[PDF] [PDF] Modèle probabiliste / Variables aléatoires

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Amphi 1

Mod `ele probabiliste / Variables al´eatoires J

´er´emie Bigot

Cours de probabilit

´es MA105

ISAE/SUPAERO 1A

Ann

´ee 2013 - 2014

Amphi 1

Introduction

1Introduction2Le mod`ele probabiliste et concepts de base3Variables al´eatoires r´eelles et lois classiques4Esp´erance et variance d"une variable al´eatoire r´eelle

Amphi 1

Introduction

Une th

´eorie math´ematique pour mod´eliser le hasard? Principe de base :on fait appel aux probabilit´es pour d´ecrire une exp ´erience dont le r´esultat est impossible`a pr´evoir avec certitude.

Exemple d"exp

´erience al´eatoire :lancer d"un d´e`a 6 faces et on lit le num

´ero apparu sur la face sup´erieure

5135521564

TAB.:R ´esultats de 10 lancers successifs d"un d´e`a 6 faces

Amphi 1

Introduction

Une th

´eorie math´ematique pour mod´eliser le hasard? Principe de base :on fait appel aux probabilit´es pour d´ecrire une exp ´erience dont le r´esultat est impossible`a pr´evoir avec certitude.

Exemple d"exp

´erience al´eatoire :lancer d"une pi`ece et on lit la face obtenue (Pile ou Face)

FFPPFPPFPP

TAB.:R ´esultats de 10 lancers successifs d"une pi`ece

Amphi 1

Introduction

Une th

´eorie math´ematique pour mod´eliser le hasard?

Exemple d"exp

´erience al´eatoire :suivi de l"´evolution journali`ere de l"indice boursier S&P 500 publi

´e par l"agence Standard & Poor"s.

Source :Torgo L. (2010).Data Mining with R : Learning with Case Studies.

Chapman and Hall/CRC.jan 03

2007jul 02

2007jan 02

2008jul 01

2008jan 02

2009jui 30

2009

800 1000 1200 1400 1600

Indice S&P 500

Amphi 1

Introduction

Une th

´eorie math´ematique pour mod´eliser le hasard?

Exemple d"exp

´erience al´eatoire :enregistrement d"une s´erie d"images au cours du temps (vid

´eo en infrarouge) sur un campus.

Source :http ://www.vcipl.okstate.edu/otcbvs/bench/

Amphi 1

Introduction

Une th

´eorie math´ematique pour mod´eliser le hasard?

Exemple d"exp

´erience al´eatoire :enregistrement d"une s´erie d"images au cours du temps (vid

´eo en infrarouge) sur un campus.

Source :http ://www.vcipl.okstate.edu/otcbvs/bench/

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Introduction

Une th

´eorie math´ematique pour mod´eliser le hasard?

Exemple d"exp

´erience al´eatoire :enregistrement d"une s´erie d"images au cours du temps (vid

´eo en infrarouge) sur un campus.

Source :http ://www.vcipl.okstate.edu/otcbvs/bench/

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Introduction

Une th

´eorie math´ematique pour mod´eliser le hasard?

Exemple d"exp

´erience al´eatoire :enregistrement d"une s´erie d"images au cours du temps (vid

´eo en infrarouge) sur un campus.

Source :http ://www.vcipl.okstate.edu/otcbvs/bench/

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Une th

´eorie math´ematique pour mod´eliser le hasard?

Exemple d"exp

´erience al´eatoire :enregistrement d"une s´erie d"images au cours du temps (vid

´eo en infrarouge) sur un campus.

Source :http ://www.vcipl.okstate.edu/otcbvs/bench/

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Introduction

Une th

´eorie math´ematique pour mod´eliser le hasard?

Exemple d"exp

´erience al´eatoire :enregistrement d"une s´erie d"images au cours du temps (vid

´eo en infrarouge) sur un campus.

Source :http ://www.vcipl.okstate.edu/otcbvs/bench/

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´eorie math´ematique pour mod´eliser le hasard?

Exemple d"exp

´erience al´eatoire :enregistrement d"une s´erie d"images au cours du temps (vid

´eo en infrarouge) sur un campus.

