Chapitre 3 Equations différentielles ordinaires PDF

ÉQUATIONS INÉQUATIONS

2. =3. Page 5. 5. Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www.maths-et-tiques.fr. 2). On divise chaque membre par ?3. 3). On multiplie chaque membre par ?3. 4

Y. Chevallard ENSEIGNEMENT DE LALGEBRE ET

comme relevant bien des mathématiques des mathématiciens. Mais cette légitimé a été Mise en équation de problèmes ("concrets"): 3

RÉSOLUTION DE SYSTÈMES À DEUX INCONNUES

2 4 3 0 8 0 8 ;. 3 4 0 12 1. Quoique la première équation du système soit satisfaite la seconde ne l'est pas. Rappelons que

La résolution de problèmes mathématiques au collège

Des énoncés pour des rituels. 119 Problème 2. Des petits carrés. 121 Problème 3. Le flocon de Koch. 123 Problème 4. Des carrés et une spirale.

Résolution dun problème à laide des équations

La valeur déterminée est-elle plausible cohérente

Chapitre 3 Equations différentielles ordinaires

Existence et unicité locales pour le problème de Cauchy est un premier exemple simple d'équation vectorielle. Exemple 15 L'EDO d'ordre 2 la plus célèbre est

Fondamentaux des mathématiques 1

Vint enfin une équation assez simple à résoudre 12 + 12 = x2 autrement dit x2 = 2. Cette équation provenant d'un problème géométrique assez simple (le

Guide dutilisation des méthodes dévaluation dimpact au Sénégal

(ii) Le terme d'erreur n'est pas corrélé avec les autres variables de l'équation une condition qu'on appelle hypothèse de tendance parallèle. Page 97. 98 t t.

Cours de mathématiques - Exo7

2 ) alors il faut discuter suivant les valeurs de n7R. Appliquons ceci au problème suivant : Travaux pratiques 4. Combien y-a-t-il d'occurrences du chiffre

LATEX pour le prof de maths !

11 gen 2021 7.7.2 Équations sur plusieurs lignes . ... 10.9.1 Une définition simple . ... depuis le document (ce problème sera levé si tout est.

Chapitre3

Equationsdi

érentiellesordinaires

3.1Int roduction

Qu'est-cequec'estuneéquat iondi

érentielleordinaire?C'es tune

équationdéfinieentermesd'u nevariablet!I,Ii nter valleréel,une fonctioninconnuey:I"#R n etses dérivées parrapportàt.Enformule: Unefonct ionyquivérifie F(t,y(t),y$(t),y$$(t),···)=0s'appellesolu- tiondel'EDO . UneEDOes td'ordreksielleco ntientlesdér ivéesdeyjusqu'àl'ordrek.

Exemple14Leéqua tions:

y$(t)%t=0; y 2 $(t)%y(t)=0; e y 2 $(t) %t 2 +y=0; sontéquati ondi

érentiellesordinaires.

Sin=1onpar led'équationdi!érentiellescalaire.Sin>1onparle d'equationdi érentiellevectorielle.Parexem plel'équationpourl'incon- nuey(t)=(y 1 (t),y 2 (t)))!R 2 y$(t)=||y|| 2 y 39

403.2. Existenceetun icitélocalespourleprobl èmedeCa uchy

estunpr emierexemp lesimpled'équat ionvectorielle. Exemple15L'EDOd'ordre 2lapluscélèbreestladeuxièmeloide New- ton:

F(x)=mx!!(t)

quidécri tperexempleladynami qued'unp ointmatériellesoumisà la résultantedesforcesF. Onpeutécr irelaloi deNewtonentermesd usyst ème: x!(t)=v v!(t)= 1 m F(x) dedeuxéq uationsd' ordre1.Engeneraluneéquatio nscalaired'ordrek peutêtreécri tecommeuns ystèmedekéquationsd'ordre1.

Danslasuite onvacon sidererdeséquation sdi

érentiellesd'ordreksous

laform enormale: y (k) =f(t,y,···,y (k"1) )k#N

3.2Exist enceetunicitélocalespourleprobl èmede

Cauchy

SoitIuninter val le,f:I$R

n %&R n .On consider el'EDO: y!(t)=f(t,y(t)) Onpeutp enseràcetteéqu ationcommeun phén omèneévolut ifentemps (la variab let).Commeleproblèmededét ermi nertout eslesprimitives d'unefonctiondon née,cetteproblèmeadmetengenér alunnombrein- finidesolu tions. Pourchoisirunesolutionparticul ièreonimpose une conditioninitiale,c'estàdir e y(t 0 )=y 0 cequ iveutdireq ueàl'ins tantinitialt 0 laloiev olutiveva uty 0

