[PDF] [PDF] Nombres complexes 1 Calcul du module et

View - Download [PDF] Nombres complexes

Previous PDF

Next PDF

chapitre 1

1. Calcul du module et de l'argument

d'une puissance d'un nombre complexe.

2. Simplification d'un rapport de nombres

complexes.

3. Pour montrer qu'un nombre complexe est réel.

4. Pour montrer qu'un nombre complexe

est imaginaire pur.

5. Racines carrées d'un nombre complexe.

6. Racines n-ièmes d'un nombre complexe.

7. Factorisation d'un polynôme réel.

8. Linéarisation des expressions de la forme

cos sin mn xx où , mnN.

9. Calcul de cos( )net desin( )nen fonction

de puissances de cos( )et desin( ).

10. Écriture de

i

1e et de

i

1e ()R

sous la forme i er avec 2 (, )rR.

11. Simplification de sommes de cosinus

(resp. sinus).

Nombres complexes

méthode 14

Nombres complexes

1

Calcul du module et de l"argument d"une puissance

d"un nombre complexe Pour calculer le module et l'argument d'une puissance d'un nombre complexe, on calcule d'abord le module et l'argument de ce nombre, puis on l'élève à la puissance voulue.

Exemple

Calculer le module et l'argument du nombre complexe 20 (1i3)z. Co mme i3

13(1 i 3) 2 i 2e22

donc 1i3 2 et arg(1 i 3) [2 ]3 d'où 20

20ii20 2033

(18 2) 2 ii20 2033 (1 i 3) 2 e (2) e

2e 2ez

et par suite 20 20 (1 i 3) 2z et

2arg [2 ].3z

Exercice

• Calculer le module et l'argument de chacun des nombres complexes suivants : a. 4 1i; b. 3 1i 1i ;c. 5 1i3 3i d. 7 4.1i3 méthode2 15

2Simplifi cation d"un rapport de nombres complexes

Pour simplifier un rapport de nombres complexes, on multiplie le numérateur et le dénominateur par l'expression conjuguée du dénominateur.

Exemple

Simplifier le nombre complexe

2i (4 i)(1 3i)z Comme l'expression conjuguée du dénominateur est (4 i)(1 3i), 222 2
2i (4 i)(1 3i)

2i(4 i)(1 3i)

(4 i)(1 3i)(4 i)(1 3i)

2i(4 i)(1 3i)

(4 1 )(1 3 )

2i(4 i 12i 3)

17 10

22 14i

170

11 7i85 85z

Exercice

• Simplifier les nombres complexes suivants : a. 3i 34i
b. 1i i c. (2 i)(3 i) 4i d. 43i
i1 e. 53i
(4 i)(1 3i) f. (5 2i)(2 3i) (i 3)(3i 4) g. 7i 2i h. 1i3 1i i. 3 1i 1i j. 2

1i3.1i

méthode 16

Nombres complexes

3Pour montrer qu"un nombre complexe est réel

Pour montrer qu'un nombre complexe est réel, on montre que : soit sa partie imaginaire est nulle, • soit qu'il est égal à son conjugué, • soit son argument est congru à 0 modulo •

Exemple

Soit i i

1ei1ez

avec 2Z. M ontrer que z est un nombre réel.

On a :

i i ii ii i i i i 1ei1e e1e ie1e e1 ie1 1e i1ez z

Donc zz et par suite z est un nombre réel.

Exercices

Ex. 1. • À tout point M d'affixe 1z, on associe le point 'M d'affixe

1'1zzz

. Établir que '1 1z z est réel. Ex. 2. • Démontrer que, quels que soient les nombres complexes ,'zz de module 1 et vérifiant '1 0zz, le nombre

1'zzZzz

est réel. Ex. 3. • Déterminer l'ensemble des nombres complexes z tels que 2 2iz z soit un nombre réel. méthode 17 4

Pour montrer qu"un nombre complexe non nul

est imaginaire pur Pour montrer qu'un nombre complexe non nul est imaginaire pur, on montre que : soit sa partie réelle est nulle, • soit qu'il est égal à l'opposé de son conjugué,• soit son argument est congru à • 2 modulo .

