Chapitre 1. Ensembles et applications.
18 fév. 2013 6) R? = l'ensemble des nombres réels non nuls. Terminologie de la théorie des ensembles. Si x est un élément d'un ensemble A ...
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Théorie des ensembles et des applications. Logique. Exercice 1 [ 01481 ] [Correction]. Décrire les parties de R dans lesquelles évoluent x pour que les
Cours : Ensembles et applications
tous les ensembles et E est un élément de cet ensemble ; le E de droite est considéré sera la notion d'application (ou fonction) entre deux ensembles.
Chapitre 1 : ENSEMBLES APPLICATIONS RELATIONS
Le lecteur intéressé par V étude axiomatique de la logique et de la théorie des ensembles pourra consulter les ouvrages spécialisés consacrés à cette question.
ALGÈBRE Cours et Exercices Première Année LMD
L'application f est donc bijective de E dans F. Page 38. 38. CHAPITRE 2. ENSEMBLES ET APPLICATIONS. Lorsqu'une application est bijective
SMIA 1 Module dAlgèbre 1 : Langage de la Théorie des Ensembles
2.6.1 Image directe d'un ensemble par une application . La théorie des ensembles qui porte le nom de théorie ZFC (Zermelo + Fraenkel +.
Notions de théorie des ensembles
Une application est aussi parfois appelée une fonction mais certains auteurs réservent le terme fonction au cas où le but Y est un ensemble de nombres
Vocabulaire de la logique des ensembles et des applications
C'est dans les années 1870 qu'il fonde cette théorie en lien avec son compatriote. Richard Dedekind et qu'il définit la notion de cardinal pour les ensembles
Théorie des ensembles flous : une application à lassurance
Théorie des ensembles flous : une application à l'assurance indicielle au Burkina Faso. Abel Tiemtore. Volume 85 Number 3-4
Chapitre 2 - Théorie des ensembles
On note cet ensemble Df Dom(f) ou Dom f. Définition 2.11. Une fonction f de E dans F dont le domaine de définition est E
Chapitre 1. Ensembles et applications.
()February 18, 2013 1 / 47Table des mati`eres
1Ensembles: introduction
2Ensembles finis
()February 18, 2013 2 / 471. Ensembles: introduction
D´efinition
On appelleensembleune collection des objets. Ces objets sont appel´esles´el´ementsde l"ensemble.
Exemples
1)= l"ensemble de tous les nombres entiers positifs.
2)= l"ensemble de tous les nombres entiers relatifs.
3)= l"ensemble des nombres rationnelsm
n,mn,n= 0.4)= l"ensemble des nombres r´eels.
5)+= l"ensemble des nombres r´eels positifs.
6)= l"ensemble des nombres r´eels non nuls.
Terminologie de la th´eorie des ensembles
Sixest un ´el´ement d"un ensembleA, on ecritxA. Si non, on ´ecrit xA. Par exemple 2,2 3. ()February 18, 2013 3 / 47 On peut d´efinir un ensemble par la liste de ses ´el´ements. Par exemple, l"ensemble contenant le seul ´el´ement 0 est not´e0. L"ensemble contenant trois ´el´ements 123 est not´e par123. Une autre fa¸con de d´efinir un ensemble c"est d"indiquer la propri´et´e `a laquelle v´erifient tous les ´el´ements de cet ensemble et seulement ces´el´ements. L"ensemble de tous les ´el´ements v´erifiant propri´et´ePest not´e
xP.Exemple
l"ensemble de tous les nombres naturels strictement sup´erieurs`a 2 est not´e xx2D´efinition
L"ensemble ne contenant aucun ´el´ement est appel´el"ensemble videet not´e ()February 18, 2013 4 / 47D´efinition
SoitEFdes ensembles. Si chaque ´el´ement deEest aussi un ´el´ement de F, on dit queEestune partie (ou sous-ensemble)deFet on ´ecritEF. SiEFetE=Falors on dit queEest unsous-ensemble propredeE et on ´ecritEF.Exemples
1). 2).3) quel que soit un ensembleEon a:EetEE.
Pour un ensembleA, l"ensemble de tous les sous-ensembles deAest not´e 2AouP(A).
Exemple
SoitA=01. Les sous-ensembles deAsont,A,0,1donc
P(A) =0101.
()February 18, 2013 5 / 47D´efinition
SoitABdes ensembles. L"ensemble qui contient tous les ´el´ementsqui appartiennent `a la fois `aAet `aBest appel´el"intersection de ABet not´e AB.Autrement dit (xAB)((xA) et (xB)).
Exemple
01 21=1
D´efinition
SoitABdes ensembles. L"ensemble des ´el´ementsxtels quexAou xBest appell´ela r´eunion de A et Bet not´eAB.Exemple
On note parl"ensemble de tous les nombres entiers n´egatifs (y compris0). On a alors=et=0.
()February 18, 2013 6 / 47D´efinition
SiAEsont des ensembles, alors l"ensemblexExAest appel´e compl´ementaire de A dans E, et not´eEA.SiAE, l"ensembleEAest not´e aussiCA.
