APPLICATIONS DE LA DERIVATION
DERIVATION. I. Application à l'étude des variations d'une fonction Si la dérivée f ' de f s'annule et change de signe en un réel c de I alors f admet un.
Première S Exercices dapplications sur la dérivation 2010-2011 1
Exercices d'applications sur la dérivation. 2010-2011. 1. Exercice 1. Déterminer l'ensemble de définition de f puis étudier ses variations.
Exercices : Applications de la dérivation
Exercices : Applications de la dérivation. Activité 1 : Parmi ces trois fonctions laquelle est susceptible d'avoir pour dérivée la fonction.
Applications de la dérivation dArbogast. - Formule générale pour le
DAVID. Applications de la dérivation d'Arbogast. - Formule générale pour le changement de la variable indépendante. Journal de mathématiques pures et
Applications `a la dérivation
Applications `a la dérivation. Exercice 1 -. Soit f une fonction définie et dérivable sur [-10 ; 10] et dont le tableau de variations est donné ci-contre.
Dérivation - Applications de la dérivation
Dérivation - Applications de la dérivation. CORRECTION. 1. ROC. Si u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I alors la fonction uv est
Introduction `a la dérivation fractionnaire Théorie et applications
Mar 29 2010 Introduction `a la dérivation fractionnaire. Théorie et applications. François Dubois. 1.
Première ES Cours applications de la dérivation 1 I Signe de la
Cours applications de la dérivation. 1. I Signe de la dérivée et variations d'une fonction. Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.
Dérivation et intégration Partie II : Applications de classe Ck
II.1 Opérations sur les applications de classe C1. Proposition (Linéarité de la dérivation). C1(IE) est un sous-espace vectoriel de l'espace C(I
IE3 applications dérivation 2017-2018
IE3 applications de la dérivation. 2017-2018 S1. 1. Exercice 1 : (8 points). On donne ci-dessous la courbe représentative d'une fonction f définie sur
APPLICATIONS DE LA DERIVATION - maths et tiques
Pour tout x de ??0;+??? on a : f'(x)0?f estcroissante f '(x)=0?f estconstante f '(x)
Comment fonctionne la dérivation?
- Dans la pratique, la dérivation est réalisée sous forme filtrée : +1 Un filtre de constante de temps est donc inséré. Ce filtre, en plus de résoudre le problème de la causalité, atténue les divers bruits se propageant dans l'architecture à rétroaction.
Comment faire des exercices sur la dérivation ?
- Et si vous cherchez des exercices sur la dérivation et que vous êtes dans le supérieur, c’est à cet endroit qu’il faut aller. Commençons par les cas les plus simples : les fonctions puissances et les fonctions issues de l’exponentielle : 1, x, x n, la fonction inverse ou une puissance quelconque.
Comment utiliser la dérivatisation ?
- Elle est par exemple fréquemment utilisée pour des analyses d’hydrocarbures. On peut aussi l’employer pour analyser des mélanges de composés qui ne sont à la base pas très volatils : acides gras, composés phénoliques légers, acides terpéniques… Il faut alors avoir recours à une technique particulière, la dérivatisation. D’abord, un peu de théorie.
Quels sont les exercices d'application sur la dérivation?
- Première S Exercices d'applications sur la dérivation 2010-2011 1 Exercice 1 Déterminer l'ensemble de définition de f puis étudier ses variations. 1) f(x) = 2x + 1 – 2 x - 3 2) f(x) = 2x² + 8x + 2 x² + 2x + 1 3) f(x) = 1 2x - 3 Exercice 2 : équation f(x) = 0
Exercice 1 : (8 points)
On donne ci-dessous la courbe représentative d'une fonction f définie sur l'intervalle [-7;7] et quelques une de ses tangentes.1) Par lecture graphique, donner les valeurs de f(-5), f(4), f'(-5) et f'(4).
2) Résoudre sur l'intervalle [-7;7] les équations f(x) = 0 et f'(x) = 0.
3) Résoudre sur l'intervalle [-7;7] les inéquations f(x) > 0 et f'(x) > 0.
