Racines n-ièmes de lunité - Quentin De Muynck
Exercice 3 : Somme des puissances p-ièmes des racines n-ièmes de 1. Soit p dans N. Calculer la somme donnée en titre c'est-à-dire : n?
Chapitre3 : Les complexes
Les racines n-ièmes de l'unité sont représentées sur un polygone régulier à n côtés inscrit (somme des puissances p-ièmes des racines n-ièmes de 1).
Nombres complexes
On obtient bien n racines n-ièmes s'écrivant zk = n. ? re(?+2k?)i/n. La somme des racines n-ièmes d'un nombre vaut 0 si n ? 2. 6.3 Racines de l'unité.
Nombres complexes
z4 +10z2 +169 = 0 ; z4 +2z2 +4 = 0. Indication ?. Correction ?. Vidéo ?. [000031]. 3 Racine n-ième. Exercice 8. Calculer la somme Sn = 1+z+z2 +···+zn.
= X 2 X 2 X 2 X 2
Exposé 17 : Racines n-ièmes d'un nombre complexe. On appelle racine n-ième de Z tout nombre ... =Z .Si Z=1 on parle de racine n-ième de l'unité.
Université Grenoble Alpes Année 2021-2022 INSPE - UFR IM2AG
n k=0 sin(k?) et ? n k=0 cos2(k?). Exercice 8. Soit n ? 1 et ? = e2i?/n. (1) Calculer la somme des racines n-ièmes de l'unité.
Concours Agrégation Mathématiques générales
comment les nombres complexes de modules 1 et les racines de l'unité D'autre part puisque la somme des racine n-i`emes de l'unité pour n > 1 est nulle ...
Pascal Lainé 1 NOMBRES COMPLEXES Exercice 1 : On donne 0
Calculer la somme des complexes qui vérifient . = ?1. Allez à : Correction exercice 40 : Exercice 41 : Soit une racine n-ième de ?1 donc .
NOMBRES COMPLEXES (Partie 4)
Définition : Une racine -ième de l'unité est un nombre complexe vérifiant = 1 avec ???. Théorème : L'ensemble des racines de l'unité possède
LEÇON N? 20 : Racines n-ièmes dun nombre complexe
Définition 2 : On désigne l'ensemble des racines n-ièmes de l'unité par On utilise l'application 2 ci-dessus ou la somme des cinq premiers termes d'une ...
[PDF] Racines n-ièmes de lunité - Quentin De Muynck
Exercice 3 : Somme des puissances p-ièmes des racines n-ièmes de 1 Soit p dans N Calculer la somme donnée en titre c'est-à-dire : n?
[PDF] Racines n-ièmes dun nombre complexe Interprétation géométrique
20 1 2 Racines n-ièmes de l'unité Définition 2 : On désigne l'ensemble des racines n-ièmes de l'unité par Un = {ei2k? n k ? {0 n ? 1}}
[PDF] Chapitre3 : Les complexes - Melusine
Les racines n-ièmes de l'unité sont représentées sur un polygone régulier à n côtés inscrit dans le cercle unité et dont l'un des sommet est 1 Ce polygone est
[PDF] Racine n-ième de lunité - Fun MOOC
z = rei? est une racine n-ième de Z = ?ei? si et seulement si : zn = Z rnein? = ?ei? ? { rn = ? n? = ? + 2k? ? { r = n ? ? ? = ? n + 2k? n 1 / 4
[PDF] Nombres complexes - Exo7 - Exercices de mathématiques
Calculer les racines carrées de 1 i 3+4i 8-6i et 7+24i 3 Racine n-ième Pour calculer un somme du type eiu +eiv il est souvent utile de
[PDF] Nombres complexes
4 oct 2020 · CM14 : Racines n-ièmes d'un nombre complexe n = z On appelle racine nième de l'unité les racines nième de z = 1 Remarque
[PDF] Correction du DM n°2
(a) L'ensemble des racines n?ièmes de l'unité est {exp 1?(?1)n 1?? car c'est une somme géométrique donc n?1 ? k=0 (?1)k?k = { 0 si n est pair
Racine n-ième de lunité et dun nombre complexe - Jaicompris
Racine n-ième de l'unité • comprendre cours et comment les trouver · Racine n-ième de l'unité • Démonstration du théorème · Somme des racines n-ième de l'unité
Fiche explicative de la leçon : Les racines ????-ièmes de lunité Nagwa
Cette question demande de calculer la somme des racines Nous utiliserons deux méthodes différentes pour ce calcul La première méthode nécessite une
Comment calculer racine N-ième ?
