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Isometries du plan

Daniel Perrin

1 Introduction

1.1 Avertissement

Le but de ce texte est d'orir une piste pour traiter l'expose de CAPES numero 37 (liste 2011) qui porte sur les isometries du plan

1. Mon objectif

est de proposer un traitement \intermediaire" entre ce que l'on peut faire au lycee, avec les programmes en vigueur aujourd'hui

2et ce qui est developpe

au niveau du CAPES, notamment dans nos deux polycopies sur la geometrie ane et la geometrie euclidienne. Precisement, il s'agit de traiter le sujet sans autre materiel que les contenus actuels du lycee, donc sans supposer une connaissance de l'algebre lineaire et une denition \avancee" d'un espace ane, mais en essayant cependant de le faire de facon rigoureuse. Cela etant, dans la perspective de l'oral du CAPES, ce texte est a prendre avec precaution, et je l'assortirai de quelques conseils : Pour alleger l'expose, on peut admettre un certain nombre de points, par exemple le fait que les isometries sont bijectives. La nature ane des isometries peut, elle aussi, ^etre occultee ou admise. J'ai signale en general ces points dans le texte par le signe (]). Le paragraphe sur les isometries positives et negatives est sans doute trop complique pour l'oral. Il est donc plus raisonnable a cet endroit la d'uti- liser soit le determinant, soit la denition des angles orientes vue au lycee (m^eme si elle n'est pas tres rigoureuse). En revanche, le theoreme 3.4 (decomposition des isometries en produit de re exions) constitue une valeur s^ure pour un expose de CAPES.

1.2 Le cadre

On travaille dans le plan ane euclidienP. Ce mot n'a pas d'autre sens

que celui qu'il a pour les lyceens : on dispose de points, de droites et des1. Cet expose a aussi un rapport avec le numero 19, qui porte sur les transformations

planes et les nombres complexes, mais je n'aborderai pas cet aspect.

2. Je dis bien aujourd'hui, et pas demain, puisque les isometries vont pratiquement

dispara^tre des programmes de lycee. 1 proprietes d'incidence qui les relient, ainsi que des notions usuelles de la geometrie : parallelisme, orthogonalite, longueur, angle, etc. Les vecteurs sont connus depuis la classe de seconde et on note~Pl'ensemble des vecteurs du plan. Il n'est pas necessaire de dire qu'ils forment un espace vectoriel, mais comme on sait les additionner et les multiplier par un scalaire, c'est juste une question de mots. Le produit scalaire de deux vecteurs est introduit en premiere et il permet de retrouver la notion de longueur comme norme et celle d'angle

3non oriente,viale cosinus. On a la notion de repere orthonorme

(qu'on abregera enron) en prenant un point et deux vecteurs orthogonaux et de norme 1. Il revient au m^eme de se donner trois pointsO;I;Jdu plan avecOI=OJet (OI)?(OJ). En revanche, dans un premier temps, on ne parlera ni d'orientation du plan, ni d'angles orientes, attendant de disposer du materiel introduit au paragraphe 4 ci-dessous pour le faire rigoureusement.

1.2.1 Notations

On note (~vj~w) le produit scalaire des vecteurs~vet~wetABla distance des pointsAetB(ou longueur du segment [AB]).

1.3 Rappels

1.3.1 Inegalite triangulaire

1.1 Proposition.SoientA;B;Ctrois points du plan. On aACAB+BC.

L'egaliteAC=AB+BCvaut si et seulement siA;B;Csont alignes avec

BentreAetC.

Plus precisement, si l'on poseBC=a,CA=betAB=c, les points A;B;Csont alignes si l'on a l'une des relationsa=b+c,b=c+aou c=a+b. Inversement, si l'on se donne deux points distinctsA;BavecAB=cet deux reelsa;bveriant l'une des trois relations ci-dessus, il existe un unique pointCaligne avecAetBtel queBC=aetCA=b.

