[PDF] 1 INTERACTIONS COULOMBIENNES ou ELECTROSTATIQUES

Cours LP203 Ð 2012-2013 Ð Chapitre 1 7/46 ¥ distribution linŽique: On dŽfinit la densitŽ linŽique de charges % par : % = limλlρ0 λQλl = dQdl en Cϕm-1 Nous verrons ultŽrieurement lÕimportance des symŽtries que peuvent prŽsenter les distrib utions de charges dans la dŽtermination des champs Žlectriques crŽŽs par celles-ci. + + + + + + + + +

Cours LP203 Ð 2012-2013 Ð Chapitre 1 9/46 Cas de deux charges ponctuelles qA et qB La loi de Coulomb (Žlectrostatique) indique que la force exercŽe par A sur B sÕexprime sous forme vectorielle par : FρAB = K qAϕqB|rρB Ð rρA|2 rρB Ð rρA|rρB Ð rρA| = K qAϕqB ABρAB3 ou encore : FρAB = K qA.qBdAB2 uρAB avec uρAB = rρB Ð rρA|rρB Ð rρA| = ABρAB vecteur unitaire ¥ Force exercŽe par B sur A : FρBA = K qAϕqB|rρA Ð rρB|2 ϕ rρA Ð rρB|rρA Ð rρB| ou encore : FρBA = K qA.qBdAB2 uρBA B qB A qA O rρB rρA rρB Ð rρA

Cours LP203 Ð 2012-2013 Ð Chapitre 1 13/46 La prŽsence dÕune charge Žlectrique modifie donc les propriŽtŽs locales de lÕespace en faisant appara"tre un champ Žlectrostatique affectant chaque point de lÕespace. Eρ(M) est un champ vectoriel dŽfini en (presque) tous les points de lÕespace : ¥ en coordonnŽes cartŽsiennes : Eρ(x,y,z) = Ex(x,y,z) eρx + Ey(x,y,z) eρy + Ez(x,y,z) eρz exemple : champ constant selon Oy : Eρ(M) = E0 eρy ¥ en coordonnŽes sphŽriques : Eρ(r,-,.) = Er(r,-,.) eρr + E-(r,-,.) eρ- + E.(r,-,.) eρ. exemple : champ crŽŽ par un e charge ponctuelle Q (>0) : www.edu.upmc.fr/uel/physique/elecstat/apprendre/champ/champvect.htm Eρ O x y z eρ- eρ. ϕM rM eρr θM Q Eρ(M) = Er(r,-,.) eρr = Q4&'0 r2 eρr M ¥

Cours LP203 Ð 2012-2013 Ð Chapitre 1 16/46 1.5.4 Lignes de champ Les lignes de champ permettent de visual iser lÕallure du champ Žlectrique. Par construction : - elles sont tangentes au vecteur Eρ(rρ) - elles sont orientŽes dans le sens de Eρ(rρ) - elles ne se croisent jamais. Exemples : ¥ Charges ponctuelles ¥ www.edu.upmc.fr/uel/physique/elecstat/observer/champ/lc.htm Dip™le : + Ð

Cours LP203 Ð 2012-2013 Ð Chapitre 1 17/46 2 charges opposŽes et diffŽrentes en valeur absolue Ensemble de deux charges positives : ¥ EA < EB ¥ EC = 0 (plan mŽdian) Deux plans chargŽs : Le champ est uniforme entre les deux plaques. Ð Ð Ð Ð Ð Ð - Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð Ð - Ð Ð Ð Ð Ð + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +

Cours LP203 Ð 2012-2013 Ð Chapitre 1 24/46 Exemples : ¥ 2 charges identiques : ¥ pas de symŽtrie de translation ¥ symŽtrie miroir par tout plan passant par la droite (AB) ¥ symŽtrie miroir par le plan mŽdiateur au segment [AB] ¥ symŽtrie de rotation autour de (AB) Allure du champ Eρ : ¥ le long de (AB) Eρ est contenu dans t out plan de symŽtrie et en particuli er ˆ lÕintersection des diffŽrents plans de symŽtrie Eρ(0,0,z) = E(z) eρz. ¥ dans le plan mŽdiateur ˆ [AB] Eρ est contenu dans ce plan Eρ ne dŽpend pas de ., Eρ(r,θ,0) = E(r) eρr. A B Eρ Eρ

Cours LP203 Ð 2012-2013 Ð Chapitre 1 25/46 ¥ dip™le : ¥ pas de symŽtrie de translation ¥ symŽtrie miroir par tout plan passant par la droite (AB) ¥ antisymŽtrie par le plan mŽdiateur au segment [AB] ¥ symŽtrie de rotation autour de (AB) Allure du champ Eρ : ¥ le long de (AB) Eρ est contenu dans t out plan de symŽtrie et en particuli er ˆ lÕintersection des diffŽrents plans de symŽtrie Eρ(0,0,z) = E(z) eρz. ¥ dans le plan mŽdiateur ˆ [AB] Eρ est perpendiculaire ˆ ce plan Eρ ne dŽpend pas de ., Eρ(r,θ,0) = E(r) eρz. A B Eρ Eρ

Cours LP203 Ð 2012-2013 Ð Chapitre 1 26/46 ¥ fil infini chargŽ : ¥ symŽtrie de translation le long du fil ¥ symŽtrie miroir par tout plan passant par le fil ¥ symŽtrie miroir par tout plan perpendiculaire au fil ¥ symŽtrie de rotation autour de lÕaxe passant par le fil ϕ symŽtrie axiale Allure du champ Eρ : ¥ Eρ est contenu dans t out plan de symŽtrie et en particuli er ˆ lÕintersection des diffŽrents plans de symŽtrie ¥ Eρ(r,θ,z) ne dŽpend que de r Vue de dessus : Eρ Eρ

Cours LP203 Ð 2012-2013 Ð Chapitre 1 28/46 Il en est de mme pour toutes les distributions prŽsentant des singularitŽs : Le fil infini chargŽ : On peut montrer que lÕexpression du champ E ρ prŽsente une divergence en ρ = 0 : E ρ = λ2&'0ρ eρθ Le champ nÕest pas dŽfini sur le fil en ρ = 0. Le disque chargŽ ou le plan chargŽ (cf TDρ1 exercice 3) : On peut montrer que lÕexpression du champ E ρ crŽŽ par le disque prŽsente une divergence en z = 0 : Le champ nÕest pas dŽfini sur le disque (le plan) en z = 0. E z

Cours LP203 Ð 2012-2013 Ð Chapitre 1 30/46 avec Eρ(r) = q14%'0 r2 rρr dÕo : WFext = 3221rA rB Ð q1 q24%'0 dr r2 WFext =3221rA rB Ð q1 q24%'0 dr r2 = q1 q24%'0 899:;<<= 1r rBrA = q1 q24%'0 rB Ð q1 q24%'0 rA ¥ Le travail ainsi fourni par la force est converti en Žnergie potentielle acquise par la charge q2 : WFext = λEp = Ep(B) Ð Ep(A) = Ð WFelectro VŽrifier pour les diffŽrents cas de figure On dŽfinit lՎnergie potentielle de la charge q2 en prŽsence de la charge q1 situŽe ˆ la distance r par : Ep(r) = q1 q24%'0 r + Cte = q2 q14%'0 r + Cte Par convention, on prend gŽnŽralement Ep(>) = 0 Remarque Quel lien existe-t-il entre lՎnergie potentielle Žlectrostatique et la force Žlectrostatique ?