La racine �� -ième d'un nombre est désignée par �� = ? �� ? . Il s'agit de l'inverse de la fonction d'élévation à la puissance �� , et appliquer cette racine revient à déterminer la valeur de �� solution de �� = �� ? . Nous pouvons trouver la racine �� -ième réelle d'un nombre strictement négatif lorsque �� est impair.Comment trouver les racines de l'unité ?
Les racines deuxièmes de l'unité sont les solutions de l'équation X2 - 1 = 0, qu'on peut résoudre en utilisant les identités remarquables pour trouver l'équation produit : (X - 1)(X + 1) = 0. Ainsi, les racines sont 1 et -1.Comment déterminer les racines nième d'un nombre complexe ?
Si w est un nombre complexe, on appelle racine n -ième de w tout nombre complexe z tel que zn=w z n = w .- Théorème : Formule de Moivre pour les racines cubiques
Pour un nombre complexe �� = �� ( �� + �� �� ) c o s s i n , les racines cubiques de �� sont ? ? �� ? ? �� + 2 �� �� 3 ? + �� ? �� + 2 �� �� 3 ? ? c o s s i n avec �� = 0 ; 1 et 2.
Pascal Lainé
1NOMBRES COMPLEXES
Exercice 1 :
Calculer le module et l'argument de chacun des nombres complexes suivants (en fonction de ߠAllez à : Correction exercice 1 :
Exercice 2 :
Mettre sous la forme ܾܽ݅ǡܽǡאܾAllez à : Correction exercice 2 :
Exercice 3 :
Ecrire sous forme algébrique les nombres complexes suivantsݖ଼, le nombre de module - గ
ݖଽ le nombre de module ͵ െగ
Allez à : Correction exercice 3 :
Exercice 4 :
1. Mettre sous forme trigonométrique les nombres complexes suivants, ainsi que leur conjugués :
Pour ݖହ, factoriser par ݁
Pour ݖଵ, factoriser par ݁
2. Calculer le module et un argument des nombres complexes suivants, ainsi que de leur conjugués.
Indication :
Ecrire ݖଵ sous la forme ߙ
3. Calculer
Pascal Lainé
2Allez à : Correction exercice 4 :
Exercice 5 :
Effectuer les calculs suivants :
2. Produit du nombre complexe de module - గ
ଷ par le nombre complexe de module ͵ et3. Quotient du nombre complexe de modulo - గ
ଷ par le nombre complexe de module ͵ etAllez à : Correction exercice 5 :
Exercice 6 :
Etablir les égalités suivantes :
1. 2. 3.Allez à : Correction exercice 6 :
Exercice 7 :
Soit1. Déterminer les modules de ݑ et ݒ.
2. Déterminer un argument de ݑ et un argument de ݒ.
3. En déduire le module et un argument pour chacune des racines cubiques de ݑ.
4. Déterminer le module et un argument de ௨
5. En déduire les valeurs de
Allez à : Correction exercice 7 :
Exercice 8 :
Calculer le module et un argument de
En déduire le module et un argument de ௨
Allez à : Correction exercice 8 :
Pascal Lainé
3Exercice 9 :
Effectuer les calculs suivants en utilisant la forme exponentielle.Allez à : Correction exercice 9 :
Exercice 10 :
Calculer les racines carrées des nombres suivants.Allez à : Correction exercice 10 :
Exercice 11 :
1. Calculer les racines carrées de ଵା
଼ቁ et ቀగ2. Calculer les racines carrées de ξଷା
Allez à : Correction exercice 11 :
Exercice 12 :
Résoudre dans ԧ les équations suivantes :11. ݖଷ͵ݖെ-݅ൌ-.