1.3.2 Mediatrice

1.2 Proposition-Denition.SoientA;Bdeux points distincts deP. L'en-

sembleDdes pointsM2 Pqui verientMA=MBest une droite ane.3. Precisons les choses. Si on a trois pointsA;O;B, l'angle non oriente\AOBest pour

moi un nombre de [0;] (ce que d'autres appellent mesure en radians de l'angle). Pour le denir on peut supposer queOAetOBsont de longueur 1 et l'angle est alors la longueur de l'arc decoupe sur le cercle unite de centreOpar le secteur saillant [AOB]. C'est aussi l'arccosinus du produit scalaire (!OAj!OB). 2 Precisement, siOest le milieu de[AB],Dest la droite passant parOet perpendiculaire a(AB). On dit queDest lamediatricedeA;B. Demonstration.On ecrit!MA=!MO+!OAet!MB=!MO+!OBet on calcule MA

2=MO2+OA2+2(!MOj!OA) et de m^eme avecB. L'egaliteMA=MB

est alors equivalente a (!MOj!OA) = (!MOj!OB) soit (!MOj!AB) = 0, ce qui equivaut a (OM) perpendiculaire a (AB) ouM=Oet on a le resultat.

1.3.3 Projection orthogonale

1.3 Proposition-Denition.SoitDune droite ane dePet soitMun

point. Il existe un unique pointP2 Dqui est tel que!PHsoit orthogonal a tous les vecteurs deD. On le nommeprojete orthogonaldeMsurD. Demonstration.Le plus simple est de le faire analytiquement. On choisit un ronforme d'un pointO2 D, d'un vecteur~ide~Det d'un vecteur~jorthogonal aD. On ecrit!OM=x~i+y~jet on chercheP2 D, donne par!OP=~itel que!PM= (x)~i+y~jsoit orthogonal a~i. On trouve=x.

2 Les isometries

2.1 Denition des isometries et premieres proprietes

2.1 Denition.Une applicationfdu plan dans lui-m^eme est appelee une

isometriesi elle conserve les longueurs4, c'est-a-dire si l'on a, pour tous

A;BdansP,f(A)f(B) =AB.

2.2 Notation.Lorsqu'on a une transformationfdu plan, on notera en

general avec un prime les images des points :f(A) =A0,f(B) =B0, etc. On note deja qu'une isometrie est necessairement injective. Voici quelques autres proprietes :

2.3 Proposition.

1) Une isometrie conserve l'alignement (precisement, elle transforme trois

points alignes en trois points alignes, mais aussi trois points non alignes en trois points non alignes). De plus, elle conserve l'ordre sur les droites (c'est- a-dire la relation \entre").

2) Toute isometrie est bijective.4. On peut, pour simplier, supposer quefest bijective, mais ce n'est pas necessaire,

voir 2.3 ci-dessous. Comme annonce, les points qui deviennent inutiles si l'on fait cette hypothese supplementaire sont signale par le signe (]). 3 Demonstration.1) SupposonsA;B;Calignes avec, par exemple,BentreA etC. On a doncAC=AB+BCen vertu de 1.1. On en deduit, avec les notations de 2.2,A0C0=A0B0+B0C0ce qui montre queB0est aligne avec A

0,C0et entreA0etC0.

Inversement, siA;B;Cne sont pas alignes et si on posea=BC,b=AC, c=AB, on a les inegalites strictesa < b+c,b < c+aetc < a+bet les m^emes relations pourA0;B0;C0, ce qui montre queA0;B0;C0ne sont pas alignes (cf. 1.1). Le lemme suivant est trivial sifest supposee bijective :

