Nombres complexes
Déterminer l'ensemble des nombres complexes z tels que : 5-1. 2 . 5. Pour tracer un pentagone régulier on commence par tracer un cercle C1 et deux ...
loi normale - Lycée Les Iscles
p(Z ? 155) = p(. X ? 20. 4
APX4 - X4CrNiMo16-5-1
Symbolique : X4CrNiMo16-5-1. - Numérique : 1.4418. AIR. : Z 8 CND 17-04. CARACTÉRISTIQUES MÉCANIQUES. • Etat recuit : chauffage à 680 °C suivi d'un
CORRIG´ES DES EXERCICES
b2 = (a + b)(a b)=2x (2y + 2z)=4x (y + z):. 6. (a) x2 + 4xy + 4y2. (b) 1=x2 Avec x comme variable indépendante f 1(x) = [1 (x 2)5]1=3.
Convention européenne des droits de lhomme
des droits de l'homme. Telle qu'amendée par les Protocoles nos 11 14 et 15
ÉQUATIONS
EXERCICE 9. Résoudre les équations : a) 2x ?8(x ? 4) = 8x +6?7+ 4x b) ?(x +5) = 5(1? 2x) c) 9x ?7x +5?9x = 6? 4x +8x d) 6(3y ?5) = ?(?5? y).
51. z
51. z. EXIRAIT DU REGISTRE DES DELIBERATIONS DU CONSEIL MUNICIPAL. Séance publique : du 28 mai 2020 convocation: du 20 mai2ozo.
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NOMBRES EN ECRITURE FRACTIONNAIRE
51 = Nombre en écriture décimale. Quotient de la division décimale de 3 par 2 6. 5
[PDF] Nombres complexes - Exo7 - Exercices de mathématiques
Déterminer l'ensemble des nombres complexes z tels que : 5-1 2 5 Pour tracer un pentagone régulier on commence par tracer un cercle C1 et deux
[PDF] NOMBRES COMPLEXES
La partie réelle de z et la partie imaginaire de z sont des nombres réels Propriété : Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si z3 = 5 - 1
[PDF] Feuille 5 : Nombres complexes
Feuille 5 : Nombres complexes Exercice 5-1 Soit f : C \ {0?3} ?? C l'application définie par f(z) = z2 ? 1 z(z + 3) Calculer f(1 ? i) et f(1 + i)
[PDF] NOMBRES COMPLEXES
Un nombre complexe z est un nombre qui s'écrit sous la forme z = a+ bi où a et b sont des nombres réels et i un nombre tel que i2 = ?1 Le réel a est
[PDF] 1 Corps des nombres complexes
Au paragraphe 1 2 nous définissons le module et l'argu- ment d'un nombre complexe non nul qui permettent d'écrire tout nombre complexe z non nul sous la forme
[PDF] Exercices Corrigés Corps des nombres complexes
Exercice 5 – Caractériser la similitude directe : C ? C z ?? f(z) = (3 - 3i)z + 2 Exercice 6 – (Extrait de l'examen d'octobre 2010) 1) Déterminer les
[PDF] NOMBRES COMPLEXES (Partie 1) - maths et tiques
Vocabulaire : - L'écriture a + ib d'un nombre complexe z est appelée la forme algébrique de z Page 2 Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www maths-et-tiques
[PDF] Fiche 6 : Nombres complexes - Studyrama
L'égalité z a ib = + est la forme algébrique du nombre complexe z Partie réelle partie imaginaire : Le nombre réel a s'appelle la partie réelle de z le
[PDF] NOMBRES COMPLEXES - AlloSchool
6) Le réel s'appelle la partie imaginaire du nombre z z × = On dit que ?? muni de la multiplication est un groupe 3 5 1 3 10 z
[PDF] Nombres complexes
z a bj += a e z( ) = b m z( ) = b 0 = z ?( ) a 0 = z z a bj += z? a? b?j + = a a? = b b? = b O r q y x )z 5 1 2j + ( ) – + 0 = ?