Allez à : Correction exercice 12 :
Exercice 13 :
Allez à : Correction exercice 13 :
Exercice 14 :
1. Montrer que cette équation admet une racine réelle.
2. Résoudre cette équation.
Pascal Lainé
4Allez à : Correction exercice 14 :
Exercice 15 :
1. Montrer que
Admet une ou plusieurs racines réelles.
Allez à : Correction exercice 15 :
Exercice 16 :
Résoudre dans ԧ
Allez à : Correction exercice 16 :
Exercice 17 :
Allez à : Correction exercice 17 :
Exercice 18 :
1. Résoudre ܺ
2. Résoudre ܼ
3. Résoudre
On rappelle que ξൌ-.
Allez à : Correction exercice 18 :
Exercice 19 :
Allez à : Correction exercice 19 :
Exercice 20 :
Allez à : Correction exercice 20 :
Exercice 21 :
2. En déduire le module et un argument de ݖ.
Pascal Lainé
53. En déduire ...ቀగ
Allez à : Correction exercice 21 :
Exercice 22 :
1. Donner les solutions de :
Sous forme algébrique et trigonométrique.
2. Donner les solutions de :
Sous forme algébrique.
Allez à : Correction exercice 22 :
Exercice 23 :
1. Résoudre
On donnera les solutions sous forme algébrique. 2.Trouver les solutions de
On donnera les solutions (et sous forme algébrique en bonus).Allez à : Correction exercice 23 :
Exercice 24 :
1. Donner les solutions complexes de ܺ
2. Résoudre ܺ
3. Résoudre ܺ
Allez à : Correction exercice 24 :
Exercice 25 :
Ecrire sous forme algébrique et trigonométrique le nombre complexeAllez à : Correction exercice 25 :
Exercice 26 :
1. Déterminer le module et un argument de ଵା
ଵି, calculer ቀଵା3. Calculer les puissances ݊-ième des nombres complexes.
Allez à : Correction exercice 26 :
Exercice 27 :
݊ pour que ൫ξ͵݅൯ soit réel ? Imaginaire ?Allez à : Correction exercice 27 :
Pascal Lainé
6Exercice 28 :
Soit ݖ un nombre complexe de module ߠ ߩ
Allez à : Correction exercice 28 :
Exercice 29 :
1. Pour quelles valeurs de ݖא
2. On considère dans ԧ
Montrer, sans les calculer, que les solutions sont réelles. Trouver alors les solutions.3. Calculer les racines cubiques de ξଷା
Allez à : Correction exercice 29 :
Exercice 30 :
Résoudre dans ԧ
Allez à : Correction exercice 30 :
Exercice 31 :
Résoudre dans ԧ
Allez à : Correction exercice 31 :
Exercice 32 :
2. Résoudre
On explicitera les solutions sous forme algébrique.Allez à : Correction exercice 32 :
Exercice 33 :
Résoudre dans ԧ
On donnera les solutions sous forme algébrique.Allez à : Correction exercice 33 :
Exercice 34 :
On appelle ݆ൌെଵ
1. Résoudre dans ԧܺ
Pascal Lainé
75. Calculer ଵ
6. Calculer ݆ pour tout ݊א
Allez à : Correction exercice 34 :
Exercice 35 :
Résoudre dans ԧ
ces solutions a une puissance quatrième réelle.Allez à : Correction exercice 35 :
Exercice 36 :
1. Donner les solutions complexes de ܺ
2. Résoudre ܺ
3. Résoudre ܺ
Allez à : Correction exercice 36 :
Exercice 37 :
Trouver les racines cubiques de ͳͳ-݅.Allez à : Correction exercice 37 :
Exercice 38 :
Calculer
Algébriquement, puis trigonométriquement. En déduire ...ቀగAllez à : Correction exercice 38 :
Exercice 39 :
Trouver les racines quatrième de ͺͳ et de െͺͳ.Allez à : Correction exercice 39 :
Exercice 40 :
Soit ݊-, un entier.