2.4 Lemme.(])SiA;Bsont deux points distincts, d'imagesA0etB0, toute

la droite(A0B0)est dans l'image def. Demonstration.(du lemme) SiM0est sur (A0B0) et si l'on poseA0M0=a etB0M0=b, on a l'une des relationsA0B0=a+b,abouba(cf. 1.1). Toujours en vertu de 1.1, il existe alors un pointMde (AB) avecAM=aet BM=bet la m^eme relation avecAB=A0B0. Si on poseM00=f(M),M00 est sur (A0B0) et on a aussiA0M00=aetB0M00=b, de sorte queM0=M00 est bien dans l'image def. (]) On peut alors nir de prouver la surjectivite def. On choisit trois pointsA;B;Cnon alignes et on considere leurs imagesA0;B0;C0. SoitM0 un point deP. SiM0est sur l'une des droites joignant les pointsA0;B0;C0 on applique le lemme 2.4. SiM0n'est pas dans l'une des droites on regarde (disons) (C0M0) qui coupe (A0B0) enN0et on est ramene au cas precedent.

2.5 Corollaire.

1) L'image par une isometrie d'une droite est une droite.

2) Une isometrie conserve le parallelisme des droites.

3) Une isometrie conserve l'orthogonalite.

Demonstration.Le premier point est consequence de ce qui precede. Pour

2), si deux droites sont paralleles, leurs images sont des droites, dont l'inter-

section est vide (car une isometrie est bijective), donc qui sont paralleles. Pour l'orthogonalite enn : si on suppose (AB)?(AC), on aBC2= AB

2+AC2par Pythagore. Cela vaut encore pour les images deA;B;C

puisquefconserve les distances et on conclut par la reciproque de Pytha- gore.

2.6 Corollaire.L'ensemble des isometries est un groupe.

Demonstration.Il est clair que l'identite est une isometrie et que la composee de deux isometries en est une. Comme une isometrie est bijective, elle admet une transformation inverse qui est aussi une isometrie. 4

2.2 Quelques exemples

2.2.1 Translations

2.7 Proposition-Denition.Soit~v2~P. On denit latranslationde

vecteur~vcomme l'application qui aMassocieM0veriant!MM0=~v. On la notet~v. C'est une isometrie. Demonstration.En eet, si l'on a!AA0=!BB0=~v, le quadrilatereABB0A0 est un parallelogramme et on a aussi !AB=!A0B0doncAB=A0B0.

2.2.2 Symetries centrales

2.8 Proposition-Denition.SoitOun point deP. On denit lasymetrie

de centreOet on noteOla transformation qui aMassocieM0tel queOsoit le milieu de[MM0](ou encore tel que!OM0=!OM). C'est une isometrie. Demonstration.On a!A0B0=!A0O+!OB0=!AO!OB=!AB, d'ou A

0B0=AB.

2.3 Applications anes(])

M^eme si l'on s'eorce ici de ne pas utiliser tout l'attirail de l'algebre lineaire, ce paragraphe peut ^etre omis a l'oral du CAPES. On commence par dire ce qu'est une application lineaire dans le cadre geometrique des vecteurs :

2.9 Denition.Une application~fde~Pdans~Pest ditelineairesi elle

verie :~f(~v) =~f(~v)et~f(~v+~w) =~f(~v) +~f(~w)pour tous vecteurs~v,~w et tout reel.

2.10 Denition.Une applicationf:P ! Pest diteanesi elle verie

les deux proprietes suivantes :

1) Si, pourA;B;C;D2 P, on a!AB=!CD, alors on a!f(A)f(B) =!f(C)f(D).

Le point 1) montre que la formule

~f(!AB) =!f(A)f(B) denit une appli- cation ~fde~Edans lui-m^eme. On suppose alors :

2) L'application~fest lineaire.

Une facon plus intuitive de comprendre ce qu'est une application ane consiste a utiliser la geometrie analytique : 5

2.11 Proposition.SoitO,~i,~jun repere deP. SiMest un point dePon

notex;yses coordonnees. On a donc!OM=x~i+y~j. Soitfune application ane dePdansP. Alors, six0;y0sont les coordonnees deM0=f(M) dans le repere, elles sont donnees a partir dex;ypar des fonctions anes : x

0=ax+by+, etc.

