LATEX pour le prof de maths !
11?/01?/2021 17.5.1.1 Énumération du type A B
PUISSANCES Cours 1) Puissance dexposant positif Définition
Définition : Soient n un entier supérieur ou égal à 1 et a un nombre relatif. On ne peut pas l'écrire sous forme d'une seule puissance. 36 + 32 = C'est ...
Trinômes du second degré
Tout trinôme du second degré ax2 + bx + c peut s'écrire sous la forme a(x - )² + ?b???. 2 a . • Si = 0 l'équation a une seule solution x0= ?b.
NOMBRES COMPLEXES
C'est l'ensemble des nombres de la forme a + ib avec a ? IR et b ? IR. Calculer et écrire sous la forme algébrique z + z' ; z - z' ; 2z - 3z' ; zz' ; ...
Nombres complexes 1 Forme cartésienne forme polaire
Exercice 2 Écrire sous la forme a + ib les nombres complexes suivants : Soit A B
Nombres complexes
Écrire sous la forme a+ib les nombres complexes suivants : 1. Nombre de module 2 et d'argument ?/3 Donner sous forme polaire
ENSEMBLES DE NOMBRES
Un nombre rationnel peut s'écrire sous la forme d'un quotient a b C'est l'ensemble de tous les nombres que nous utiliserons en classe de seconde.
Calcul Algébrique
d'écrire les sommes sous forme développée quitte à introduire des points de 1. si b2 ? 4ac > 0 l'équation admet deux racines réelles r1 = ?b +. ?.
Cours darithmétique
b (voir la partie sur le théor`eme fondamental de l'arithmétique dans le k alors les diviseurs positifs de n sont les entiers de la forme p?1.
FRACTIONS PUISSANCES
https://www.maths-et-tiques.fr/telech/19RacPuissM.pdf
[PDF] FRACTIONS PUISSANCES RACINES CARRÉES - maths et tiques
1 sur 9 Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www maths-et-tiques FRACTIONS PUISSANCES a) Écrire sous la forme 10 ou 10 : = 10 × 10‹ =
[PDF] Racine carrée - Exercices corrigés - Collège Le Castillon
Remplaçons dans l'expression A ces racines carrées par leurs écritures simplifiées forme la sous résultat le écrire et 5 x pour C a)Calculer
[PDF] Soient n un entier supérieur ou égal à 1 et a un nombre rel
Règle de calcul : Soient n et p deux entiers supérieurs ou égaux à 1 et a un nombre relatif On ne peut pas l'écrire sous forme d'une seule puissance
[PDF] Nombres complexes - Exo7 - Exercices de mathématiques
Écrire sous la forme a+ib les nombres complexes suivants : 1 Nombre de module 2 et d'argument ?/3 2 Nombre de module 3 et d'argument -?/8 Indication ?
[PDF] Développer un produit cest lécrire sous la forme dune somme (ou
Développer un produit c'est l'écrire sous la forme d'une somme (ou d'une différence) a Développement simple : k(a + b) = ka + kb k(a – b) = ka – kb
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EXERCICE 2A 2 a Écrire sous la forme a 2 avec a entier : 18 = 3²×2 = 3 2 50 = 98 = 162 = b Écrire sous la forme a 3 avec a entier :
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Ecrire les nombre suivants sous la forme a?3 avec a ? N A = ?75 ; B = ?147 ; C = ?432 ; D = ?27 ? ?12 + ?243
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Montrer que les nombres A B C et D s'écrivent sous la forme a?3 DÉMARRONS ENSEMBLE Commence par écrire chaque nombre sous la forme 3 xn Par exemple : 75 =
[PDF] racines carrées
On appelle racine carrée de a le nombre positif dont le carré est égal à a Cette définition se traduit en d) Ecrire les nombres suivants sous la forme
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Cours et exercices corrigés sur les racines carrées 3ème pdf a)Calculer C pour x 5 et écrire le résultat sous la forme a b 5 où a et b sont des entiers
![Trinômes du second degré Trinômes du second degré](https://pdfprof.com/Listes/18/8346-18trinome-cours.pdf.pdf.jpg)
Trinômes du second degré
A. Fonctions trinômes du second degré
On appelle fonction trinôme une fonction qui à tout réel x associe ax2 + bx + c, avec a, b et c réels et
a non nul. ax2 + bx + c est la forme développée du trinôme.1. Forme canonique
Tout trinôme du second degré ax2 + bx + c peut s'écrire sous la forme a(x - )² +
avec α=-b2a et β=c-b2
4a.Démonstration
Vérifions :
a(x-α)2+β=a(x+b 2a)2 +c-b24a=a(x2+b
ax+b24a2)+c-b2
4a=ax2+bx+b2
4a+c-b2
4a =ax2+bc+c2. Variations
Le tableau de variations d'une fonction trinôme dépend du signe de a.Si a > 0Si a < 0
Démonstration
Soit f la fonction trinôme dont la forme canonique est f (x) = a(x - )² + .On se place dans le cas a > 0.
KB 1 sur 5x
a(x - )² + x a(x - )² + Considérons 2 réels u et v de l'intervalle ]-∞ ; ] tels que u < v. On a alors u - < v - , ajouter - ne change pas l'ordre des nombres.Comme u et v sont dans l'intervalle ]-∞ ; ] , u - et v - sont négatifs, or la fonction carré est
décroissante dans ℝ-, on a donc (u - )² > (v - )². Multiplier par a > 0 et ajouter ne change pas l'ordre des nombres, donca(u - )² + > a(v - )² + et f (u) > f (v). f a changé l'ordre de u et v, donc f est décroissante
sur ]-∞ ; ]. On démontre de même que f est croissante sur [ ; +∞[.Remarques
1) Dans tous les cas on a un extremum égal à pour x = .