Exo7 Nombres complexes
1 Forme cartésienne, forme polaire
Exercice 1Mettre sous la formea+ib(a;b2R) les nombres :3+6i34i;1+i2i
2 +3+6i34i;2+5i1i+25i1+i: Écrire sous la formea+ibles nombres complexes suivants : 1.Nombre de module 2 et d"ar gumentp=3.
2.Nombre de module 3 et d"ar gumentp=8.
Calculer le module et l"argument deu=p6ip2
2 etv=1i. En déduire le module et l"argument dew=uv Déterminer le module et l"argument des nombres complexes : e eiaeteiq+e2iq: Exercice 5Calculer les racines carrées de 1;i;3+4i;86i;et 7+24i. 1.Calculer les racines carrées de
1+ip2 . En déduire les valeurs de cos(p=8)et sin(p=8). 2.Calculer les v aleursde cos (p=12)et sin(p=12).
1Résoudre dansCles équations suivantes :
z2+z+1=0 ;z2(1+2i)z+i1=0 ;z2p3zi=0 ;
z2(514i)z2(5i+12) =0 ;z2(3+4i)z1+5i=0 ; 4z22z+1=0 ;
z4+10z2+169=0 ;z4+2z2+4=0:
Exercice 8Calculer la sommeSn=1+z+z2++zn.
1.Résoudre z3=1 et montrer que les racines s"écrivent 1,j,j2. Calculer 1+j+j2et en déduire les racines
de 1+z+z2=0. 2.Résoudre zn=1 et montrer que les racines s"écrivent 1;e;:::;en1. En déduire les racines de 1+z+z2+
+zn1=0. Calculer, pourp2N, 1+ep+e2p++e(n1)p.Trouver les racines cubiques de 22iet de 11+2i.
1. Soient z1,z2,z3trois nombres complexes distincts ayant le même cube.Exprimerz2etz3en fonction dez1.
2. Donner ,sous forme polaire, les solutions dans Cde : z6+(7i)z388i=0:
(Indication : poserZ=z3; calculer(9+i)2)4 Géométrie
Exercice 12Déterminer l"ensemble des nombres complexesztels que : 1. z3z5 =1; 2. z3z5 =p2 2 Montrer que pouru;v2C, on aju+vj2+juvj2=2(juj2+jvj2):Donner une interprétation géométrique.Soit(A0;A1;A2;A3;A4)un pentagone régulier. On noteOson centre et on choisit un repère orthonormé
(O;!u;!v)avec!u=!OA0, qui nous permet d"identifier le plan avec l"ensemble des nombres complexesC.A0 A 3 A 4A 1 A 2 O1i1.Donner lesaffixesw0;:::;w4despointsA0;:::;A4. Montrerquewk=w1kpourk2f0;1;2;3;4g. Montrer
que 1+w1+w21+w31+w41=0. 2.En déduire que cos (2p5
)est l"une des solutions de l"équation 4z2+2z1=0. En déduire la valeur de cos(2p5 3. On considère le point Bd"affixe1. Calculer la longueurBA2en fonction de sinp10 puis dep5 (on remarquera que sin p10 =cos2p5 4.On cons idèrele point Id"affixei2
, le cercleCde centreIde rayon12 et enfin le pointJd"intersection de Cavec la demi-droite[BI). Calculer la longueurBIpuis la longueurBJ.5.Application:Dessiner un pentagone régulier à la règle et au compas. Expliquer.
5 Trigonométrie
Exercice 15Soitzun nombre complexe de moduler, d"argumentq, et soitzson conjugué. Calculer(z+z)(z2+z
2):::(zn+z
n)en fonction deretq. En utilisant les nombres complexes, calculer cos5qet sin5qen fonction de cosqet sinq.Exercice 17SoitZ[i] =fa+ib;a;b2Zg.