Exemple
Quel que soit un ensembleEon a:C=EetCE=.
R`egles de calcul
Intersection et r´eunion sont commutatives:
AB=BA,AB=BA,
et associatives:A(BC) = (AB)C,A(BC) = (AB)C
On a:AA=AA=A,A=,A=A.
()February 18, 2013 7 / 47Proposition
A(BC) = (AB)(AC)(l"intersection est distributive par rapport `a la r´eunion).D´emonstration.On va montrer d"abord que
A(BC)(AB)(AC).
SixA(BC), alorsxAetxBouxC. DoncxAet
xBou bienxAetxC. Autrement ditxABou xAC. Ce qui est ´equivalent `ax(AB)(AC). De la mˆeme fa¸con, on v´erifie que (AB)(AC)A(BC). Donc chacun de deux ensembles de notre ´enonc´e fait partie de l"autre.Cela veut dire qu"ils sont ´egaux.?
Exercice
Montrer queA(BC) = (AB)(AC)
()February 18, 2013 8 / 47Proposition
Soit E un ensemble et A, BE. Alors CAB=CACBet
CAB=CACB.
D´emonstration.Nous avons
xCAB (xAB) (xA)(xB)Par la loi de De Morgan on a
(xA)(xB) (xA) (xB) La derni`ere assertion est ´equivalente `a (xCA)(xCB), d"o`u xCABxCAB La d´emonstration de la deuxi`eme formule est similaire.?D´efinition
SoitABdes ensembles. L"ensemble de tous les couples ordonn´es (xy) tels quexA,yBest appell´ele produit cart´esiendeAetB, not´e AB. ()February 18, 2013 9 / 47Exemple
A=,B=alorsAB=est identifi´e avec le plan euclidien. (faire le dessin!) NB. L"ordre de deux composantes d"un couple est important: (xy)= (yx) comme on le voit sur le dessin.Remarque
Nous avons d´ecrit quelques proc´edures pr´ecises qui permettent de construire des nouveaux ensembles `a partir des ensembles d´ej`a existants. Il se trouvent que toutes les fa¸cons de construire des ensembles ne sont pas bonnes. On peut montrer par exemple quel"ensemble de tous les ensembles n"existe pas, c"est-`a-dire l"hypoth`ese de l"existence de cet ensemble m`ene `a une contradiction. ()February 18, 2013 10 / 47Applications
D´efinition
SoitABdes ensembles. Une loi qui associe `a chaque ´el´ementxdeAun unique ´el´ementydeBest appell´eeapplicationoufonctiondeAdansB.On ´ecrit
f:ABouAf?? B Pour un ´elementxAl"´el´ement deBqui lui est associ´e est not´ef(x), et on ´ecritx??? f(x). L"´el´ementf(x) est appel´el"image de x par fetx est ditl"ant´ec´edentdef(x).Exemples
1)f??d´efinie par la formulef(x) = sin(x) est une application de
dans. L"´el´ement 0a un nombre infini d"ant´ec´edents, notamment, pour toutkle nombrekest un ant´ec´edent de 0.2) La formulef(n) =n2d´efinit une application dedans lui-mˆeme.
()February 18, 2013 11 / 47 Dans les exemples pr´ec´edents les fonctions ont ´et´e d´efinies par des formules (polynˆomiales, trigonom´etriques etc.); ce n"est pas un seul moyen de d´efinir des fonctions comme le montre l"exemple suivant.Fonction de Dirichlet::?,
(x) = 1six (x) = 0sixD´efinition
Soitf:A?Bune application. Le sous-ensemble
(xf(x))xA ABest ditle graphe de fet not´e Γf.Exemples
1) Soitf:la fonction donn´ee par:f(x) =x. Alors son graphe Γf
est une ligne droite dans le plan euclidien2, notamment la bissectrice de l"angle droit form´e de deux axes de coordonn´ees. (faire les dessins!)2) Soitf:la fonction donn´ee par:f(x) = 0. Alors son graphe Γf
est l"axe des abscisses. ()February 18, 2013 12 / 47D´efinition
Soitf:A??Bg:B??Cdes applications. L"application deA dansCqui associe `a chaquexAl"´el´ementg(f(x)) deCest appel´ee l"application compos´ee(o`u simplementla compos´ee) defetg, et not´ee gf.Exemple
Soitf:l"application d´efinie par la formulef(x) =x3. Alors pour l"applicationg=ffon ag(x) = (x3)3=x27.Exercice
Calculerfgo`ufg:R+R+sont les applications suivantes:1)f(x) =xg(x) =1
x;2)f(x) =1
xg(x) =1x;3)f(x) =1
xg(x) =1x2. ()February 18, 2013 13 / 47Remarque
En g´eneralfg=gfmˆeme sifgsont des applications d"un ensemble Adans lui-mˆeme. Par example, sif(x) =x3g(x) = 2x(des applications dedans) on a (fg)(x) = 8x3(gf)(x) = 2x3D´efinition
SoitAun ensemble, etBA. L"application qui `a chaque ´el´ementxB associexlui-mˆeme consid´er´e comme un ´el´ement deAest appel´ee l"application inclusion. SiB=Acette application est appel´eel"application identit´edeAet not´eeIdA.D´efinition
Soitf:ABune application, etAA. La compos´ee de l"application inclusion et defest appel´eela restriction de f sur Aet not´ee fA:AA.C"est-`a-dire (fA)(x) =f(x) pour toutxA.