Si a > 0, il s'agit d'un minimum et si a < 0, il s'agit d'un maximum.2) La courbe représentative d'une fonction trinôme est toujours une parabole.
Si a > 0 elle est tournée vers le haut et si a < 0, elle est tournée vers le bas.3. Forme factorisée
Un trinôme du second degré ax2 + bx + c, est factorisé lorsqu'on l'écrit sous la forme a(x - x1)(x - x2).Si un trinôme ax2 + bx + c peut être factorisé, alors l'équation ax2 + bx + c = 0 a au moins une
solution car on a a(x - x1)(x - x2) = 0 pour x = x1 ou x = x2. (x1 et x2 sont alors appelées les racines du
trinôme)Cela signifie que si l'équation ax2 + bx + c = 0 n'a pas de solutions, alors le trinôme ax2 + bx + c ne
peut pas être factorisé.B. Équations du second degré
On considère l'équation ax² + bx + c = 0 avec a ≠ 0. La forme canonique du trinôme ax² + bx + c est a(x - )² + .L'équation proposée est donc équivalente à a(x - )² + = 0, soit a(x - )² = - et finalement
(x-α)2=-β a.On sait que α=-b
2a et β=c-b2
4a, donc -β
a=-c a+b24a2=b2-4ac
4a2. En posant = b² - 4ac, on
obtient l'équation : (x+b 2a)24a2. Le nombre est appelé discriminant du trinôme. On peut
alors distinguer plusieurs cas : -si < 0, alors l'équation n'a pas de solution car un carré est toujours positif. -si = 0, alors l'équation devient (x+b 2a)2 =0 et elle a une solution unique x=-b 2a. -si > 0, on a 2 possibilités : soit x+b 4a2=2asoit x+b
2a=- 4a2=-2aKB 2 sur 5
Théorème 1
On considère l'équation ax² + bx + c = 0 avec a ≠ 0. On appelle discriminant de cette équation le réel = b² - 4ac. 2a. •Si = 0, l'équation a une seule solution x0=-b 2a. •Si < 0, l'équation n'a pas de solution réelle. Les solutions de l'équation ax² + bx + c = 0 sont appelées racines du trinôme.Théorème 2 (factorisation)
On considère le trinôme ax² + bx + c (avec a ≠ 0) et son discriminant = b² - 4ac.
•Si > 0, le trinôme a deux racines distinctes x1 et x2 et admet la factorisation ax² + bx + c = a(x - x1)(x - x2).•Si = 0, le trinôme a une seule racine x0 et admet la factorisation ax² + bx + c = a(x - x0)².
On dit alors que x0 est une racine double.
•Si < 0, le trinôme n'a pas de racine et ne peut pas être factorisé.Exemples
1) Résoudre x² - 5x + 6 = 0.
On a = (-5)² - 4 × 1 × 6 = 25 - 24 = 1. Il ya donc deux solutions qui sont : x1 =5 - 1 2 =42 =2 et x2 =5 1
2 =6 2 =3. On a la factorisation x² - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3).2) Résoudre 4x² - 4x + 1= 0.
On a = (- 4)² - 4 × 4 × 1 = 16 - 16 = 0. Il a donc une seule solution x1 =4 8 =1 2.On a la factorisation 4x² - 4x + 1= 4
x-12 2
3) Résoudre x² + x + 1 = 0.
On a = 1² - 4 × 1 × 1 = 1 - 4 = - 3. Il n'y a donc pas de solution réelle. Le trinôme x² + x + 1
ne peut pas être factorisé.C. Signe du trinôme
On considère la fonction trinôme définie par f (x) = ax² + bx + c et son discriminant .
Le signe du trinôme va dépendre de l'existence d'éventuelles racines. •Si > 0, l'équation f (x) = 0 a deux solutions x1 et x2 et f (x) = a(x - x1)(x - x2).KB 3 sur 5
On a alors le tableau de signe suivant :
ax² + bx + c est du signe de a à l'extérieur des racines et du signe de - a entre les racines.
•Si = 0, l'équation f (x) = 0 a une seule solution x1. On a alors la factorisation f (x) = a(x - x1)². ax² + bx + c est du signe de a.•Si < 0, l'équation f (x) = 0 n'a pas de solutions, le trinôme ne peut pas être factorisé en un
produit de facteurs du premier degré. ax² + bx + c est du signe de a.En résumé :
ax² + bx + c est toujours du signe de a sauf entre les racines lorsqu'elles existent.Exemples
1) Étudier le signe de x² - 5x + 6.
L'équation x² - 5x + 6 = 0 a deux solutions x1 = 2 et x2 = 3. On en déduit le tableau de signes
suivant : x² - 5x + 6 est positif sauf si x est entre 2 et 3.2) Étudier le signe de 4x² - 4x + 1.
L'équation 4x² - 4x + 1 = 0 a une solution unique x1 =12. On en déduit que 4x² - 4x + 1 est
toujours positif.3) Étudier le signe de x² + x + 1
L'équation x² + x + 1 = 0 n'a pas de solutions, x² + x + 1 est donc toujours positif.Représentation graphique
La représentation graphique d'une fonction trinôme est une parabole.Le signe de a indique le sens de la parabole.
Le signe de indique le nombre de racines, donc le nombre de points d'intersection avec l'axe des abscisses.KB 4 sur 5x
x - x1 x - x2 a(x-x1)(x-x2)x1x2 0 0 00++ signe de asigne de asigne de -a x x²-5x+623 00++- a > 0a < 0 > 0 = 0 < 0KB 5 sur 5
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