncjjjLjjj6jjjLjjj, ce qui montre queLest un opérateur linéaire continu. En fait, commeL

F=L, on a même, plus précisément :

jjjLjjj=jjjLjjj: Enfin, si deux applications linéaires continuesL

1:F!KetL

2:F!Kprolongent

toutes deuxL:F!K, à savoirL

1F=LetL

2F=L, alors, puisque tout élément1. Noter le léger changement de notation par rapport à l"énoncé, où le prolongementLétait notéL0.

8 FrançoisDEMARÇAY, Département de Mathématiques d"Orsay, Université Paris-Sudélémentf2Fde l"adhérence deFpeut s"écrire comme la limitef=limk!+1fkd"une

suite d"élémentsfk2F, et puisqueL 1etL

2sont continues, on voit que :L

1f =L

1limk!+1fk=limk!+1L

1(fk) =limk!+1L(fk) =limk!+1L

2(fk) =L

2limk!+1fk=L

2f d"oùL 1=L 2. Ainsi l"applicationLdéfinit l"unique prolongement linéaire continuL2LinF;K de

L, c"est-à-dire satisfaisantL

F=L. (c)[1 pt] D"après un résultat du cours (Corollaire 5.3), puisqueFest fermé, l"espace de HilbertHse décompose comme somme directe orthogonale : H=F ?F deFavec son orthogonal :F ?:=g2H:hg;fi= 0;8f2F lequel est lui aussi fermé. Ainsi, tout élémenth2Hse décompose comme : h=F (h) +F ?(h); où les deux projectionsF ()etF ?()sont linéaires, et l"orthogonalité assure que le théo- rème de Pythagore est satisfait : jjhjj2=F (h)2+F ?(h)2:

Mais alors, si on néglige le second terme à droite qui est positif, cette égalité peut être vue

comme une inégalité : jjhjj2>F (h)2; laquelle exprime que la norme de l"opérateur de projection orthogonaleF ()est toujours

61. Enfin, puisque cet opérateur se réduit à l"identité en restriction àF6=f0g, on a en

fait : jjjF jjj= 1: (d)[0,5 pt] L"opérateureL:=LF est linéaire continu, puisqueLetF le sont tous deux. De plus, grâce à la majoration connue de la norme d"opérateur d"une composition d"opérateurs continus : jjj eLjjj6jjjLjjj jjjF jjj|{z} =1 =jjjLjjj =jjjLjjj; on voit que eLest continu lui aussi, de norme d"opérateur majorée par celle deL. Mais comme sa restriction eLF=LàF6=f0gest clairement égale àLpar définition, il sequotesdbs_dbs48.pdfusesText_48

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