[PDF] [PDF] lintégrale de Dirichlet - CPGE Brizeux





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1. Préliminaires La convergence de lintégrale impropre ? +? dt est

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12 mars 2020 l'intégrale de Dirichlet. Soit f : R+ ? C une fonction continue telle que la fonction F : x ??. ? x. 0 f(t) dt soit bornée.



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Peter-Gustav Dirichlet : mathématicien allemand (1805-1859). Travaux en théorie des nombres et séries de Fourier. Page 2. 3 Calcul de l'intégrale de 



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Problème 1 – Calcul de l'intégrale de Dirichlet. 1. (a) Puisque sin t ? t en 0 lim dt est bien définie en tant qu'intégrale d'une fonction continue.



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5) I est bien définie en tant qu'intégrale d'une fonction continue sur un segment



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dt. Voici le plan de la démonstration: 1. Montrer la convergence de l'intégrale. 2. Etudier F et montrer qu'elle vaut une certaine fonction usuelle que l 



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L'intégrale de Dirichlet ? +?. 0 sinx x dx est semi-convergente et vaut ?. 2 . Démonstration. Commençons par monter que la fonction x ? sinx.



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SUR LA COMPLETION PAR RAPPORT A UNE. INTÉGRALE DE DIRICHLET. L. HÔRMANDER et J. L. LIONS. Introduction. Soit ? un ouvert quelconque de Iin et ?>(?) l'espace.



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SUR L'INTEGRALE DE DIRICHLET. ?. MALGRANGE. Cet article a uniquement pour objet quelques remarques simples sur l'article précédent [2].



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On rappelle que l'intégrale de Dirichlet est définie par I = ?. R+ sin(t) t dt. Théorème 1 I = ?. 2 . Preuve : Etape 1 : semi convergence de l'intégrale.



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5) I est bien définie en tant qu'intégrale d'une fonction continue sur un segment je peux aussi la considérer comme une intégrale sur [0 ?/2[ !



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Jérôme Von Buhren http://vonbuhren free Calcul de l'intégrale de Dirichlet L'objectif de ce problème est de calculer la valeur de l'intégrale suivante



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c) En déduire que l'intégrale I est convergente 2 Soit x ? R Dans cette question on détermine une primitive de la fonction t ? sin(t)e?xt



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Intégrale de Dirichlet Il s'agit ici de calculer l'intégrale de Dirichlet en utilisant les théorèmes classiques d'intégration Lemme 1

:

MathsDM 15

x 0 f(t)dt???? ??????? +1 aF(t)t

2dt????Z

+1 af(t)t Z +1 af(t)t dt=Z +1 aF(t)t

2dtF(a)a

Z +1

0sin(t)t

dt??Z +1 0sin 2(t)t Z +1

0sin(t)t

dt=Z +1 0sin 2(t)t 2dt +1 0

L(f) :x2R+7!Z

+1 0 f(t)extdt

0?????x???? ????+1?

???? f:t2R+7!11 +t2? y

00+y=1x

(E) ??????C2?? ???????

8x2]0;+1[; 0(x)cos(x) +0(x)sin(x) = 0

??????? ??? ???? ???? ???????(x) =Z +1 x f

1(t)dt??(x) =Z

+1 x f ?? ??????? ? ??Z +1

8x >0;L(f)(x) =acos(x) +bsin(x) +Z

+1

0sin(t)x+tdt

Z +1

0sin(t)x+tdt???? ????0?????x???? ????+1?? ?? ??????? ??? ???? ????x >0?? ?

L(f)(x) =Z

+1

0sin(t)x+tdt

Z +1 1 sin(t)x+tsin(t)t dt???? ????0?????x???? ????0+? ?? ??????? ??? lim x!0+Z +1

0sin(t)x+tdt=Z

+1

0sin(t)t

dt Z +1

0sin(t)t

dt=2 ??????? ??n?????

