[PDF] ÉQUATIONS POLYNOMIALES Partie 2 : Équations de degré





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A remark on a Note by Laguerre

Sa méthode repose sur l'assertion suivante où f est un polynôme de degré n ? 1 : « Il est clair que l'équation f (x) = 0 a également toutes ses racines réelles 



Chapitre 3 - Racines dun polynôme

Pour n = 0 un polynôme constant non nul poss`ede évidemment zéro racine. Soit n fixé



Equation générale de degré n

Théorème Le groupe de Galois G du polynôme f est isomorphe au groupe symé- trique Sn. Démonstration Il suffit de prouver que G est le groupe S. ¦. A§ de toute 



Chapitre 12 : Polynômes

07-Feb-2014 du polynôme P l'entier n degré de P (souvent noté d?(P))



ÉQUATIONS POLYNOMIALES

Partie 2 : Équations de degré n dans ?. 1) Définition. Définition : Une fonction polynôme (ou polynôme) est une fonction de ? dans ? de la.



Cours de mathématiques - Exo7

On continue avec un théorème fondamental de l'algèbre : « Tout polynôme de degré n admet n racines complexes. » On termine avec les fractions rationnelles 





Palindrome-Polynomials with Roots on the Unit Circle

of even degree n with real coefficients ?0?1



Algorithmes efficaces pour les grands nombres et polynômes : Partie 2

n est appelé le degré du polynôme p(x). Ce que l'on a vu. Evaluation de p(x) lorsque x = x0 avec un algorithme efficace de O(n).



The Divergence of Lagrange Interpolation for lxl* at Equidistant Nodes

at most n coinciding with f at the nodes of the (n+1)th row of X. One of Sur la limitation des valeurs d'un polynome Pn(x) de degre n sur tout un.



[PDF] Polynômes - Exo7 - Cours de mathématiques

Tout polynôme à coefficients complexes de degré n 1 a au moins une racine dans C Il admet exactement n racines si on compte chaque racine avec multiplicité



[PDF] Chapitre 3 Les polynômes - Institut de Mathématiques de Toulouse

L'entier d ? N s'appelle le degré de P et se note deg(P) Les polynômes de degré zéro sont dits constants ceux de la forme cdXd (avec cd ? K)



[PDF] 13 Polynômes - LAMA - Univ Savoie

On appelle degré d'un polynôme non nul A = (a0 a1 · · · ) le plus grand entier n tel que an = 0 Le coefficient an correspondant est appelé coefficient 



[PDF] Les polynômes

a est appelé le coefficient et n est appelé le degré du monôme Exemples : • 3x est un monôme de la variable x de degré 1 et de coefficient 3 •



[PDF] Chapitre 3 - Racines dun polynôme

Proposition 3 6 Un polynôme non nul de degré n de K[X] a au plus n racines distinctes Démonstration : Par récurrence sur n Pour n = 0 un polynôme constant 



[PDF] Polynômes

Exercice 1 1 Calculer par récurrence (1 + X)(1 + X2)(1 + X4) ··· (1 + X2n ) Exercice 1 2 Si P est un polynôme de degré n `a coefficients dans K et c un 



[PDF] Chapitre 12 : Polynômes - Normale Sup

7 fév 2014 · du polynôme P l'entier n degré de P (souvent noté d?(P)) le coefficient correspondant an est le coefficient dominant de P Si ce coefficient 



[PDF] Polynômes et fractions rationnelles - Résumé de résultats

Un polynôme P à coefficients dans K est une « suite (an)n?N indexée sur Si P n'est pas nul son degré deg(P) est le plus grand entier d tel que ad = 0



[PDF] Equation générale de degré n

Théorème Le groupe de Galois G du polynôme f est isomorphe au groupe symé- trique Sn Démonstration Il suffit de prouver que G est le groupe S ¦ A§ de toute 



[PDF] 3-Polynomes-Courspdf - Optimal Sup Spé

Soit ne N L'ensemble des polynômes à coefficients dans K de degré inférieur ou égal à n est noté K„[X] 3 Algorithme de Horner

  • Comment montrer qu'un polynôme est de degré n ?

    On suppose que pour tout polynôme B tel que deg(B) < n (n ? N? fixé) et pour tout polynôme A non nul, il existe Q, R ? K[X] tels que B = AQ + R avec deg(R) < deg(A). Soit B un polynôme de degré n. Si deg(A) > n = deg(B) alors l'écriture B = A × 0 + B permet de conclure.

  • Comment trouver les racines d'un polynôme de degré n ?

    Recherche de racine(s) et signe d'un polynôme : Un polynôme du second degré P(x) = ax² + bx + c admet au plus deux racines. Le nombre exact de ses racines est déterminé par le signe d'un expression notée ? qu'on appelle le discriminant. ? = b² - 4ac.

  • Comment trouver le degré d'un polynôme ?

    Pour des polynômes à deux variables ou plus, le degré d'un terme est la somme des exposants des variables dans le terme ; le degré (parfois appelé degré total) du polynôme est à nouveau le maximum des degrés de tous les termes du polynôme. Par exemple, le polynôme x2y2 + 3x3 + 4y est de degré 4, le degré du terme x2y2.
  • Corollaire 1 : Un polynôme est nul si et seulement si tous ses coefficients sont nuls.
ÉQUATIONS POLYNOMIALES 1

ÉQUATIONS POLYNOMIALES

Partie 1 : Équations du second degré dans ℂ Définition : Soit , et c des réels avec ≠0. On appelle discriminant du trinôme ++, le nombre réel, noté Δ, égal à -4.