Cours LP203 Ð 2012-2013 Ð Chapitre 1 31/46 On peut remarquer que : F(r) = q1 q24%'0 r2 = Ð d Epdr Cette Žquation peu t en fait sÕexprimer sous une f orme vectorielle plus gŽnŽrale : Fρ = q1 q24%'0 r2 eρr = Ð grad Ep0000ρ = Ð ?Ep00ρ o lÕexpression du gradient en coordonnŽes sphŽriques est : ?Ep00ρ = &Ep&r eρr + 1r sin. &Ep&- eρ- + 1r &Ep&. eρ. = &Ep&r eρr On dit que la force Ž lectrostatique dŽr ive de lՎnergie potentielle Žlectrostatique. ρ analogie avec le champ gravitationnel ϕ ConsŽquences : La force Žlectrostatique est conservative : - le travail de cette force ne dŽpend pas du chemin suivi mais dŽpend par contre du sens de parcours, - le travail de cette force est nul sur un contour fermŽ. WF = 3221(C) Fρ dϕρ = 3221(C) qϕEρ dϕρ = 0 X X A (C)

Cours LP203 Ð 2012-2013 Ð Chapitre 1 33/46 WACB = q1 q24%'0 rA Ð q1 q24%'0 rC Calculons le travail de la force Žlectrostatique pour quand q2 effectue le trajet A ρ D ρ B : WADB = 3221A D Fρϕdϕρ + 3221D B Fρϕdϕρ = 0 + 3221rD rB q1 q24%'0 dr r2 WADB = q1 q24%'0 rD Ð q1 q24%'0 rB = WACB car rA = rD et rC = rB Cours LP203 Ð 2011-2012 Ð Chapitre 1 29/43 WACB = q1 q24ϕϕ0 rA Ð q1 q24ϕϕ0 rC Calculons le travail de la force Žlectrostatique pour quand q2 effectue le trajet A θ D θ B : WADB = ρλλ%A D Fθádϕθ + ρλλ%D B Fθádϕθ = 0 + ρλλ%rD rB q1 q24ϕϕ0 dr r2 WADB = q1 q24ϕϕ0 rD Ð q1 q24ϕϕ0 rB = WACB car rA = rD et rC = rB A D C B

Cours LP203 Ð 2012-2013 Ð Chapitre 1 40/46 Vue perpendiculaire ˆ (eρx, eρy) Une variation dV du potentiel quand on passe de M ρ MÕ sՎcrit : dV(M) = V(MÕ) Ð V(M) = &V&x ϕ dx + &V&y ϕ dy ou, sous forme vectorielle : dV = ?V00ρϕ dOM 00ρ avec : ¥ ?V00ρ = &V&x eρx + &V&y eρy : gradient de V ¥ dOM 00ρ = dx eρx + dy eρy = MM' 00ρ : dŽplacement infinitŽsimal MÕ ¥ ¥ M dx eρy dx eρx

Cours LP203 Ð 2012-2013 Ð Chapitre 1 41/46 Les courbes reprŽsentent des lignes Žquipotentielles pour lesquelles le potentiel est constant. ¥ Quand on se dŽplace le long de ces lignes Žquipotentielles (c.a.d. que dOM 00ρ est tangen t ˆ la courbe), le p otentiel V reste constant, on peut donc Žcrire : dV = 0 ¥ Dans ce cas : ?V00ρϕ dOM 00ρ = 0 ¥ Ce qui implique que ?V00ρ@ dOM 00ρ en tout point dÕune ligne Žquipotentielle. ¥ Comme Eρ = Ð grad V0000ρ = Ð ?V 0ρ, le ch amp Žlectri que est perpendiculaire aux lignes Žquipotentielles en tout point de celles-ci. dOM 00ρ ?V00ρ Eρ

Cours LP203 Ð 2012-2013 Ð Chapitre 1 46/46 Pour une distribution surfacique : Ep = 12 112233S λ(M) V(M) ds Pour une distribution surfacique : Ep = 12 123 L%(M) V(M) dϕ Les intŽgrales Žtant calculŽes sur tout le volume / surface / longueur de la distribution de charges.