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Biblioth`eque d"exercices

´Enonc´es

Topologie Feuille n

◦5Espaces complets

Th´eor`eme de Baire

Exercice 1

`A l"aide du th´eor`eme de Baire, montrer qu"un ferm´e d´enombrable non videXde Ra au moins un point isol´e.Indication :on pourra consid´ererωx=X\ {x}.

Que peut-on dire de l"ensemble de Cantor?

Exercice 2Soitfune application d´efinie sur un espace m´etrique complet (X,d), `a valeurs r´eelles et semi-continue inf´erieurement. Montrer qu"il existe un ouvert non videOsur lequelf est major´ee. Application : soit (fn) une suite de formes lin´eaires continues sur un BanachB, v´erifiant ?x?B,sup n|fn(x)|<∞.

En utilisant ce qui pr´ec`ede, montrer que sup

n?fn?<∞. Exercice 3On sait quel1est inclus dansl2(au fait pourquoi?) mais n"est pas ferm´e dansl2

(re-pourquoi?); on va montrer qu"il est de premi`ere cat´egorie dansl2c.a.d. r´eunion d´enombrable

de ferm´es d"int´erieur vide (dansl2).

1. On consid`ere pour chaquep?1,

F p={(an)?l2/?|an|?p} Montrer queFpest ferm´e dansl2et d"int´erieur vide.

2. En d´eduire le r´esultat.

Espaces m´etriques complets, espaces de Banach

Exercice 4L"espace (R,d) est-il complet sidest l"une des m´etriques suivantes?

1.d(x,y) =|x3-y3|.

2.d(x,y) =|exp(x)-exp(y)|.

3.d(x,y) = log(1 +|x-y|).

Exercice 5On consid`ere pourx,y?R,d(x,y) =?f(x)-f(y)?, o`ufest une application injective deRdansR2. Montrer que cette distance est compl`ete si et seulement sifest d"image ferm´ee dansR2. Exercice 6On consid`ere l"espace des fonctions continuesX=C([a,b]).

1. Soitω?Xune fonction qui ne s"annule pas sur [a,b]. Posons

d

ω(f,g) = sup

t?[a,b]|ω(t)(f(t)-g(t))|.

L"espace (X,dω) est-il complet?

1

2. Montrer que l"espace (X,?.?1) n"est pas complet (o`u?f?1=?1

0|f(t)|dt).

Exercice 7SoitX=C1([a,b]).

1. Est-ce un espace complet si on le muni de la norme uniforme?.?∞?

2. Consid´erons maintenant, pourf?X, la norme

N(f) = sup

t?[a,b]?f(t)?+ sup t?[a,b]?f?(t)?.

L"espace (X,N) est-il complet?

Exercice 8SoitXl"espace des suites r´eelles nulles `a partir d"un certain rang, et soit

ρ(x,y) =∞?

k=12 -k|xk-yk|1 +|xk-yk|pourx,y?X .

1. Montrer queXn"est pas complet pour la m´etriqueρ.

2. Trouver un espace de suitesYtel que (Y,ρ) soit complet et tel queXsoit dense dansY.

3. Que donne l"exercice si on remplaceρpar la norme uniforme?

Exercice 9SoitEun espace vectoriel norm´e. On dit qu"une s´erie?ukest normalement convergente si la s´erie??uk?est convergente. On veut d´emontrer queEest complet si et seulement si toute s´erie normalement convergente est convergente.

1. Soit (xn) une suite de Cauchy deE; montrer qu"on peut en extraire une sous-suite (xnk)

telle que la s´erie de terme g´en´eraluk=xnk+1-xnksoit normalement convergente. En d´eduire que si toute s´erie normalement convergente est convergente, alorsEest complet.

2. Soit?ukune s´erie normalement convergente. On noteSn=?n

k=0uk. Montrer queSn est une suite de Cauchy. En d´eduire que siEest complet, alors toute s´erie normalement convergente est convergente. Exercice 10SoientE,Fdes espaces norm´es etAn,A? L(E,F). Montrer l"´equivalence entre :

1.An→AdansL(E,F).