Propriété :

- Si Δ > 0 : L'équation ++=0 a deux solutions réelles distinctes : et - Si Δ = 0 : L'équation ++=0 a une unique solution réelle : - Si Δ < 0 : L'équation ++=0 a deux solutions complexes conjuguées : et

Démonstration :

On met le trinôme sous sa forme canonique (Voir cours de la classe de 1

ère

2

-4

4

En posant Δ=

-4 : ++=0

2

4

≠0

2

4

- Si Δ > 0 :

2

3

4

2

3

4

2

2

2

2

L'équation a deux solutions réelles : et - Si Δ = 0 : L'équation peut s'écrire :

2

=0 L'équation n'a qu'une seule solution réelle : 2 - Si Δ < 0 : L'équation peut s'écrire :

2

4

=-1)

Donc :

2

3

4

2

3

4

4

>0)

2

2

2

2

L'équation a deux solutions complexes :

et Méthode : Résoudre une équation du second degré dans ℂ

Vidéo https://youtu.be/KCnorHy5FE4

Résoudre dans ℂ les équations suivantes : a) +5=0 b) +3+4=0

Correction

a) +5=0 =-5 =5

Donc : =

5 ou =-

5

Les solutions sont donc

5 et -

5. b) On calcule de discriminant Δ du trinôme : Δ=3 -4×1×4=-7 Δ<0 donc l'équation admet deux solutions complexes conjuguées : et 3 2 7 2 3 2 7 2 Propriété : La somme S et le produit P des racines d'un polynôme du second degré de la forme ++ sont donnés par : =- et =

Exemple :

On a vu dans la méthode précédente que l'équation +5=0 possède deux racines : 5 et - 5.

Ainsi : =

5 -

5=0 et =

5×-

5D=5 En appliquant, les formules de la propriété, on retrouve ces résultats : 0 1 =0= 5 1 =5. z 2 +3z+4=0 3

Partie 2 : Équations de degré n dans ℂ

1) Définition

Définition : Une fonction polynôme (ou polynôme) est une fonction de ℂ dans ℂ de la

forme , où sont les coefficients réels de . L'entier est appelé le degré du polynôme . Propriété : Si une fonction polynôme est nulle, alors tous ses coefficients sont nuls.

2) Racine d'un polynôme

Définition : Soit un polynôme . Un nombre complexe s'appelle racine de si

=0.

Exemple :

Les nombres complexes et - sont les racines du polynôme +1. Théorème : Soit un polynôme définie par où est un entier supérieur ou

égal à 2.

Alors il existe un polynôme de degré -1, tel que

Démonstration au programme :

- Si =0 : C'est évident. - Si =1 :

On a :

+⋯++1 1 +⋯++1 +⋯++1

En soustrayant membre à membre, on a :

-1 +⋯++1 -1 - Si ≠0 quelconque : On remplace par / dans l'égalité ci-dessus : L -1MN +1O= -1

Soit en multipliant chaque membre par

Il existe donc un polynôme

de degré -1, tel que

Corollaire : Soit un polynôme de degré . Si est une racine complexe de , alors il existe

un polynôme de degré -1, tel que ()=

Démonstration au programme :

Comme est une racine complexe de , on a : =0.

Donc :

4 Or, pour tout compris entre 1 et , il existe un polynôme de degré -1, tel que :

Donc :

Il existe donc un polynôme de degré -1, tel que : Corollaire : Un polynôme de degré admet au plus racines.

Démonstration au programme :

Supposons que les nombres complexes

sont des racines deux à deux distincts du polynôme .

Alors il existe un polynôme

tel que : ()=

Or, 0=(

) et ≠0.

Donc

=0.

Ainsi, il existe un polynôme

tel que :

Et donc :

En continuant ainsi avec des polynômes

, on obtient :

D

On en déduit que le polynôme est de degré +é( Méthode : Factoriser un polynôme dont une racine est connue

Vidéo https://youtu.be/1Y-JtI6nNXU

Factoriser dans ℂle polynôme :

+4+4.

Correction

est un polynôme de degré 3, il admet au plus 3 racines.

On cherche une racine évidente de en testant des valeurs entières " autour de 0 ». On

peut tester également ou -. Il sera ensuite aisé de déterminer la ou les autres racines qui sont au plus au nombre de 2. On constate que =-1 est une racine évidente de : -1 -1 -1 +4 -1 +4=0 Donc, il existe un polynôme de degré 2, tel que : ()= +1

On a donc :

+4+4= +1 +4+4= +1 +4+4= +4+4=

Ainsi, en procédant par identification, on a :

Y =1 +=1 +=4 =4 soit Z =1 =0 =4 5

On en déduit que :

+4.

Or, il est possible de factoriser :

+4= -2 +2

En effet :

On a ainsi : ()=

+1 -2 +2

Méthode : Résoudre une équation de degré 3 à coefficients réels dont une racine est

connue.

Vidéo https://youtu.be/KqghKmQ9gOk

Résoudre dans ℝ l'équation

-3+1=0.

Correction

On pose

-3+1.

On voit que =1 est une racine évidente de . Donc il existe un polynôme , de degré 2,

tel que : ()=(-1)().

On a donc :

-3+1=(-1)() -3+1=(-1)( -3+1= -3+1=

Ainsi, en procédant par identification, on a :

Y =1 -=1 -=-3 -=1 soit Z =1 =2 =-1

Donc :

-1 +2-1

L'équation

-3+1=0 peut s'écrire -1 +2-1 =0.

Soit : -1=0 ou

+2-1=0 =1 Δ=8 -2- 8 2 =-1- 2 ou =-1+ 2 =^-1- 2;-1+ 2;1`quotesdbs_dbs33.pdfusesText_39
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