Source :http ://www.vcipl.okstate.edu/otcbvs/bench/

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Une th

´eorie math´ematique pour mod´eliser le hasard?

Exemple d"exp

´erience al´eatoire :enregistrement d"une s´erie d"images au cours du temps (vid

´eo en infrarouge) sur un campus.

Source :http ://www.vcipl.okstate.edu/otcbvs/bench/

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Introduction

Une th

´eorie math´ematique pour mod´eliser le hasard?

Exemple d"exp

´erience al´eatoire :enregistrement d"une s´erie d"images au cours du temps (vid

´eo en infrarouge) sur un campus.

Source :http ://www.vcipl.okstate.edu/otcbvs/bench/

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Introduction

Une th

´eorie math´ematique pour mod´eliser le hasard?

Exemple d"exp

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´eo en infrarouge) sur un campus.

Source :http ://www.vcipl.okstate.edu/otcbvs/bench/

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Introduction

D ´eveloppement math´ematique des probabilit´es19 `eme si`ecle et d´ebut 20`eme si`ecle : d´eveloppement des probabilit

´es en lien avec les m´ethodes d"analyse :

calcul int

´egral et diff´erentiel (Laplace, Gauss)

th

´eorie de la mesure (Borel, Lebesgue)`

a partir du 20`eme si`ecle :´etude de ph´enom`enes al´eatoires qui evoluent au cours du temps : th´eorie des processus de Markov (mouvement Brownien, processus de Poisson, th

´eorie

statistique,

´etude de la dynamique de population, physique

statistique,...)la th ´eorie des probabilit´es aujourd"hui est bas´ee sur lemod`ele probabilistepropos´e par Kolmogorov (1933), et sur le calcul stochastique d ´evelopp´e par Itˆo (1945). Cette th´eorie a connu un tr `es grand essor dans la deuxi`eme moiti´e du 20`eme si`ecle.

Amphi 1

Introduction

Domaines d"application de la th

´eorie des probabilit´esPhysique (physique des particules, physique quantique)

Traitement du signal et de l"image

Informatique et r

´eseaux de t´el´ecommunicationAnalyse de bases de donn ´ees massives (Big data)Finance, Economie, Assurance

Biologie

Fiabilit

´eSimulation num

´erique en math´ematiques appliqu´ees

Amphi 1

Introduction

Organisation du cours MA 105

6 amphis

Pr incipalesnotions et pr incipauxth

´eor`emes

Quelque se xemples14 petites classes (PC)

Ex ercicesapp licatifs

Introdu ctionde notions compl

´ementaires1 BE not

´e sous Matlab (en salle informatique) - Illustration num

´erique du filtrage de Kalman1 examen final

Amphi 1

Le mod

`ele probabiliste et concepts de base1Introduction2Le mod`ele probabiliste et concepts de base3Variables al´eatoires r´eelles et lois classiques4Esp´erance et variance d"une variable al´eatoire r´eelle

Amphi 1

Le mod

`ele probabiliste et concepts de baseNotion d"espace fondamental

Principes de base :on fait appel aux probabilit

´es pour d´ecrire une exp´erience dont le r

´esultat est impossible`a pr´evoir avec certitude,maison suppose que l"on connait quand-mˆeme l"ensemble des

r ´esultats possibles de l"exp´erience.Definition

L"ensemble de tous les r

´esultats possibles de l"exp´erience est appel´e univers,espace d"´etatsou bienespace fondamental, et on le notera . Un r´esultat possible de l"exp´erience est not´e!2

Amphi 1

Le mod

`ele probabiliste et concepts de baseNotion d"espace fondamental Exp

´erience 1: lanc´e d"un d´e`a 6 faces

=f1;2;3;4;5;6get card =6. Exp ´erience 2: lanc´e de deux d´es`a 6 faces etcard =36.

