[PDF] Les fonctions racines nièmes x x e. = = Autrement dit

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Vestiges d"une terminale S - Les fonctions racines nièmes - Un doc de Jérôme ONILLON distribué par la taverne de l"Irlandais(www.tanopah.com)

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A propos de la racine nième

Poser la question de la racine nième d"un nombre réel x, c"est se demander : Existe-t-il un réel t dont la puissance nième est égale à x, c"est-à-dire tel que n x t= Cela revient à s"interroger sur l"existence d"une réciproque g à la fonction n f t t n f t t n Existe-t-il une réciproque g?;x a-t-il un seul antécédent t par f ? t g x x t

Toutes les fonctions puissances (entières)

n f t t où l"exposant n est un entier positif sont définies, continues et dérivables sur ?. Globalement, il en existe de deux types : s.

Celles dont l"exposant n est pair

comme la fonction carré

Celles dont l"exposant n est impair

comme la fonction cube Leur tableau de variation est : Leur tableau de variation est : t 0 n 1 n.t - - 0 + n x f t t 0 t 0 n 1 n.t - + 0 + n x f t t

Dans le cas présent, il est impossible

d"envisager une racine nième pour les réels x négatifs car aucune puissance paire nt n"est négative.

Lorsque x est positif, il a exactement deux

antécédents 1t et

2t par la fonction f.

L"un est négatif, l"autre est positif.

Mais lequel faut-il choisir pour notre

fonction réciproque g ?

Car l"image de x par la fonction g est

unique. C"est le dilemme de la racine carrée.

Nous optons pour l"antécédent positif.

Si n est pair alors la fonction g est définie pour tout réel x 0;? +∞ par : n g x le réel positif ou nul t tel que x t

La fonction f étant continue et strictement

croissante sur ? passant de , elle est une bijection de dans lui- même.

Autrement dit, tout réel x a un unique

antécédent t par la fonction f. Pour tout réel x, il existe un seul réel t tel que n x t f t= =. Notre réciproque g peut être définie sur ?. Si n est impair alors la fonction g est définie pour tout réel x par : n g x le réel t tel que x t Cette fonction g est appelée fonction racine nième . Lorsque n est pair, g n"est définie que sur

0;+∞

. Lorsque n est impair, g est définie sur ?.

Définition de la racine nième d"un réel n est un entier naturel non nul. x est un réel positif ou nul si n est pair ou bien, un réel quelconque si n est impair. La racine nième de x est le réel y tel que

ny x . Ce réel y est noté nx. Par exemple, la racine quatrième de 16 est 2 car 42 16
. Autrement écrit, 416 2

La racine cubique de

27-
est 3- car

33 27- = -

. Autrement écrit, 3

27 3- = -

La racine nième d"un nombre positif est positive, celle de 0 est 0 et celle d"un nombre négatif est négative quand elle existe.

La racine nième vue de la puissance réelle

La racine nième peut s"exprimer au moyen de la puissance réelle. Attention toutefois car cette dernière n"est définie que pour les réels strictement positifs.

Dire que le réel positif

y est la racine nième du nombre positif x signifie que : () n n 1 1 1 .ln x .ln xln yn n n 1 y x ln y ln x n ln y ln x ln y .ln x n e e y e x= ? = ? × = ? =

Théorème : la racine nième d"un réel positif vue de la puissance réelle Pour tout nombre strictement positif x, nous avons :

1 1 .ln x nn nx x e= =

Autrement dit, la racine nième restreinte à

0;+∞

est la fonction puissance (réelle) 1n. ? Etude des variations de la fonction racine nième

Comme la fonction

ln x u x n = est dérivable sur

0;+∞

, de dérivée 1 1 u x n x alors son exponentielle est aussi dérivable sur

0;+∞

. Pour tout x 0;? +∞ 1 11 nn .ln x 1 u xu(x)n nn

1 1 1 x 1 x 1x e u"(x).e .e xn x n x n x n

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Comme n est un entier strictement positif et comme l"exponentielle 11

1 .ln x

1nnx e( )

est une quantité strictement positive alors la dérivée ( )nx′ est toujours positive. Conclusion : la fonction racine nième est strictement croissante sur

0;+∞

? Déterminons la limite de la fonction racine nième en +

Lorsque x tend vers

ln x s"en va vers donc ln xn aussi. Par suite : n x xln xlim x lim expn ? Que se passe-t-il en 0 ? A l"instar de ln, la fonction racine nième est dérivable donc continue sur

0;+∞

Or la fonction racine nième est aussi définie en 0. Nous avons : n0 0= Désormais, se pose la question : la racine nième est-elle continue à droite de 0 ?

Pour le savoir, déterminons la limite de

nx lorsque x tend vers 0 par la droite ?

Quand x se rapproche de 0 par la droite, ()

ln x plonge vers . Par conséquent : n n x 0 x 0ln xlim x lim exp 0 0 n+ + Donc la fonction racine nième est continue en 0 et par conséquent sur

0;+∞

Une autre question surgit alors : la fonction racine nième est-elle dérivable à droite de 0 ?

Déterminons la limite du quotient

n n0 h 0 h+ - lorsque h tend vers

0+. Pour tout

h 0>

11nn nn1n10 h 0 h 0 h 1

h exp 1 .ln h h h nh-+ - - ? ?

Lorsque h tend vers 0 par la droite,

ln h plonge vers Donc 1

1 .ln h

n( )-( )( ) tend vers car comme n 1> alors 1 1 n< donc 1 1 0 n- < . Ainsi : n n h 00 h 0limh+→+ - Donc la fonction racine nième n"est pas dérivable à droite 0 même si elle l"est sur

0;+∞

Conclusion : la fonction racine nième est continue sur

0;+∞

mais est seulement dérivable sur

0;+∞

. Pour tout réel strictement positif x, nous avons : 1 n 1nn 1 1 x x x n n x La racine nième lorsque n est un entier naturel impair Lorsque n est un entier impair, la racine nième est définie sur ?.

Lorsque n est impair, la fonction

nx est impaire. Mais quid de la racine nième ? Pour tout x??, la racine nième de x est le réel y tel que n y x . Nous avons alors : nn nn car n est impair

C"est de la puissance entière

y 1 y 1 y 1 x x Donc y- est le réel dont la puissance nième est égale -x. Ainsi n n x y x- = - = -.

Théorème : imparité et racine nième d"un réel négatif vue de la puissance réelle Lorsque n est un entier naturel impair alors la fonction racine nième est impaire et :

n n n n

Pour tout réel strictement positif x... P

our tout réel strictement négatif x... x est alors une quantité négative x est alors u1 1x x exp .ln x ou x x exp .ln x n n ne quantité positive Deux visions de la racine nième d"un réel négatif

Du fait de son imparité et du théorème, la fonction racine nième a les propriétés suivantes :

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