2. Pour toute partie born´eeM?E, la suiteAnxconverge uniform´ement versAx,x?M.

Exercice 11 (Cours)SoitEun espace norm´e etFun espace de Banach. AlorsL(E,F) est aussi un espace de Banach.

Exercice 12Soitδla m´etrique surRd´efinie parδ(x,y) =|x1+|x|-y1+|y||. Montrer, `a l"aide du

th´eor`eme de prolongement de fonction uniform´ement continue, que l"identit´ei: (R,δ)→(R,|.|)

n"est pas uniform´ement continue.

Th´eor`eme du point fixe

Exercice 13Soitαn>0 tel que la s´erie?∞ n=1αnconverge. Soit (X,d) un espace m´etrique complet etf:X→Xune application pour laquelle d(fn(x),fn(y))?αnd(x,y) pour toutx,y?Xetn?N. Montrer que, sous ces conditions,fposs`ede un unique point fixep?X, que pour tout point initialx0?X, la suite des it´er´ees (xn=fn(x0))n?0converge verspet que la vitesse de convergence d"une telle suite est contrˆol´ee par d(p,xn)??

ν=nα

d(x1,x0). 2 Exercice 14Soit (X,d) un espace m´etrique complet et soitf:X→Xune application telle que l"une de ces it´er´eesfnest strictement contractante, i.e. il existeρ <1 tel que d(fn(x),fn(y))?ρd(x,y) pour toutx,y?X . Montrer quefposs`ede un unique point fixe. Faire le rapprochement avec l"exercice 13. Exercice 15SoitX= (C1([0,1]),N) avecN(f) =?f?∞+?f??∞. Montrer qu"il existe une fonctionf?Xqui est point fixe de l"op´erateurTdonn´e par

Tf(x) = 1 +?

x 0 f(t-t2)dt . On pourra commencer par ´etablir queT◦Test une contraction. Utiliser ceci pour ´etablir l"existence d"une fonction uniquef?Xqui v´erifief(0) = 1 etf?(x) =f(x-x2). Exercice 16Soienty? C([a,b]) etk? C([a,b]×[a,b]) des fonctions continues. On se propose de r´esoudre l"´equation (int´egrale de Fredholm) suivante : x(s)-? b a k(s,t)x(t)dt=y(s) pours?[a,b] (1) d"inconnuex? C([a,b]). Pour ce faire on suppose que le "noyau"ksatisfait l"hypoth`ese sui- vante :

λ:= maxa?s?b?

b a |k(s,t)|dt <1? ou mˆeme max a?s,t?b|k(s,t)|<1b-a?

1. Rappeler que (C([a,b]),?.?∞) est un espace complet.

2. Soitx? C([a,b])?→Ax? C([a,b]) l"application donn´ee par

(Ax)(s) :=? b a k(s,t)x(t)dt+y(s). Noter que (1) ´equivaut `aAx=xet qu"on cherche donc un point fixe dex?→Ax. D´eduire des hypoth`eses faites surkqu"un tel point fixex? C([a,b]) existe et que toute suiteAnx0, x

0? C([a,b]), converge uniform´ement vers ce point fixex.

3.D´ependance continue de la solutionx=x(y).

Soienty1,y2? C([a,b]) deux fonctions etx1,x2? C([a,b]) les deux solutions associ´ees de

(1) ou, de fa¸con ´equivalente, les points fixes des applications associ´eesx?→Aix. Montrer

que

En d´eduire que

?x1-x2?∞?11-λ?y1-y2?∞ et donc que la solutionxde (1) d´epend continuement de la fonctiony. 3

Biblioth`eque d"exercicesIndications

Topologie Feuille n

◦5Espaces complets Indication 1Raisonner par l"absurde et montrer queωxest un ouvert dense. Indication 21. Une applicationf:X→Restsemi-continue inf´erieurementsi ?λ?R{x?X|f(x)> λ}est un ouvert. De fa¸con ´equivalentefestsemi-continue inf´erieurementsi pour toutx?X ?ε >0?δ >0?y?X(d(x,y)< δ?f(x)-f(y)< ε). Attention il n"y a pas de valeur absolue autour def(x)-f(y).