MathsDM 15

M. Roger??????? ? ???

??t7!F(t)t 2= O1t 2 aF(t)t 2dt t7!f(t)t Z b af(t)t dt=F(t)t b a +Z b aF(t)t 2dt Z +1 af(t)t dt=F(a)a +Z +1 aF(t)t 2dt ??+1? ?????x7!Z x 0

8[a;b]R+;Z

b asin(t)t dt=1cos(t)t b a +Z b a1cos(t)t 2dt ?????1cos(t) = 2sin2(t)? ?? ? ????

8[a;b]R+;Z

b asin(t)t dt=1cos(t)t b a + 2Z b asin

2(t=2)t

2dt

8[a;b]R+;Z

b asin(t)t dt=1cos(t)t b a + 2Z b=2 a=2sin 2(u)u 2du

?? ?????? ?? ?????? ????? ??? ?????? ?????a!0?? ?????b!+1? ?? ?? ?? ?? ???? ?? ??????? ??? ?????? ?????? ??

???R+????Z+1

0sin(t)t

dt=Z +1 0sin 2(t)t 2dt ?8t2R+; x7!f(t)ext??? ?? ??????C1???R+?? ???????k?????x7!(t)kf(t)ext? ??????? ??n?????

MathsDM 15

8k2N;L(f)(k):x7!Z

+1 0 (t)kf(t)extdt x n!+1?? ?? ???? ?????gn:t7!f(t)exnt? ?8n; gn2C0(R+)? +1?? lim x!+1L(f)(x) = 0 ??????C1???R+??

8x >0;L(f)00(x) =Z

+1 0 t2f(t)extdt

8x >0;L(f)00(x) +L(f)(x) =Z

+1 0 (t2+ 1)f(t)extdt=Z +1 0 extdt=1x g

0=sin+cos; g00=cossin0sin+0cos

g

00+g=0sin+0cos

0(x)cos(x) +0(x)sin(x) = 0

0(x)sin(x) +0(x)cos(x) =1x

0(x) =sin(x)x

??0(x) =cos(x)x x 1 +1 1 +1 x h(t)dt??? ????? ????? ??? (x) =Z +1 xsin(t)t dt??(x) =Z +1 xcos(t)t dt ?? ???? ???? ???????f1(t) =sin(t)t ??f2(t) =cos(t)t h(x) = cos(x)Z +1 xsin(t)t dtsin(x)Z +1 xcos(t)t dt=Z +1 xsin(tx)t dt h(x) =Z +1

0sin(u)x+udu

??????? ??n?????

MathsDM 15

y

9a;b=8x >0;L(f)(x) =acos(x) +bsin(x) +Z

+1

0sin(t)x+tdt

8a >0;Z

a

0sin(t)x+tdt=

cos(t)x+t a 0 Z a

0cos(t)(x+t)2dt

8a >0;Z

a

0sin(t)x+tdt1x

+1x+a +Z a

0dt(x+t)221x

+1x+a Z +1

0sin(t)x+tdt2x

lim x!+1Z +1

0sin(t)x+tdt= 0

?????L(f)??? ????? ?? ?????? ????? ??+1? ?? ?? ??????? ???lim ??? ??????(2n)??(2n+=2)? ?? ?? ?????? ???a=b= 0?? ???? ???

8x >0;L(f)(x) =Z

+1

0sin(t)x+tdt

sin(t)x+tsin(t)t =xsin(t)t(x+t)

8t1;sin(t)x+tsin(t)t

jxj1t 2 lim x!0+Z +1 1 sin(t)x+tsin(t)t dt= 0 1 0 sin(t)x+tsin(t)t dtZ 1

0xx+tdt=x(ln(x+ 1)ln(x))

lim x!0Z +1

0sin(t)x+tdt=Z

+1

0sin(t)t

dt ?? ???? ??? ? ?????? L(f)(x)???? ????Z +1

0sin(t)t

Z +1

0sin(t)t

dt=L(f)(0) =Z +1

0dt1 +t2=2

??????? ??n?????quotesdbs_dbs22.pdfusesText_28
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