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What is the basic introduction to matrices?
Matrix is an arrangement of numbers into rows and columns. Make your first introduction with matrices and learn about their dimensions and elements. A matrix is a rectangular arrangement of numbers into rows and columns. For example, matrix A has two rows and three columns.
What are the types of matrix PDF?
Following are the types of matrices:
Row Matrix. If a matrix has just one row, we will call it a row matrix. Column Matrix. Column matrix is like a row matrix but with some changes. Square Matrix. Zero Matrix. Upper Triangular Matrix. Lower Triangular Matrix. Diagonal Matrix. Scalar Matrix.
Types of Matrices
A row matrix has only one row but any number of columns. A column matrix has only one column but any number of rows. A square matrix has the number of columns equal to the number of rows. A matrix is said to be a rectangular matrix if the number of rows is not equal to the number of columns.

MATRICES(INTRODUCTION)

Michel Rigo

Premiers bacheliers en sciences mathématiques

October 7, 2009

champKfixé une fois pour toutes matricem×nà coefficients dansK

A=(((a

11···a1n......

a m1···amn))) L'élément de la matriceAse trouvant à lai-ième ligne et à la j-ième colonne : A= L'ensemble des matricesm×nà coefficients dansK: Kmn

SoitA?Kmn,mest lahauteurdeAetnsalargeur.

La matriceAest

?horizontalesimn, ?carréesim=n, ?rectangulairesim?=n.

A= (aij)etB= (bij)de formem×nsont

égalessiaij=bij

pour tousi? {1,...,m}etj? {1,...,n}.

EXEMPLE

La matrice horizontaleAdeQ23définie par

11=1,a12=2,a13=3/4,a21=0,a22=-1 eta23=5 est

A=?1 2 3/4

0-1 5?

EXEMPLE

La matrice verticaleBdeR32définie paraij=i-jest

B=((0-1

1 0 2 1))

EXEMPLE(MATRICE DEHILBERT)

H= (hij)deRnndéfinie par

h ij=1 i+j-1.

Sin=4, alors

H=((((1 1/2 1/3 1/4

1/2 1/3 1/4 1/5

1/3 1/4 1/5 1/6

1/4 1/5 1/6 1/7))))

SiA= (aij)est une matrice carrée

Diagonale principaleai,i- diagonale secondaireai,n-i+1

On dit queAestdiagonalesiaij=0 dès quei?=j.

A=diag(λ1,...,λn).

La matriceAest

triangulaire supérieuresiaij=0 dès quei>j

0? ? ?

0 0? ?

0 0 0?

(resp. triangulaire inférieure)

EXEMPLE

Considérons la matrice carréeA?Rnndéfinie par a ij=iδij.

C'est une matrice diagonale de la forme

(1 0···0 0 2 .......0

0···0n))))))

=diag(1,2,...,n). Lamatrice nullem×nest la matrice dont tous les éléments sont nuls. On la note 0 m,nou même 0 simetnsont sous-entendus. La matrice identitéde dimensionnest la matrice diagonale I

Une matricem×1 est appelée

vecteur colonne. L'ensemble de ces vecteurs se noteKm.

De même, une matrice 1×nest appelée

vecteur ligne.

L'ensemble de ces vecteurs se noteKn.

OPERATIONS SUR LES MATRICES

MULTIPLICATION SCALAIRE

Soientλ?KetA?Kmn.K×Kmn→Kmn

Siλ,μ?Ket siA?Kmn, alors

1A=A,

λ(μA) = (λμ)A.

EXEMPLE

3((1 0 32π0

0 0-1))

=((3 0 96 3π0

0 0-3))

ADDITION

SoientA,B?Kmn.+ :Kmn×Kmn→Kmn

EXEMPLE

?1 23 4? +?-1 3 0 2? =?0 53 6?

SiA,B,C?Kmn, alors

(A+B) +C=A+ (B+C)

A+B=B+A

A+0=0+A=A.