Chapter3:Equationsdi !érentiellesordinaires41

Définition3.2.1[ProblèmedeCauchy]Onappell eprobl èmedeCauchy leprob lèmedetrouveruneintervall eItelq uet 0 !Ietunefo nction y:I"#R n quivérifie : y$(t)=f(t,y(t))t!I y(t 0 )=y 0 ,t 0 !I,y 0 !R n Premièrequestion:sous quellesconditionsexiste-t -il unesolution dupro- blèmedeCauch y?Deuxi èmequestion:cettesolutio nest-elleunique? Lethéor èmedeCauchy-Lipsch itzdon neuneréponseàcesdeuxques- tions.Sifsatisfaituneconditionsupplém entaire,alo rsl'existenceet l'unicitéd'unesolutionso ntassuréeslocalement ,c'estàdiresurun(pe- tit)interval leautourdet 0 Lacondi tionsupplémentairequ'ondem andepourlafonctionfestd'êtr e lipschitzienneparrapportàlavariableydansunv oisinagedu point initialy 0 Définition3.2.2[Fo nctionlocalementlipsch itzienne]SoientIunin- tervalle,DunouvertdeR n ,f:I%D"#R n .Soi ent(t 0 ,y 0 )!I%D.

SoitJ&Dunvois inagedupointy

0 .Onditquefestlipsch itzienne parrappo rtàlavariableydanslevois inageJsiilex isteune constante

L>0etile xisteu nvoisinageU&Idupoint t

0 telsque: ||f(t,y 1 (t))'f(t,y 2 (t))||(L||y 1 (t)'y 2 (t)|| poury 1 (t),y 2 (t)!J,t!U.

Exemple16 Lafonct ionf:R"#R

f(y)= y n'estpaslipschi tzienneauvo isinagedey=0.Enfait: lim (y 1 ,y 2 )#(0,0) |f(y 1 )'f(y 2 |y 1 'y 2 etparc onséquencei lnepeutpasexisteraucuneconsta nteLvérifiantla conditiondeLipschitz.Cep endantfestlipsch itziennesurtoutintervalle

423.2. Existenceetun icitélocalespourleprobl èmedeCa uchy

[a,b]avecb>a>0.Enfaitpouttouty 1 (t),y 2 (t)![a,b]ona: (y 1 (y 2 |y 1 "y 2 1 (y 1 (y 2 1 2 (a) Etdoncl aconditio ndeLip schitzestvérifiéeavecL= 1 2 (a) Siunef onction(d' unevariable)estdérivabl eauvoisinaged'unp ointet ladériv éeestbornéedanscev oisina ge,alorslafoncti onestlocalement lipschitzienne.Laréciproqueestfausse:ilya desfonct ionslipschitziennes quineson tpasdér ivables.Siune fonctiones tdeclasseC 1 alorselleest localementlipschitzienne.

Exemple17 Lafonct ionf:R%&R

f(y)=|y| estlipsc hitzienneauvoisinagedetouty!R.Enfaitpourtouty 1 ,y 2 !R ona: |f(y 1 )"f(y 2 )|=||y 1 |y 2 Lacondi tiondeLipschitzestdoncvé rifiéea vecL=1: ||y 1 |y 2 |y 1 "y 2 Noterquelafonct ionvaleur absolu en'estpasdérivableen y=0.Ce- pendantelleestlip shcitizienne. Théorème3.2.3[Ca uchy-Lipschitz]Soie ntI unintervalle,Dun ouvertdeR n ,f:I'D%&R n .Soi ent(t 0 ,y 0 )!I'D.Sifest continueetlipschitz iennepar rapportàsadeuxièmevariabledansun voisinagedupointy 0 ,alorsleproblèmedeCauchy: y((t)=f(t,y(t))t!I y(t 0 )=y 0 ,t 0 !I,y 0 !D admetuneuniquesol utionydéfiniedansunpe titvoisina gedupo intt 0

Deplu slasolutionestde classeC

1 danscevoi sinage.

Chapter3:Equationsdi !érentiellesordinaires43

Grâceauthéorèm edeCau chy-Lipschitz,onsa itquea umoinslocale- mentetsouscer tai nesconditions ,leproblèmedeCauchy estbienposé. Essayonsmaintenantdecalculer quelquesolutiond'EDOtrèssimp les. Exemple18[Mo dèledeMalthuspour lacroi ssancedespopulations]U n desprem ièresetplussimplesmo dèlesp ourl'évolutionentemps despo- pulationsestlemodèledeMa lthusdu1 798.On considèreunefonction t!"y(t)quidécri tlenombred'individus àl'ins tantt.Sil 'on suppose quelerapp ortentr eletauxdecroissancede lapopulatio netlap opulation mêmesoitprop ortionnelaute mpspassél'ontrouve: y(t+!t) y(t) =k!tk#R etsion faitl alim itepour !t"0l'ontrouvel 'équationdi!érentielle: y$(t)=ky(t)k#R Lafonct ionf(t,y)=ky(t)estbienco ntinueetlipsc hitzienneparrap- portàlavar iab leypourtoutecond itioninitiale(t 0 ,y 0 ).Lethéorèmede Cauchy-Lipschitzassurequepourtouteconditioniniti ale(t 0 ,y 0 )ilexiste uneuniqu esolutiondupro blème: y$(t)=ky(t)t#I y(t 0 )=y 0 y 0quotesdbs_dbs42.pdfusesText_42

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