2. Pour la premi`ere question consid´ererOn={x?X|f(x)> n}et utiliser le th´eor`eme de

Baire.

3. Pour l"application utiliser la premi`ere question avec la fonction

φ:B→R,d´efinie parφ(x) = sup

n?N|fn(x)|. Indication 41. C"est une suite de Cauchy. Essayer de se ramener `a une suite de Cauchy de (R,|.|).

2. Regarder la suite d´efinie parun=-n.

3. Comme la premi`ere question.

Indication 5fest injective uniquement afin quedsoit bien une distance. Raisonner par double implication. Utiliser la caract´erisation d"un ferm´e par les suites. Indication 61. (X,dω) est complet. La d´emonstration est presque la mˆeme que pour montrer que (C([a,b]),?.?∞) est complet.

2. Prendre par exemple, la fonctionfnd´efinie sur [0,1] parfn(t) = 1 pourt?[0,12

f n(t) = (1-n(t-12 )) pourt?[12 ,12 +1n ] etf(t) = 0 sit?12 +1n Indication 71. Int´egrer l"exemple de l"exercice 6.

2. Oui cet espace est complet, montrer-le!

Indication 81. Prendre la suite (xp) d´efinie parxp= (1,1,...,1,1,0,0,0,...).((xp)p?N est donc une suite de suite).

2. PrendreYl"espace de toutes les suites.

3. Consid´ererxp= (1,12

,...,1p ,0,0,...). Indication 91.´Ecrire ce que donne la d´efinition de "(xn) est une suite de Cauchy" pour

ε= 1, puisε=12

, ..., puisε=12 k. Faire la somme. Remarquer que siTN=?N k=0ukalors T

N=xnN+1-xn0.

1

2. ...

Indication 13C"est `a peu pr´es la mˆeme d´emonstration que pour le th´eor`eme du point fixe

d"une fonction contractante. Indication 14Montrer que l"unique point fixexdefn, est un point fixe def. Pour cela

´ecrire l"´egalit´efn(x) =xet compos´ee habilement cette ´egalit´e. Pour conclure utiliser l"unicit´e

du point fixe defn. Indication 15Faire soigneusement le calcul : (T◦Tf)(x) = 1 +x+?x 0? t-t2

0f(u-u2)dudt.

Se souvenir queXest complet et utiliser l"exercice 14. 2

Biblioth`eque d"exercicesCorrections

Topologie Feuille n

◦5Espaces complets Correction 11. Par l"absurde supposons queXn"a aucun point isol´e. Comme{x}est un ferm´e alorsωx=X\ {x}est un ouvert (deX). De plus comme le pointxn"est pas isol´e alorsωxest dense dansX. Maintenant on peut appliquer le th´eor`eme de Baire `aXqui est un ferm´e de l"espace com- pletR. Donc une intersection d´enombrable d"ouverts denses dansXest encore dense. Mais ici nous obtenons une contradiction car lesωxsont des ouverts denses,Xest d´enombrable mais? x?Xω x=∅.

Et l"ensemble vide n"est pas dense dansX!!

2. Pour l"ensemble de Cantor aucun point n"est isol´e, donc par la question pr´ec´edente l"en-

semble de Cantor n"est pas d´enombrable. Correction 21. Par l"absurde supposons que sur aucun ouvertfn"est major´ee.f:X→R est semi-continue inf´erieurement donc ?λ?ROλ:={x?X|f(x)> λ}est un ouvert. De plusOλest dense, en effet pourx?Xet pourVxun voisinage ouvert dex, alors par hypoth`esefn"est pas major´ee surVxdonc en particulier il existey?Vxtel quef(y)> λ doncy?Vx∩Oλ. Ceci prouve queOλest dense dansX(Vx´etant aussi petit que l"on veut). Maintenant pourn= 0,1,2,..., lesOnsont un ensemble d´enombrable d"ouverts denses. CommeXest complet il v´erifie le th´eor`eme de Baire donc l"intersection desOnest encore un ensemble dense. Mais il est facile de voir par la d´efinition desOnque n?NO n=∅.