Rappelons aussi la proposition suivante :

2.12 Proposition.Une application ane bijective conserve les droites, le

parallelisme, les barycentres. Demonstration.SiDest une droite denie par un pointOet vecteur di- recteur~v, tout pointMdeDverie!OM=~vouest un reel. Avec les notations de 2.2 on a alors!O0M0=~f(~v) =~f(~v). Autrement dit,f(D) est la droite denie parO0et par~v0=~f(~v). Pour les barycentres : on ecrit, par exemple,!GA+!GB+!GC=~0 et on utilise la linearite.

2.4 Les isometries sont anes

2.13 Proposition.Une isometrie est une application ane.

Demonstration.Soitfune isometrie. On montre le lemme suivant :

2.14 Lemme.SoitABDCun parallelogramme et soientA0;B0;C0;D0les

images de ses sommets parf. AlorsA0B0D0C0est un parallelogramme. Demonstration.Cela resulte du fait quefconserve le parallelisme. Revenons a la proposition. Le point 1) de la denition d'une application ane resulte de la traduction de!AB=!CDpar le fait queABDCest un parallelogramme. Pour l'additivite de ~f, si on pose!AB+!AC=!AD, on a aussi un parallelogrammeABDC. Enn, pour le produit par un scalaire, c'est la conservation de la longueur et de la relation entre.

2.15 Corollaire.Sifest une isometrie et si~fest l'application lineaire

associee,~fconserve le produit scalaire (donc les angles non orientes). Demonstration.Cela resulte du fait que le produit scalaire peut se calculer a partir de la norme, donc de la longueur.

3 Les re

exions

On denit maintenant les re

exions et on montre qu'elles engendrent le groupe des isometries. 6

3.1 Denition

3.1 Denition.SoitDune droite ane dePet soitM2 P. SoitPle

projete orthogonal deMsurD. Lare exionDest la transformation qui associe aMle pointM0qui verie!PM0=!MP.

3.2Remarque.Une variante de la denition est la suivante :xeDet a

M62 DassocieM0tel que (MM0) est perpendiculaire aDet que le milieu de [MM0] est surD.

3.2 Premieres proprietes

3.3 Proposition.

1) La transformationDest une isometrie deP.

2) C'est une involution qui est l'identite surD.

3) SiM0est l'image deMet siM06=M,Dest la mediatrice deM;M0.

Demonstration.1) SoientM;Ndeux points du plan. On ecrit!MN=!MP+!PQ+!QNouP;Qsont les projetes orthogonaux deM;NsurD. On en deduit

MN

2=MP2+PQ2+QN2+ 2(!MPj!QN). En appliquantDon trouve!M0N0=!M0P+!PQ+!QN0=!MP+!PQ!QNet on a bienMN2=M0N02.

Le point 2) est evident.

3) SoitMun point deP,Pson projete surD,M0son symetrique et soit

Nun point deD. On a!MN=!MP+!PNd'ouMN2=MP2+PN2. Le

calcul est identique pourM0et on aM0N2=MN2, ce qui montre queN est sur la mediatriceD0deM;M0. On a doncD D0, de sorte que ces deux droites sont egales.

3.3 Les re

exions engendrent le groupe des isometries

A mon avis, la demonstration du fait que les re

exions engendrent le groupe des isometries est l'une des plus interessantes a mener devant un jury. C'est pourquoi je la donne en detail.

3.4 Theoreme.Soitfune isometrie deP. Alors,fest produit d'au plus

trois 5re exions. Demonstration.La demonstration se fait en plusieurs etapes :

3.5 Lemme.Sifxe trois pointsA;B;Cnon alignes,fest l'identite (donc

produit de zero re exion

6).5. Le cas d'une symetrie glissee montre que ce nombre est optimal.