1. Montrer que si aetbsont dansZ[i]alorsa+betable sont aussi. 2.T rouverles élements in versiblesde Z[i], c"est-à-dire les élémentsa2Z[i]tels qu"il existeb2Z[i]avec
ab=1. 3. Vérifier que quel que soit w2Cil existea2Z[i]tel quejwaj<1. 4.Montrer qu"il e xistesur Z[i]une division euclidienne, c"est-à-dire que, quels que soientaetbdansZ[i]
il existeqetrdansZ[i]vérifiant : a=bq+ravecjrjcalculer cosqet sinq.Indication pourl"exer cice3 NPassez à la forme trigonométrique. Souvenez-vous des formules sur les produits de puissances :
eiaeib=ei(a+b)eteia=eib=ei(ab):Indication pourl"exer cice4 NPour calculer un somme du typeeiu+eivil est souvent utile de factoriser pareiu+v2
.Indication pourl"exer cice5 NPourz=a+ibon cherchew=a+ibtel que(a+ib)2=a+ib. Développez et indentifiez. Utilisez aussi que
jwj2=jzj.Indication pourl"exer cice6 NIl s"agit de calculer les racines carrées de 1+ip2 =eip4de deux façons différentes.Indication pourl"exer cice7 NPour les équation du typeaz4+bz2+c=0, poserZ=z2.Indication pourl"exer cice8 NCalculer(1z)Sn.Indication pourl"exer cice12 NLe premier ensemble est une droite le second est un cercle.
Indication pour
l"exer cice13 NPour l"interprétation géométrique cherchez le parallélogramme.
Indication pour
l"exer cice15 NUtiliser la formule d"Euler pour faire apparaître des cosinus.
Indication pour
l"exer cice16 NAppliquer deux fois la formule de Moivre en remarquantei5q= (eiq)5.5
Correction del"exer cice1 NRemarquons d"abord que pourz2C,zz=jzj2est un nombre réel, ce qui fait qu"en multipliant le dénominateur
par son conjugué nous obtenons un nombre réel. =35 +65i:
Calculons
1+i2i=(1+i)(2+i)5
=1+3i5 et 1+i2i 2 =1+3i5 2 =8+6i25 =825 +625i: Donc 1+i2i 2 +3+6i34i=825 +625
i35 +65
i=2325 +3625
i:
Soitz=2+5i1i. Calculonsz+z, nous savons déjà que c"est un nombre réel, plus précisément :z=32
+72iet doncz+z=3.Correction del"exer cice2 N1.z1=2eip3 =2(cosp3 +isinp3 ) =2(12 +ip3 2 ) =1+ip3.
2.z2=3eip8
=3cosp83isinp8
=3p2+p2 23ip2p2
2 Il nous reste à expliquer comment nous avons calculé cos p8 et sinp8 : posonsq=p8 , alors 2q=p4 et donc cos(2q)=p2 2 =sin(2q). Mais cos(2q)=2cos2q1. Donc cos2q=cos(2q)+12 =14 (2+p2). Et ensuite sin2q=1cos2q=14
(2p2). Comme 06q=p8 6p2 , cosqet sinqsont des nombres positifs. Donc cos p8 =12 q2+p2;sinp8 =12 q2p2:Correction del"exer cice3 NNous avons u=p6p2i2 =p2 p3 2 i2 =p2 cosp6 isinp6 =p2eip6 puis v=1i=p2eip4Il ne reste plus qu"à calculer le quotient :
uv =p2eip6p2eip4 =eip6 +ip4 =eip12 :Correction del"exer cice4 ND"après la formule de Moivre poureianous avons : e eia=ecosa+isina=ecosaeisina: Orecosa>0 donc l"écriture précédente est bien de la forme "module-argument". 6De façon générale pour calculer un somme du typeeiu+eivil est souvent utile de factoriser pareiu+v2
. En effet e iu+eiv=eiu+v2 eiuv2 +eiuv2 =eiu+v22cosuv2
=2cosuv2 eiu+v2 Ce qui est proche de l"écriture en coordonées polaires.Pour le cas qui nous concerne :
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