Ce qui donne la contradiction cherch´ee.

2. On noteφ:B→Rla fonction d´efinie par

φ(x) = sup

n?N|fn(x)|. Il n"est pas difficile de montrer queφest semi-continue inf´erieurement : en effet soit F

λ:={x?X|φ(x)?λ}. Soitλfix´e et soit (xk) une suite d"´el´ements deFλ. Pournfix´e

et pour toutkon afn(xk)?k, donc par continuit´e defn, on afn(x)?k, ceci ´etant vrai pour toutnon ax?Fλ. DoncFλest un ferm´e doncOλ:={x?X|f(x)> λ}est un ouvert. Doncφest semi-continue inf´erieurement. Par la premi`ere question il existe un ouvert non videOet une constanteM >0 tel que

φsoit major´ee parMsurO. C"est-`a-dire

?n?N?x?O|fn(x)|?M. 1 Par translation on peut supposer que l"origineoest inclus dansO. Donc il existeε >0 tel que¯B(o,ε)?O. Donc ?n?N?x?¯B(o,ε)|fn(x)|?M ce qui est ´equivalent `a ?n?N?x?¯B(o,1)|fn(x)|?Mε Donc ?n?N?fn??Mε Correction 41. Soit (un) une suite de Cauchy pourd. Donc ?ε >0?N?N?p,q?N d(up,uq) =|u3p-u3q|?ε. Donc la suite (u3n) est une suite de Cauchy pour la distance usuelle|.|. Comme (R,|.|) est complet alors (u3n) converge pour la valeur absolue, notonsvla limite, nous avons|u3n-v| qui tend vers 0. Donc pouru=v13 nous avonsd(un,u) =|u3n-u3|=|u3n-v|qui tend vers 0, doncunconverge versupour la distanced. DoncRest complet pourd.

2. Montrons quedne d´efinit pas une distance compl`ete. Soit (un) la suite d´efinie parun=

-n,n?N. Alorsd(up,uq) =|e-p-e-q|. Donc pourε >0 fix´e, soitNtel quee-N<ε2 alors pourp,q?Non ad(up,uq) =|e-p-e-q|?e-p+e-q?2e-N?ε. Donc (un) est de Cauchy. Supposons que (un) converge, notonsu?Rsa limite. Alorsd(un,u) =|e-n-eu| tend vers 0 d"une part et verseud"autre part. Donceu= 0 ce qui est absurde pouru?R.

3. La fonction ln(1 +u) est continue et ne s"annule qu"enu= 0. Donc pour ln(1 +u)

suffisamment petit nous avonsusuffisamment petit et donc (par la relation ln(1 +u) = u+o(u)) nous avons12 u?ln(1 +u)?2u. Donc pour (un) une suite de Cauchy pourd, la premi`ere in´egalit´e prouve que (un) est une suite de Cauchy pour|.|. Donc elle converge pour|.|La deuxi`eme in´egalit´e montre que (un) converge pourd. Doncdd´efinit une distance compl`ete. Correction 5fest injective afin quedsoit bien une distance. On poseF=f(R)?R2.

1.?Supposons que la distancedsoit compl`ete. Soit (yn) une suite deFqui converge vers

y?R2. Il faut montrer quey?F. Il existexn?R, tel queyn=f(xn). Comme (yn) est une suite convergente, c"est une suite de Cauchy deR2, ord(xp,xq) =?f(xp)-f(xq)?= ?yp-yq?. Donc (xn) est une suite de Cauchy pourd. Commedest compl`ete alors (xn) convergex, commexn→x(pourd) alorsf(xn)→f(x) (pour?.?). (Remarquons que par d´efinition ded, l"applicationf: (R,d)-→(R2,?.?) est continue.) Donc (yn) converge versf(x) et par unicit´e de la limitef(x) =y. Doncy?f(R) =F. DoncFest ferm´e.