(Kmn,+)est un groupe commutatif.

Siλ,μ?Ket siA,B,C?Kmn, alors

(λ+μ)A=λA+μA,

λ(A+B) =λA+λB

K m nest un espace vectoriel surK. SoientA1,...,Ar?Kmnetλ1,...,λr?K. Une expression de la former? j=1λ iAi=λ1A1+···+λrAr est appelée une combinaison linéairedes matricesA1,...,Ar.

Les scalairesλ1,...,λrsont les

coefficientsde cette combinaison.

MULTIPLICATION

Le produit de deux matricesAetBn'est défini que si le nombre de colonnes deAest égal au nombre de lignes deB.

SoientA?KmnetB?Kn?.

AB=? n?k=1a ikbkj?

EXEMPLE

?1 0-1

2 2 0?

(1 0 0 1 -1 3 0 0

0 2 1-1))

=?1-2-1 2

0 6 0 2?

I)Siλest un scalaire et siA?Kmn,B?Kn?, alors

(λA)B=A(λB) =λ(AB). II)Le produit matriciel est bilinéaire, i.e., siA,BetCsont des matrices etλ,μdes scalaires, alors (λA+μB).C=λAC+μBC

A.(λB+μC) =λAB+μAC

où l'on suppose que les produits matriciels ont un sens. III)Le produit matriciel est associatif :?A?Kmq,B?Kqp, C?Kpn

A(BC) = (AB)C.

IV)SiA?Kmn, alors

0 ?,mA=0,A0n,?=0 etImA=A,AIn=A. [(AB)C]ij=p?k=1(AB)ikCkj p?k=1? q? ?=1A i?B?k? C kj=p?k=1q ?=1A i?B?kCkj.

De plus,

[A(BC)]ij=q? ?=1A i?(BC)?j q? ?=1A i?p k=1B ?kCkj=q? ?=1p k=1A i?B?kCkj.

On conclut en permutant les sommes.

AIn=A:

(In)ij=δij. Dès lors, (AIn)ij=n?k=1a ikδkj=aij.

REMARQUE

Vérifier que le produit de deux matrices carrées de même dimension et diagonales (resp. triangulaires supérieures, triangulaires inférieures) est encore une matrice diagonale (resp. triangulaire supérieure, triangulaire inférieure).

REMARQUE

Le produit de matrices carrées n'esten général pas commutatif ?0 11 0?? 0 1 0 0? =?0 00 1? et ?0 10 0?? 0 1 1 0? =?1 00 0?

Deux matrices carréesAetB

commutentsiAB=BA Puisque le produit matriciel est associatif, on peut définirla puissancen-ième d'une matrice carréeAde dimensionk, n>0, par A n=A...A? nfois.

Sin=0, on poseA0=Ik.

Si les matricesAetBsont carrées de même dimension et commutentalors, (A+B)n=n? k=0C k nAkBn-k.

Par contre, siAetB

ne commutent pas +An-2B2+···+Bn.

Par exemple, siAetBne commutent pas, alors

(A+B)3=A3+A2B+ABA+BA2+B2A+BAB+AB2+B3 et (A+B)4=A4+A3B+A2BA+ABA2+BA3+A2B2 +ABAB+BA2B+AB2A+BABA+B2A2+··· ?Toute matrice carréeAcommute avec 0 etI. En effet,

A0=0A=0 etAI=IA=A.

?Les puissances d'une même matrice carréeAcommutent.

Soientp,q?N. Il vient

A pAq=AqAp. Par conséquent, siλ0,λ1,...,λretμ0,μ1,...,μssont des scalaires et siAet une matrice carrée, alor commutent. ?Deux matrices diagonales (de même dimension)commutent et diag(λ1,...,λr)diag(μ1,...,μr) =diag(λ1μ1,...,λrμr). ?Il existe des matricesA,Btelles queBA=-AB(dans ce cas, on dit que les matrices sontanticommutatives). Par exemple, ?1 00-1?? 0-1 1 0? =-?0-1 1 0?? 1 0 0-1? ?Le produit de deux matrices peut être nul sans qu'aucundes facteurs ne soit nul. Par exemple, 1i i-1? 2 =0,((0 1-1 -1 0 1

1-1 0))

(1 1 11 1 11 1 1)) =0.