L"ensemble

peutˆetre : fini (ensemb ledes 6 f acesd"un d

´e, des 32 cartes d"un jeu,...),

infini d ´enombrable (ensemble des entiers naturels, ou d"´etats que l"on peut num

´eroter) :

=N;Z;::: infini non d ´enombrable (position d"une particule dans un liquide, poids, taille,...) : = [0;+1];R;:::

Amphi 1

Le mod

`ele probabiliste et concepts de baseNotion d"

´ev`enement

Lorsqu"on effectue une exp

´erience al´eatoire, certains faits li´es`a cette exp ´erience peuvent se produire ou non : on les appelle´ev´enements.Definition Un ´ev´enementAassoci´e`a une exp´erience al´eatoire est un sous-ensemble de i.e.A2 P(

Chaque r

´esultat possible!2

d"une exp´erience al´eatoire est appel´e

ev´enement simplenot´eA=f!g.Remarque :un´ev´enement est li´e`a une exp´erience al´eatoire si on

sait dire, au vu des r ´esultats possibles de l"exp´erience, si cet ev´enement a lieu ou non.

Amphi 1

Le mod

`ele probabiliste et concepts de baseNotion d"

´ev`enement

Exemples d"

´ev´enements:

-Pour l"exp´erience 1,A"le num´ero obtenu est pair". Aest r´ealis´e si et seulement si!2 f2;4;6g. On notera

A=f2;4;6g:

-Pour l"exp´erience 2,B"la somme des deux num´eros obtenus est 6".

Best r´ealis´e si et seulement si

(!1;!2)2 f1;2;3;4;5;6g f1;2;3;4;5;6gv´erifie!1+!2=6.

On notera

B=f(1;5);(2;4);(3;3);(4;2);(5;1)g:

Amphi 1

Le mod

`ele probabiliste et concepts de baseCompatibilit

´e d"un ensemble d"´ev`enements

Lors de l"

´etude d"une exp´erience al´eatoire, on doit utiliser un ensemble d"

´ev`enementsA P(

)qui soit suffisamment riche afin d" ˆetre stable par intersection, union et n´egation d"´ev`enementsA2 A (lien avec la th

´eorie des ensembles).

Amphi 1

Le mod

`ele probabiliste et concepts de baseTribu sur

Definition

On appelletribuAsur

, tout sous-ensemble de parties de tel que :1

2 A,2siA2 A, alorsA2 A,3si pour toutn2N,An2 A, alors+1S

n=0A n2 A.Le couple( ;A)est appel´eespace probabilisable.

Amphi 1

Le mod

`ele probabiliste et concepts de baseTribu sur

Exemples de tribus:f;;

g: la plus petite,P( ): la plus grande,f;; ;A;Ag.

Cas particuliers tr

`es importants :lorsque est fini ou infini d´enombrable, on prend toujours A=P( ).ce n"est pas le cas lorsque =R: la tribu consid´er´ee dans ce cas sera la tribu des bor

´eliensB(R)qui est la plus petite tribu

contenant les ouverts deR

Amphi 1

Le mod

`ele probabiliste et concepts de baseNotion de probabilit ´e Principe :une probabilit´e (not´eePouP) est une mesure entre 0 et 1 qui permet d" ´evaluer les chances de r´ealisation d"un´ev`enement.Definition Soit( ;A)un espace probabilisable. On appelleprobabilit´e(ou mesure de probabilit

´e) sur(

;A)toute applicationPdeAvers[0;1] telle que :1P( ) =12pour toute suite d"´ev´enementsAn2 A, incompatibles deux`a deux (i.e.AnTAm=;sin6=m), on a : P +1[ n=0A n! =+1X n=0P(An) =limN!+1N X n=0P(An)! :Le triplet( ;A;P)est appel´eespace probabilis´e.

Amphi 1

Le mod

`ele probabiliste et concepts de baseQuelques propri ´et´es d"une mesure de probabilit´eProposition

1SiAB, alorsP(A)P(B)2P(A) =1P(A);P(;) =03P(A[B) =P(A) +P(B)P(A\B)4si(An)nest une suite croissante deA(AnAn+1), alors

PS nA n =limn!+1P(An)5si(Bn)nest une suite d´ecroissante deA(Bn+1Bn), alors PT nB n =limn!+1P(Bn).

Amphi 1

Le mod

`ele probabiliste et concepts de baseLe cas discret

Cas particulier important :

=f!1;;!ngestfinietA=P(

Soient p1;;pn,nnombres r´eels.

Alors, il existe une probabilit

´ePsur(

;A)telle que, pour tout i2 f1;;ng,P(f!ig) =pisi et seulement si, pour tout i2 f1;;ng,pi0etnP i=1p i=1.