2.?On suppose queFest ferm´e. Soit (un) une suite de Cauchy pour (R,d). Notons

y n=f(xn). Commed(up,uq) =?f(up)-f(uq)?=?yp-yq?. Donc (yn) est une suite de Cauchy pour (R2,?.?). Comme cet espace est complet alors (yn) converge versy. Comme y n?FetFest ferm´e alorsy?F, donc il existex?Rtel quey=f(x). Il reste `a montrer que (xn) tend versx. En effetd(xn,x) =?f(xn)-f(x)?=?yn-y?tend vers 0.

Donc (xn) tend versxpourd. Doncdest compl`ete.

2 Correction 61. (a) Montrons que (X,dω) est complet. Soit (fn)nune suite de Cauchy pour cet distance. Alors pour chaquet?[a,b], (fn(t))nest une suite de Cauchy pour (R,|.|). CommeRest complet alors cette suite converge, notonsf(t) sa limite. Il faut montrer deux choses : premi`erement que (fn) converge versfpour la distance consid´er´ee, deuxi`emement quefest bien dans l"espaceX. (b) Comme (fn) est une suite de Cauchy. Pourε >0. Il existen?0 tel que pour tout p?0 :dω(fn,fn+p)< ε.Donc sup t?[a,b]|ω(t)(fn(t)-fn+p(t))|< ε. On fait tendrepvers +∞et on obtient : supt?[a,b]|ω(t)(fn(t)-f(t))|< ε.Donc (fn) converge versfpour la distancedω. (c)ωest une fonction non nulle sur le compact [a,b], donc il existeα >0 tel queω(t)> α pour toutt?[a,b]. On en d´eduit que ?fn-f?∞?1α dω(fn,f). Commedω(fn,f) tend vers 0 alorsfnconverge versfpour la norme infini. Doncf est continue.

Conclusion : (X,dω) est complet.

2. On d´efinitfnsur [0,1] parfn(t) = 1 pourt?[0,12

],fn(t) = (1-n(t-12 )) pourt?[12 ,12 +1n etf(t) = 0 sit?12 +1n . Alors (fn) est une suite de Cauchy pour la norme?.?1. Par contre (fn) ne converge pas dansX. DoncXn"est pas complet. En effet (fn) converge vers la fonctionfo`ufest d´efinie parf(t) = 1 sur [0,12 ] etf(t) = 0 sur ]12 ,1]. Mais cette fonction n"est pas dans l"espaceXcarfn"est pas continue. Correction 71. On reprend l"exemple de l"exercice 6. Et on d´efinitgnsur [0,1] pargn(x) =?x

0fn(t)dt. AlorsgnestC1, et converge (donc en particulier (gn) est de Cauchy). Elle

converge versgqui n"est pas une fonctionC1. Donc ce n"est pas un espace complet.

2. Soit (fn) une suite de Cauchy pour la normeN. Pour chaquet?[a,b], (fn(t))nest une

suite de Cauchy deRdonc converge. Notonsf(t) sa limite. De mˆeme (f?n(t))nest une suite de Cauchy deRdonc converge versg(t). Nous allons montrer quefest dansXet quefnconverge versfpourNet quef?=g. Soitε >0. Il existen?Ntel que Pour toutp?0,

N(fn-fn+p)< ε.

En faisant tendrepvers +∞,fn+pconverge (simplement) versf. Donc on aN(fn-f)< ε. Par la d´efinition deNon obtient que?fn-f?∞et que?f?n-f??∞tendent vers 0. Donc f nconverge uniform´ement versf. Comme lesfnsont continues alorsfest continue. De mˆemef?nconverge uniform´ement versgdoncgest continue. De plus cela implique que g=f?.(Rappel : si (fn) est une suite de fonctionsC1sur [a,b] qui converge simplement versf, et tel que (f?n) converge uniform´ement versg, alorsfestC1et sa d´eriv´ee estg.) Nous avons donc montrer queN(fn-f) tend vers 0 et quefest dansX. Donc (X,N) est complet.