6. Ou de deux re

exions egales, si l'on ne souhaite pas utiliser cette convention. 7 Demonstration.SoitM2 PetM0son image. CommefxeA;B;Cet est une isometrie, on aAM=AM0,BM=BM0etCM=CM0. SiMetait distinct deM0, la mediatrice deM;M0contiendrait donc les trois points A;B;Cce qui est absurde puisqu'ils ne sont pas alignes.

3.6 Lemme.Sifxe deux points distinctsA;B, c'est l'identite ou la re

exion par rapport a la droiteD= (AB). Demonstration.Sifn'est pas l'identite, il existeC62(AB) tel queC0=f(C) soit dierent deC. On aAC=AC0etBC=BC0, de sorte queDest la mediatrice de [CC0]. La re exionDxeA;Bet transformeCenC0, comme f. Le lemme 3.5 applique aDfmontre quefest egale aD.

3.7 Lemme.Sifxe un pointAelle est produit d'au plus deux re

exions. Demonstration.Sifn'est pas l'identite, il existeB6=Atel queB0=f(B)6=

B. En composantfavec la re

exion par rapport a la mediatrice deB;B0 (qui xeA) on se ramene au cas de 3.6 etfest produit de deux re exions au plus. Le theoreme est maintenant immediat car sifne xe pasAon se ramene a l'un des cas precedents

7en composant avec la re

exion par rapport a la mediatrice deA;A0etfest produit de trois re exions au plus.

3.3.1 Transitivite sur les reperes

La demonstration admet le corollaire suivant :

3.8 Corollaire.

Etant donnes deuxrondu planO;I;JetO0;I0;J0, il existe une unique isometrie qui envoieOsurO0,IsurI0etJsurJ0.

4 Isometries positives et negatives et angles

orientes Il s'agit de donner un sens a la notion d'isometries positives et negatives (on parle aussi d'isometries directes et indirectes, voire retrogrades et on les appelle encore deplacements et anti-deplacements). Il y a deux facons bien connues de traiter cette question. La premiere est celle que l'on peut utiliser au lycee en denissant les isometries positives comme celles qui conservent les anglesorientes. On peut rendre cette approche parfaitement rigoureuse

(en ne se contentant pas de faire appel a l'intuition pour denir le sens7. Il se peut qu'on se ramene d'emblee au cas 1), penser a une translation.

8 trigonometrique), mais c'est assez delicat. La seconde, que l'on emploie en licence, consiste a utiliser le determinant, les isometries directes etant celles de determinant positif (en fait egal a 1) et les indirectes celles de determinant negatif. Notre objectif est de donner une denition intermediaire, qui n'utilise pas le recours au sens des angles et qui soit independante de la notion de determinant. Pour cela, on part des re exions (dont on sait bien au bout du compte qu'elles doivent ^etre negatives) et on va denir une transformation directe (resp. indirecte) comme produit d'un nombre pair (resp. impair) de re exions. Attention, pour que cette denition soit coherente, il faut prouver qu'un produit d'un nombre pair de re exions ne saurait ^etre egal au produit d'un nombre impair de re exions. (]) Le lecteur qui trouverait ce paragraphe trop delicat peut decider d'utiliser l'une ou l'autre des deux autres methodes : celle du lycee ou les determinants, avec les inconvenients evoques ci-dessus. Il peut aussi admettre une partie des resultats, mais doit alors savoir au moins prouver 4.1.

4.1 Remarques preliminaires

4.1.1 Une remarque facile

4.1 Proposition.Une re

exion n'est egale ni a l'identite, ni au produit de deux re exions.

Demonstration.Il est clair qu'une re

exion n'est pas l'identite car elle ne xe qu'une droite. Soit=12le produit de deux re exions par rapport a des droitesD1etD2. Siest une re exion, elle xe deux pointsAetBdistincts. On a alors1(A) =2(A) =A0et1(B) =2(B) =B0. Si on aA=A0et B=B0, on aD1=D2= (AB),est l'identite et c'est absurde. Si, disons, on aA6=A0,D1etD2sont toutes deux egales a la mediatrice deA;A0,est encore l'identite et c'est toujours absurde.