Exemple

Soit 1i2iz . Montrer que z est un imaginaire pur.

On a :

1 i2iz z donc z est un imaginaire pur.

Exercices

Ex. 1. • Déterminer l'ensemble des nombres complexes z tels que 1 1z z soit imaginaire pur Ex. 2. • Déterminer l'ensemble des nombres complexes z tels que 1 iz z soit imaginaire pur. Ex. 3. • À tout point M d'affixe 1z, on associe le point 'M d'affixe

1'1zzz

. Le nombre complexe '1 1z z est-il imaginaire pur ? Ex. 4. • Déterminer l'ensemble des nombres complexes z tels que 23i
2iz z soit imagi- naire pur. méthode 18

Nombres complexes

5Racines carrées d"un nombre complexe

Pour déterminer les racines carrées de

izab, il est préférable de procéder par identification, c'est-à-dire chercher les nombres réels ,xy tels que : 2 (i) ixy ab. L'égalité des parties réelles, des parties imaginaires et des modules permettent d'écrire le système suivant : 22
22 22
2xy a xy b xy ab d'où 2 x et 2 y puis ,xy en utilisant le fait que xy est du signe de b.

Exemple

Calculer les racines carrées de 34iz.

On résout le système suivant :

22

22 2 2

3(1) (): 2 4 (2)

3(4)5(3)xy

Sxy xy

Or (S) est équivalent au système :

2 2

28(1)(3)

24(2)

22(3)(1)x

xy y2 1 0x y xy ou encore 2et 1 () ou

2et 1xy

S xy

Les racines carrées de z sont donc :

1

2iz et

2 2iz.

Exercices

Déterminer les racines carrées des nombres complexes suivants :

Ex. 1. •

12i

Ex. 2. •

4i ;E x. 3. • 1i E x. 4. • 1i3 méthode 19

6Racines n-ièmes d"un nombre complexe non nul

Pour trouver l'ensemble des racines

n-ièmes d'un nombre complexe non nul z, on commence d'abord par le mettre sous forme trigonométrique i ez, ensuite on cherche une racine n-ième de ,z puis on multiplie par les racines n-ièmes de l'unité 2i e k nk u avec 0,1,2,..., 1kn.

Exemple

Trouver les racines 5

e de (1 i)z.

Comme :

i4 (1 i) 2 e , donc une racine 5 e de z est : 1 1i545 0 i 1020
2 e 2 ez d'où les racines 5 e de z sont : 0 2 i20 510 2 e kk k zzu ave c

0,1,2,3,4k.

Exercices

Ex. 1. • Déterminer les racines cubiques de 42(1 i). Ex. 2. • Déterminer les racines cubiques de

42(1i).

Ex. 3. • Déterminer les racines cubiques de 1itan 1itan où R\ (2 1) ,2kkZ E x. 4. • Calculer les racines 4 e du nombre complexe 8( 1 i 3)z.

Ex. 5. • Calculer les racines 5

e du nombre complexe 32iz.

Ex. 6. • Déterminer les racines 4

e du nombre complexe 1i3 1i3z méthode 20

Nombres complexes

7Factorisation d"un polynôme réel

quotesdbs_dbs20.pdfusesText_26

[PDF] produit des racines nième de l'unité

[PDF] exemple de poster scientifique ppt

[PDF] comment présenter un poster scientifique

[PDF] faire une affiche avec photoshop

[PDF] bibliographie numérotée word

[PDF] insérer référence word

[PDF] fonction racine nième exercices pdf

[PDF] style bibliographie word

[PDF] bibliographie word 2016

[PDF] word référence bibliographique

[PDF] citation word

[PDF] exemple d article scientifique en latex

[PDF] bibliographie word mac

[PDF] racine nième excel

[PDF] les 3 postulats de bohr