Correction 81. Notonsxpla suite

x p= (1,1,...,1,1,0,0,0,...). 3 (des 0 `a partir de lap+ 1-i`eme place et de 1 avant. SiYest l"espace de toute les suite, notons x ∞= (1,1,1,1,...). La suitex∞n"est pas dansX. Par contrexp→x∞pour la distanceρ. En effet

ρ(xp,x) =+∞?

k=p+112 k12 =12 p+1→0. La suite (xp) est de Cauchy, mais ne converge pas dansX, doncXn"est pas complet.

2. (a) SoitYl"espace de toutes les suites. AlorsXest dense dans dansY(pour la to-

pologie d´efinie parρ), car toute suitey= (y1,y2,...) deYs"approche par une suite de suite (xp) obtenue en tronquant la suitey:x1= (y(1),0,0,...),x2= (y(1),y(2),0,0,...),... En effet

ρ(xp,y) =∞?

k=p+12 -k|xk-yk|1 +|xk-yk|?∞? k=p+12 -k=12 p qui tend vers 0 lorsqueptend vers +∞. (b) Soit (xn)nune suite de Cauchy deY. Montrons que pourkfix´e alors (xnk)nest une suite de Cauchy deR. Prenonsε >0, alors il existeNtel que pourp,q?Non ait

ρ(xp,xq)?ε.

12 k|xp k-xq k|1 +|xp k-xq k|?ρ(xp,xq)?ε. Posons la fonctionf(α) =α1+α,fest inversible pourα?0, d"inversef-1(β) =β1-β. Une ´etude defet de son inverse montre que sif(α)?ε??1 alorsα?2ε?. Comme kest fix´e, posonsε=ε?2 ketα=|xp k-xq k|on a montrer :f(α)?ε?. Doncα?2ε?.

R´ecapitulons :

?ε?>0?N?N?p,q?N|xp k-xq k|<2ε?, donc la suite (xnk)nest de Cauchy dansR, donc converge, nous notonsx∞ksa limite. (c) Nous avons construit une suitex∞= (x∞1,x∞2,...). Comme (xn) est de Cauchy alors ?ε >0?N?N?p,q?N ρ(xp,xq)< ε, Lorsque l"on fixepet que l"on fait tendreqvers +∞on a ?ε >0?N?N?p?N ρ(xp,x∞)< ε, donc (xn) converge versx∞pour la distanceρ. (d) Bien ´evidemmentx∞?Ydonc (xn) converge versx∞?Ypourρ. Donc (Y,ρ) est un espace complet.

3. (X,?.?∞) n"est pas un espace complet. Par exemple regardez la suitexp= (1,12

,...,1p ,0,0,...) alors (xp) est une suite de Cauchy, qui ne converge pas dansX, mais dansYsa limite est x ∞= (1,12 ,13 NotonsZl"espace des suites qui tendent vers 0. L"adh´erence deXpour la topologie d´efinie par?.?∞estZ. Et (Z,?.?∞) est complet. 4 Correction 91. Soit (xn) une suite de Cauchy. Pourε= 1 il existen0?Ntel que ?q?n0?xn0-xq?<1.

Puis pourε=12

il existen1> n0tel que ?q?n1?xn1-xq?<12

Puis par r´ecurrence pourε=12

k, on posenk> nk-1tel que ?q?nk?xnk-xq?<12 k.

Donc en particulier `a chaque ´etape on a

?xnk+1-xnk?<12 k.

Posonsuk=xnk+1-xnkAlors?uk??12

kdonc k?0?uk??? k?012 k= 2.

Donc la s´erie

k?0ukest normalement convergente. Si cette s´erie converge notonsT=?+∞ k=0uksa somme, C"est-`a-dire la limite deTN=?N

k=0uk. Mais alorsTN=xnN+1-xn0converge versT. Donc la suite extraite (unk)kconverge (versT+xn0). Cons´equence : si

toute s´erie normalement convergente est convergente, alors on peut extraire de toute suitequotesdbs_dbs25.pdfusesText_31

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