[PDF] Sur une fonction transcendante et ses applications à la sommation

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sommationdequelquesséries

Annales scientifiques de l"É.N.S. 3

esérie, tome 21 (1904), p. 207-267

© Gauthier-Villars (Éditions scientifiques et médicales Elsevier), 1904, tous droits réservés.

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SUR UNE FONCTION TRANSCENDANTEET SES APPLICATIONS

A L A

SOMMATION

DE

QUELQUE

S

SÉRIES

PA H M.

GEOKGE

S

VORONO

L

INTRODUCTION.

La formul e sommatoir e d'Euler-Maclauri n e t l a formul e d e

Fourier

,pour le développement de la fonction j\x) en série tri^onomîHrique, on t leu r origin e commun e dan s l e théorèm e suivan t :" ^ l) n < h

THÉORÈME

La somme r V/C^ P 6111
etre développée en 1 1 >u S asérie infinie nih ll il h w ,b (I) L f{n) L n):::z f ^^^X 2 f /(^)COS27T/ 1 ^'.>. ',^, Ja n^ J(t condition que la fonction fÇx) soit contimie dans l'intervalle ci x h et ne possède dans cet intervalle quun nombre limité de maxirna et deminima, a et b étant deux nombres réels quelconques. E n faisan t dan s l a formul e (I n x n a ,r b x h

i(1) ^ofez, par exemple, VorUswi^Gn ûbcrZaliîe/ttIleoriGvon LeJGUfte-Dirî.cfilet, ti(ii'?uîs-

gegebûi i vo n

Dedokin

d (Viorl e

Aufla^e

Braunscliwoig

1894
supplémen t p. ^M e taussi le Mémoire do M. ¥ l'an cl : Sur la formule sominaloira d'Ealer ( Mailieniathchf

AiiHalen,

M. XLVil p. 4,33} e t e n supposan t qu e o x i on obtien t

Pénalit

^.r+ l i j\x} i j V a F i (.OS^TT J X wàl J y II 1 l qui aprè s l a substitutio n x i u, se rédui t a la séri e (h Pou ri e r A'^^j acoyaîr^ y /'(^)cosa7r/"/^..4-2sin^7T^ r /(//)snr> r! //}snr>r://7/ ^// :sr 1 L ll' () tl•/(» (o<.r<ï)

1/intégratio

n par partie s effectué e dan s la formul e (1 eonduil a résulta t suivan t 1 1 1 (1.1 ^f(n) -:j f(,c),U 1 /.,(")/f/.,(,^ r I l r '+(•')'"/ '•m .i^V'î""^)^ (M (,a, ,..)<^ " oi t l'o n t pos /•o(,z-)

IE(,/;

-i a

V^li^^

v ^-""".-•-,..1-//.",• "2 -^^ '•'•T'.H " ' ' jHui ( •IT-//!7»! i- '•11':/!)" 1 (/•^1,2,...) le aymbolo

£(a,-)

a la valeu r o quan d x in-sf pas un nomhn. <>iUi<>, t

£(a?

t quan d x es t un nombr e onikir.( .l^n s devien tEn supposant quo a o(, h soicnl des noinhrcs entiers, la Cornuilc fil ),,,/..^ (, 1 \ •i /

i.,^.,. . ^ , . .,,... ... r'I'^.)^ /(-)^+^A,[/ (^^::I,2 où A,o A<

SUR UNE FONCTION TRANSCENDANTE, ETC. 209

C'es t la formul e sommatoir e d'Euler-Maclauri n ave c l e rest e pré sent sou s l a form e de

Poisso

n 1 La formul e (II présent e un e généralisatio n d e l a formul e somma toir e d'Euler-Maclauri n du e M Sonin e 2 Dan s le s recherche s concernan t l a sommatio n de s série s multiples o n rencontr e souven t de s somme s qu i dépenden t de s valeur s de s fonction s discontinues Dan s tou s ce s cas la formul e sommatoir e d'Euler-Maclauri n n'es t plu s applicable e t l'o n n e parvient e n général surmonte r le s difficulté s qu i e n résulten t qu' l'aid e de s méthodequotesdbs_dbs24.pdfusesText_30

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