4.1.2 Deux re

exions

On precise ici les produits de deux re

exions.

4.2 Proposition.1) SoientD1etD2deux droites deP, concourantes en

Oet soient1;2les re

exions associees. SiD3est une droite quelconque passant parO, on peut ecrire12=34(resp.043) ou3est la re exion par rapport aD3et ou4(resp.04) est une re exion par rapport a une droite passant parO.

2) SoientD1etD2deux droites paralleles et soient1;2les re

exions associees. Siest une droite perpendiculaire aDienAi, on a12=t~vavec 9 ~v= 2!A2A1. SiD3est une droite quelconque parallele auxDi, on peut ecrire

12=34=043ou3est la re

exion par rapport aD3et ou4(resp.04) est une re exion par rapport a une droite parallele auxDi. Demonstration.1) Il s'agit8de montrer que=123est une re exion. Soit A2 D3,A6=O, etA0=(A). SiA=A0,xe deux points. C'est donc soit l'identite (mais alors3est produit de deux re exions et c'est absurde par

4.1) soit une re

exion et on a gagne. Sinon, soitla re exion par rapport a la mediatrice deA;A0. La composeexeOetA. C'est donc soit l'identite et dans ce cas on a=et on a gagne, soit une re exion. Mais alors, comme elle xeOetA, c'est3et on a donc123=3, donc12= Id et c'est absurde (toujours 4.1).

2) On note d'abord que si

0est une autre perpendiculaire auxDiqui

les coupe enA01etA02, on a!A1A2=!A01A02(carA1A2A02A01est un pa- rallelogramme). SiMse projette enH1,H2sur les droites et si on pose M

0=2(M) etM00=1(M0), on a!MM0= 2!MH2= 2!H2M0et!M0M00=

2!M0H1, donc!MM00= 2!H2H1= 2!A2A1, d'ou le premier point.

Pour le second point, siA3est le point d'intersection deD3et de , on considere le pointA4qui verie!A1A2=!A3A4et il sut de prendre pour droiteD4la parallele auxDipassant parA4.

Au passage, on a montre :

4.3 Corollaire.Soienti,i= 1;2;3trois re

exions d'axesDi. Si les droites D isont concourantes ou paralleles, le produit123est une re exion.

4.2 Les produits pairs de re

exions

4.4 Proposition.Tout produit de quatre re

exions (et plus generalement d'un nombre pair de re exions) est produit de deux re exions. Demonstration.Une recurrence immediate montre qu'il sut de traiter le cas du produit de quatre. Soit doncf=1234le produit de quatre re exions autour de quatre droitesDi. Notons que si trois re exions consecutives ont leurs axes concourants ou paralleles, 4.3 permet de conclure. On elimine desormais ce cas, que l'on dira trivial. Supposons d'abord queD1etD2se coupent enOetD3etD4enO0. On aO6=O0(sinon on est dans le cas trivial) et on considere la re exion

d'axe (OO0). En vertu de 4.2, on peut remplacer12par01et34par04et on a1234=0104.8. Dans l'un des cas, mais l'autre est identique.

10 Supposons ensuite queD1etD2se coupent enO, mais queD3etD4 sont paralleles. On peut, sans changer12, remplacerD2par la parallele aD3 passant parOet on est dans le cas trivial pour les trois dernieres re exions. Supposons ennD1etD2paralleles. Alors,D3n'est pas parallele aux deux premieres (sinon on est dans le cas trivial). Elle coupe doncD2enO. On peut alors remplacerD2par une droiteD02passant parOet non parallele aD1sans changer23, et on est ramene a l'un des deux premiers cas.