La probabilit

´ePest alors unique et, pour toutA2 A,

P(A) =X

i;!i2Ap i:

On dit qu"il y a

´equiprobabilit´elorsque les probabilit´es de tous les ´ev´enements simples sont´egales i.e.pi=1n . S"il y a equiprobabilit´e, alors, pour tout´ev´enementA, on a

P(A) =cardAcard

Amphi 1

Le mod

`ele probabiliste et concepts de baseEv

´enements ind´ependants

Intuition :2´ev´enements sont ind´ependants si la r´ealisation de l"un est sans effet sur la r

´ealisation de l"autre.Definition

Soit( ;A;P)un espace probabilis´e.1Deux´ev´enementsAetBdeAsontind´ependantssi P(A\B) =P(A)P(B):2Une famille d"´ev´enements(An)nest ditefamille d"´ev´enements ind ´ependantssi, pour toutp2Net pour toutfi1;;ipg N,

P(Ai1\ \Aip) =P(Ai1) P(Aip):

Amphi 1

Le mod

`ele probabiliste et concepts de baseEv

´enements ind´ependants

Exemple :lancer de deux pi`eces.

L"ensemble des r

´esultats possibles est

=f!1;!2;!3;!4g=fPP;FF;PF;FPget il y a´equiprobabilit´e.

On consid

`ere les´ev`enements :A ="La premi `ere pi`ece est PILE"B = "La deuxi `eme pi`ece est FACE"

Les deux

´ev`enements sont ind´ependants car

P(A\B) =P(!3) =14

=12 12 =P(A)P(B)

Amphi 1

Le mod

`ele probabiliste et concepts de baseEv

´enements ind´ependants

Remarque :l"ind´ependance d´epend de la probabilit´e consid´er´ee.

Exemple: SoitP1la probabilit´e d´efinie sur

=f1;2;3;4;5;6gpar : P

1(f1g) =P1(f2g) =16

;P1(f3g) =13 ;P1(f4g) =P1(f5g) =P1(f6g) =19 et soitP2l"´equiprobabilit´e sur

SoientA=f1;2getB=f2;3g.

On aP1(A) =26

;P1(B) =12 ;P1(A\B) =16 donc P

1(A)P1(B) =P1(A\B).

D"autre part,P2(A) =P2(B) =13

;P2(A\B) =16 donc P

2(A)P2(B) =19

6=P2(A\B).

Les ´ev´enementsAetBsont ind´ependants pourP1mais pas pourP2.

Amphi 1

Variables al

´eatoires r´eelles et lois classiques1Introduction2Le mod`ele probabiliste et concepts de base3Variables al´eatoires r´eelles et lois classiques4Esp´erance et variance d"une variable al´eatoire r´eelle

Amphi 1

Variables al

´eatoires r´eelles et lois classiquesVariables al

´eatoires

SoitEune exp´erience al´eatoire et(

;A;P)l"espace probabilis´e qui en rend compte.Dans de nombeuses situations, `a chaque r´esultat deE, on associe une valeur num

´erique i.e. une application

X: !R !7!X(!)But : ´eviter de devoir d´ecrire tout les´el´ements!(´ev`enement el´ementaire) de l"ensemble . Exemples : -X=nombre de piles obtenus apr`es 100 lancers d"une pi`ece -X=valeur maximale d"un indice boursier sur un intervalle de temps donn ´e -X=temps de fonctionnement d"un smartphoneApprochefonctionnelleplutˆot qu"ensembliste.

Amphi 1

Variables al

´eatoires r´eelles et lois classiquesVariables al

´eatoires

SoitEune exp´erience al´eatoire et(

;A;P)l"espace probabilis´e qui en rend compte.

On consid

`ere une application X: !R !7!X(!) Probl `eme :on souhaite mesurer la probabilit´e de l"ensemble des r

´esultats!2

tel queX(!) =a, ou encoreX(!)X(!)2[a;b[i.e.´evaluer

P(X=a)ouP(X Question :les´ev`enements[X=a],[Xˆetre mesur´es?

Amphi 1

Variables al

´eatoires r´eelles et lois classiquesVariables al

´eatoires

Rappel :siXest une application d"un espace

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