()February 18, 2013 14 / 47D´efinition
Une applicationf:A?Best diteinjectivesi
f(x) =f(y) =(x=y) (c"est-`a-dire sizBadmet un ant´ec´edent dansA, alors cet ant´ec´edent est unique.)D´efinition
Une applicationf:A?Best ditesurjectivesi:
zBxAtel quef(x) =z (c"est-`a-dire chaquezdansBadmet un ant´ec´edent dansA).Exemples
1)f(x) = sin(x) n"est pas injective carf(0) =f() = 0 et n"est pas
surjective carxsin(x)?1. ()February 18, 2013 15 / 472) En revanche, la fonctionh:?[?1;1] d´efinie parh(x) = sin(x) est
surjective.3) La fonctiong:?g(n) =n2est injective mais elle n"est pas
surjective (v´erifiez!).Graphe d"une fonction surjective:
pour chaqueyla droitelyintersecte le graphe Γf. (faire les dessins!)Graphe d"une fonction f injective:
Chaque droitelyintersecte Γfune fois maximum.
D´efinition
Une application qui est injective et surjective est ditebijective(ouune bijection). Doncfest bijective si et seulement si chaqueyBadmet un unique ant´ec´edent dansA. ()February 18, 2013 16 / 47Exemples
1)f:?f(x) =?xest bijective (car chaqueyadmet un
unique ant´ec´edent par rapport `af, notamment?y).2) On va construire une bijection???
. Posons (x) = x2sixest pair;
x+12sixest impair
V´erifions queest injective.
Supposons que(x) =(y) alors
si(x)?0 alorsxest pair,yaussi etx2=y2, soitx=y.
si(x)0 alorsxetysont impairs et?x+12=?y+12=x=y.
V´erifions queest surjective.
Soitnalorsn=(2n), 2n.
Soitmm0. Alorsm=(?2m?1) o`u?2m?1.
()February 18, 2013 17 / 47Remarque
L"ensembleest un sous-ensemble propre de, c"est-`a-dire, et =. Cependant on a ´etabli une bijection entreetce qui veut dire quecontient "autant d"´elements" que.3) L"application
f: [01][02];f(t) = 2t est une bijection. ( Rappelons que [ab] =xa?x?b. ) En effet, montrons d"abord quefest injective. Sif(x) =f(y), alors2x= 2yce qui impliquex=y. Montrons maintenant quefest surjective.
Soity[02]. Posonsx=y2, alorsx[01] etf(x) = 2x=y.
Exercice
Soitabnombres r´eels etab. Montrer que l"application g: [01][ab];f(t) =a+t(b?a) est bijective. ()February 18, 2013 18 / 47D´efinition
Soitf:A?Bune application.
SoitXA, alors le sous-ensemble
yBy=f(x)pour unxX est appel´el"image de X par f, not´eImX. L"image deAest not´e aussi parIm(f).fest surjective si et seulement siIm(f) =Y.
SoitYB, le sous-ensemble
xAf(x)Y est appel´el"image r´eciproque de Y par fnot´ef1(Y). ()February 18, 2013 19 / 47Exemple
Soitf:?,f(x) =x2. AlorsIm(f) =Im() =+et
f1(1) =?1;1.
Proposition
1) La compos´ee de2applications injectives est injective.
2) La compos´ee de2applications surjectives est surjective.
3) La compos´ee de2applications bijectives est bijective.
D´emonstration.1) SoitAf??
Bg??Co`ufgsont des
applications injectives. Pour montrer quegfest injective, supposons que (gf)(x) = (gf)(y), pourxyA. Alorsg(f(x)) =g(f(y)). Puisquegest injective, cela implique f(x) =f(y). De plus,f´etant injective, on d´eduitx=y.Donc (gf) est injective.
2) SoitAf??
Bg??C, o`ufgsont des applications surjectives.
SoitzC. L"applicationg´etant surjective, il existeyBtel que g(y) =z. ()February 18, 2013 20 / 47 De plus,f´etant surjective, il existexAtel quef(x) =y. Finalementz=g(y) =g(f(x)) = (gf)(x) et l"applicationgfest surjective.3) d´ecoule de 1) et 2).?
D´efinition
(Rappel). SoitAun ensemble. On noteIdAl"applicationAAd´efinie parIdA(x) =x. On l"appellel"application identit´e.Proposition
Soit f:A?B une application. Alors f est bijective si et seulement si ilquotesdbs_dbs6.pdfusesText_12[PDF] Théorie économique et psychologique des finances publiques - Érudit
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