4.3 Le theoreme de parite

4.5 Theoreme.Un produit d'un nombre pair de re

exions n'est jamais egal a un produit d'un nombre impair de re exions. Demonstration.La proposition precedente permet de remplacer un produit pair par un produit de deux re exions et un produit impair par une re exion ou un produit de trois. On a vu l'impossibilite de la cohabitation de 1 et 2 en 4.1. Il reste le cas de 2 et 3. Mais, si l'on a123=12, on ecrit cette egalite1232=1, le produit de quatre est un produit de deux et on a une contradiction avec 4.1.

4.6 Corollaire.L'ensemble des produits d'un nombre pair de re

exions est un sous-groupe du groupe des isometries. Ses elements sont appeles isometries positives ou directes oudeplacementset les autres sont les isometries nega- tives ou retrogrades ou les anti-deplacements. La composition dans le groupe des isometries obeit a la regle des signes : le produit de deux isometries de m^eme signe est une isometrie positive, le produit de deux isometries de signes dierents est une isometrie negative.

4.4 Angles orientes

Maintenant qu'on a deni les isometries positives et negatives, on peut parler d'angles orientes. Commencons par orienter le plan :

4.7 Denition.Parmi lesron, on en choisit un particulierR= (O;~i;~j)

que l'on decretedirect. SiR0= (O0;~i0;~j0)est un autreron, en vertu de 3.8 il existe une unique isometriefqui envoieRsurR0. On dit queR0est direct (resp. indirect) sifest positive (resp. negative).

4.8Remarque.Au lycee, on considere comme intuitivement evident qu'il y

a deux types de reperes : ceux qui tournent dans le sens trigonometrique et ceux qui tournent dans le sens des aiguilles d'une montre. La justication de cette assertion est dans ce qui precede. 11

4.9Remarques.

1) SiO;~i;~jest direct,O;~i;~jest indirect. En eet, on passe de l'un a l'autre

par une re exion autour de la droite denie parOet~i.

2) Si on se donne un pointOet un vecteur~v, on a un uniquerondirect

(O;~i;~j) dont le premier vecteur est egal a~v=jj~vjj. En eet, il y aa priori deux vecteurs~junitaires convenables, mais le point 1) montre qu'un seul convient.

On peut maintenant orienter les angles.

4.10 Denition.SoientA;O;Btrois points distincts et soit(O;~i;~j)leron

direct deni par ~i=!OAOA (le vecteur~j=!OJest alors bien determine). Si l'angle non oriente \AOBest egal a2[0;], on denit l'angleoriente (!OA;!OB)comme egal asiBetJsont dans le m^eme demi-plan limite par (OA)et asinon.

4.11Remarque.SiBest sur la demi-droite opposee a [OA), la denition

ci-dessus ne s'applique pas. Si l'on s'approche de cette position dans le demi- plan superieur, l'angle oriente tend verssi l'on s'en approche dans le demi- plan inferieur, il tend vers. C'est pourquoi on decide que pour les angles orientes on a=, autrement dit qu'on travaille modulo 2. Un angle oriente est donc un reel pris modulo 2, donc un element deR=2Z. Les resultats precedents permettent de montrer les proprietes bien connues des angles orientes :

4.12 Proposition.1) Si~u,~vet~wsont des vecteurs non nuls, on a(~u; ~w) =

(~u;~v) + (~v; ~w).

2) On a(~u;~u) =,(~v;~u) =(~u;~v).

4.13 Proposition.Soitune re

exion d'axeD,OetAdes points dis- tincts deD,Mun point distinct deOetM0son image. On a(!OM;!OA) = (!OA;!OM0)et donc(!OM;!OM0) = 2(!OM;!OA) = 2(!OA;!OM0). Demonstration.Les angles non orientes\MOAet\M0OAsont egaux mais commeest negative, les angles orientes (!OM;!OA) et (!OM0;!OA) sont op- poses et on en deduit le resultat. 12

5 Classication des isometries du plan

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