1. b. Déterminer les complexes qui vérifient ݖൌെͳ.2. Calculer la somme des complexes qui vérifient ݖൌെͳ.
Allez à : Correction exercice 40 :
Exercice 41 :
Soit ݖ une racine n-ième de െͳ, donc ݖൌെͳ. Avec ݊- et ݖ്െͳ
Calculer
Pascal Lainé
8Allez à : Correction exercice 41 :
Exercice 42 :
2. Donner, sous forme polaire (forme trigonométrique) les solutions dans ԧ de :
Indication : poser ܼ
Allez à : Correction exercice 42 :
Exercice 43 :
Allez à : Correction exercice 43 :
Exercice 44 :
Résoudre les équations suivantes :
Allez à : Correction exercice 44 :
Exercice 45 :
Résoudre dans ԧ :
1. ݖହൌͳ
2. ݖହൌͳെ݅
3. ݖଷൌ-െ-݅
4. ݖହൌݖ
Allez à : Correction exercice 45 :
Exercice 46 :
1. Calculer les racines ݊-ième de െ݅ et de ͳ݅.
Allez à : Correction exercice 46 :
Exercice 47 :
1. Montrer que, pour tout ݊אԳכ et pour tout nombre ݖא
Et en déduire que si ݖ്ͳ, on a :
2. Vérifier que pour tout ݔא
3. Soit ݊אԳכ. Calculer pour tout ݔא
Et en déduire les valeurs de
Pascal Lainé
9Allez à : Correction exercice 47 :
Exercice 48 :
Indication : On calculera de deux façon différente la dérivée de la fonction ݂ définie par
On donnera le résultat sous forme algébrique.Allez à : Correction exercice 48 :
Exercice 49 :
Soit ߳ une racine ݊-, ߳
Allez à : Correction exercice 49 :
Exercice 50 :
Allez à : Correction exercice 50 :
Exercice 51 :
Résoudre dans ԧݖൌݖ où ݊ͳ.Allez à : Correction exercice 51 :
Exercice 52 :
Allez à : Correction exercice 52 :
Exercice 53 :
Linéariser :
Allez à : Correction exercice 53 :
Exercice 54 :
1. Déteݖ tels que ଵି௭
ଵି௭ soit réel.2. ݖ tels que ଵି௭
ଵି௭ soit imaginaire pur.Allez à : Correction exercice 54 :
Exercice 55 :
Soit אߩԹାכ et אߠԹ, avec ߩ SoitPascal Lainé
10 Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de ݖ.Allez à : Correction exercice 55 :
Exercice 56 :
Allez à : Correction exercice 56 :
Exercice 57 :
Allez à : Exercice 57 :
Exercice 58 :
1.2. Montrer que pour tout ݖܧא
3.Que peut-on en déduire sur ݂.
4. Soit ݖܧא
5. Notons ࣯ ͳ
Allez à : Correction exercice 58 :
CORRECTIONS
Correction exercice 1 :
Pascal Lainé
11Par suite
Allez à : Exercice 1 :
Correction exercice 2 :
Autre méthode
Autre méthode
Or DoncAutre méthode
Pascal Lainé
12Ou encore
idée.Autre méthode
Autre méthode
Allez à : Exercice 2 :
Correction exercice 3 :
Pascal Lainé
13A moins de connaitre ...ቀగ
଼ቁ et ቀగ ଼ቁ on ne peut pas faire mieux.Allez à : Exercice 3 :
Correction exercice 4 :
Si on ne met pas ͵ en facteur
On appelle ߠ
Donc ߠ
Autre méthode (meilleure), on met le module en facteurDonc ߠ
Autre méthode (meilleure), on met le module en facteurPour ݖଷ onne méthode.
െͳൌ݁గ, donc ݖଷൌସ On aurait pu directement écrire que െ݅ൌ݁Et ݖଷൌସ
Pour ݖସ
Pascal Lainé
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