TRANSPOSITION

Latransposéede la matriceA= (aij)?Kmnest la matrice ?A?Knmdont les lignes sont les colonnes deA, ?A)ij=aji. A=A, (λA+μB)?=λ?A+μ?B, (AB)?=?B?A.

EXEMPLE

A=?1 23 4?

?A=?1 32 4? SiAest une matrice carrée telle que?A=A, alors on dit queA est symétrique. En d'autres termes,Aest symétrique siaij=aji pour tousi,j. Si ?A=-A, alorsAest dite antisymétrique. Dans ce cas, a ij=-ajipour tousi,j. OPÉRATIONS SPÉCIFIQUES AUX MATRICES COMPLEXES On peut associer à la matrice complexeA= (aij), les matrices suivantes ?la partie réelle deA:(ReA)ij=Reaij, ?la partie imaginaire deA:(ImA)ij=Imaij, ?lamatrice conjuguéedeA:(A)ij=aij, ?lamatrice adjointedeA: A ?=˜¯A=¯˜A, autrement dit,(A?)ij= aji.

EXEMPLE

A=?1+i2 1-i

0π3+2i?

on a

ReA=?1 2 10π3?

,ImA=?1 0-1

0 0 2?

A=?1-i2 1+i

0π3-2i?

,A?=((1-i0 2π

1+i3-2i))

A=ReA+iImAA=ReA-iImA

ReA=1

2(A+A)ImA=12i(A-A)

A=A(A?)?=A

Une matrice carréeAest

hermitiennesiA?=A.

Elle est

antihermitiennesiA?=-A. SiAest hermitienne (resp. antihermitienne), alors ses éléments diagonaux sont réels (resp. imaginaires purs).

SOUS-MATRICES

Considérons les entiersi1,...,iretj1,...,jstels que A

On dit que cette matrice est une

sous-matricedeA.

EXEMPLE

A=((1 2 3 45 6 7 89 10 11 12))

On a par exemple,

A (1,2;1,3)=?1 35 7? ,A(1;1,2,3,4)=?1 2 3 4? A (1,2,3;3)=((37 11)) on appellesous-matrice diagonaledeA, une sous-matrice deA pour laquelle on a sélectionné des lignes et des colonnes de même indice dansA. A (i1,...,ik;i1,...,ik). les éléments de la diagonale principale deA(i1,...,ik;i1,...,ik)sont des éléments de la diagonale principale deA. ?1 39 11?

MATRICES COMPOSÉES

SiL1,...,Lm?Kn(resp.C1,...,Cn?Km) sont les lignes

(resp. colonnes) deA?Kmnalors

A=(((L

1... L m))) =?C1···Cn?. une matricemi×nj. (A

11···A1s......

A r1···Ars))) Les matricesAijsont lesmatrices partiellesde la matrice composée.

EXEMPLE

C1=((123))

,C2=((456)) ,C3=((789))

La matrice composée(C1C2C3)est

(1 4 72 5 83 6 9))

EXEMPLE

A11=?1 23 4?

,A12=?56? ,A21=?7 8?,A22=?9?. (1 2 5 3 4 6

7 89))

SoientA1,...,Ardes matrices carrées de dimensions respectivesn1,...,nr. On peut construire la matrice composée diagonale diag(A1,...,Ar) =(((A 1... A r))) Cette matrice est une matrice carrée de dimension ?rj=1nj.

EXEMPLE

A1=?1 23 4?

,A2=?5 67 8? La matrice composée diagonalediag(A1,A2)est la matrice (1 2 0 0 3 4 0 0

0 05 6

0 0

7 8))))

Les opérations sur les matrices composées peuvent s'exprimer en termes de leurs matrices partielles

SiAetBsont des matrices composées

telles quer=t,s=uet pour tousi,j,AijetBijont même forme, alors Le produit de deux matrices composées peut s'effectuer lignes de matrices partielles par colonnes de matrices partielles condition que la division des lignes de la première soit identique à la division des colonnes de la seconde Si sont telles ques=tet que les produitsAikBkjont un sens, alors AB=? s?k=1A ikBkj? On dit parfois qu'on effectue le produit "grosse ligne par grosse colonne".

EXEMPLE

11a12a13

a 21a22
a23 a31a32a33)) (b 11b12 b

21b22b31b32))

a11a12 a

21a22??

b11b12 b

21b22?

+?a13 a 23?
?b31b32? a31a32??b11b12 b

21b22?

+?a33??b31b32?)))) (a

11b11+a12b21+a13b31a11b12+a12b22+a13b32

21b11+a22b21+a23b31a21b12+a22b22+a23b32

a Dans le cas particulier oùL1,...,Lmsont les lignes deA?Kmn etC1,...,Crles colonnes deB?Knr, alors

Enfin, si

quotesdbs_dbs14.pdfusesText_20

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What is the basic introduction to matrices?

What are the types of matrix PDF?

Following are the types of matrices:

Types of Matrices

MATRICES(INTRODUCTION)

Michel Rigo

Premiers bacheliers en sciences mathématiques

October 7, 2009

A=(((a

11···a1n......

SoitA?Kmn,mest lahauteurdeAetnsalargeur.

La matriceAest

A= (aij)etB= (bij)de formem×nsont

égalessiaij=bij

EXEMPLE

La matrice horizontaleAdeQ23définie par

11=1,a12=2,a13=3/4,a21=0,a22=-1 eta23=5 est

A=?1 2 3/4

0-1 5?

EXEMPLE

B=((0-1

EXEMPLE(MATRICE DEHILBERT)

H= (hij)deRnndéfinie par

Sin=4, alors

H=((((1 1/2 1/3 1/4

1/2 1/3 1/4 1/5

1/3 1/4 1/5 1/6

1/4 1/5 1/6 1/7))))

SiA= (aij)est une matrice carrée

On dit queAestdiagonalesiaij=0 dès quei?=j.

A=diag(λ1,...,λn).

La matriceAest

0? ? ?

0 0? ?

0 0 0?

EXEMPLE

C'est une matrice diagonale de la forme

0···0n))))))

Une matricem×1 est appelée

De même, une matrice 1×nest appelée

L'ensemble de ces vecteurs se noteKn.

OPERATIONS SUR LES MATRICES

MULTIPLICATION SCALAIRE

Soientλ?KetA?Kmn.K×Kmn→Kmn

Siλ,μ?Ket siA?Kmn, alors

λ(μA) = (λμ)A.

EXEMPLE

3((1 0 32π0

0 0-1))

0 0-3))

ADDITION

SoientA,B?Kmn.+ :Kmn×Kmn→Kmn

EXEMPLE

SiA,B,C?Kmn, alors

A+B=B+A

A+0=0+A=A.

Siλ,μ?Ket siA,B,C?Kmn, alors

λ(A+B) =λA+λB

Les scalairesλ1,...,λrsont les

MULTIPLICATION

SoientA?KmnetB?Kn?.

EXEMPLE

2 2 0?

0 2 1-1))

0 6 0 2?

I)Siλest un scalaire et siA?Kmn,B?Kn?, alors

A.(λB+μC) =λAB+μAC

A(BC) = (AB)C.

IV)SiA?Kmn, alors

De plus,

On conclut en permutant les sommes.

AIn=A:

REMARQUE

REMARQUE

Deux matrices carréesAetB

Sin=0, on poseA0=Ik.

Par contre, siAetB

Par exemple, siAetBne commutent pas, alors

A0=0A=0 etAI=IA=A.