Exercice 2 : (7 points)
Soit f la fonction définie sur [-2;3] par f(x) = -2x3 + 5x² + 4x + 11) Etudier les variations de la fonction f sur l'intervalle [-2;3].
On dressera le tableau de variations de f sur [-2;3] en indiquant les valeurs exactes des extrema.2) En déduire le minimum et le maximum de f sur l'intervalle [-2;3].
Exercice 3 : (5 points)
Un camion doit effectuer régulièrement un trajet de 1500 km. Lorsqu'il roule à la vitesse moyenne v, exprimée en km/h, sa consommation C, exprimée en litres pour 100 km, est donnée par la relation :C(v) = 300
v + v 4 Le salaire horaire du chauffeur est de 26 euros et le litre de gasoil coûte 2 euros. a) Montrer que le prix de revient P du voyage peut s'exprimer en euros sous la forme :P(v) = 48 000
v + 7,5v b) Quelle doit être la vitesse moyenne v pour minimiser le prix de revient du trajet ? Donner alors le prix de revient minimal correspondant et la durée du trajet. Première L-ES1 IE3 applications de la dérivation 2017-2018 S2 2Exercice 1 : (8 points)
On donne ci-dessous la courbe représentative d'une fonction f définie sur l'intervalle [-6;6] et quelques une de ses tangentes.
1) Par lecture graphique, donner les valeurs de f(-4), f(2), f'(-4) et f'(2).
2) Résoudre sur l'intervalle [-6; 6] les équations f(x) = 0 et f'(x) = 0.
3) Résoudre sur l'intervalle [-6; 6] les inéquations f(x) < 0 et f'(x) < 0.
Exercice 2 : (7 points)
Soit f la fonction définie sur [-2;1] par f(x) = 2x3 + x² - 4x + 11) Etudier les variations de la fonction f sur l'intervalle [-2;1].
On dressera le tableau de variations de f sur [-2;1] en indiquant les valeurs exactes des extrema.2) En déduire le minimum et le maximum de f sur l'intervalle [-2;1].
Exercice 3 : (5 points)
Un camion doit effectuer régulièrement un trajet de 2000 km. Lorsqu'il roule à la vitesse moyenne v, exprimée en km/h, sa consommation C, exprimée en litres pour 100 km, est donnée par la relation :C(v) = 230
v + v 5 Le salaire horaire du chauffeur est de 21 euros et le litre de gasoil coûte 2 euros. a) Montrer que le prix de revient P du voyage peut s'exprimer en euros sous la forme :P(v) = 51 200
v + 8v b) Quelle doit être la vitesse moyenne v pour minimiser le prix de revient du trajet ? Donner alors le prix de revient minimal correspondant et la durée du trajet. Première L-ES1 IE3 applications de la dérivation 2017-2018 S1CORRECTION
3Exercice 1 : (8 points)
On donne ci-dessous la courbe représentative d'une fonction f définie sur l'intervalle [-7;7] et quelques une de ses tangentes.1) Par lecture graphique, donner les valeurs de f(-5), f(4), f'(-5) et f'(4).
2) Résoudre sur l'intervalle [-7;7] les équations f(x) = 0 et f'(x) = 0.
3) Résoudre sur l'intervalle [-7;7] les inéquations f(x) > 0 et f'(x) > 0.
1) f(-5) = 4 et f(4) = 0.
f'(-5) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse -5. f'(-5) = -1 f'(4) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse 4. f'(4) = 3 22) f(x) = 0 x = -3 ou x = 4
Les solutions de l'équation f'(x) = 0 sont les abscisses des points de la courbe correspondants aux extrema de f. f'(x) = 0 x = 0 ou x = 73) f(x) > 0 x [-7;3[ ]4;7].
f'(x) > 0 correspond aux intervalles sur lesquels la fonction f est croissante. f'(x) > 0 x ]0;7[. Première L-ES1 IE3 applications de la dérivation 2017-2018 S1CORRECTION
4Exercice 2 : (7 points)
Soit f la fonction définie sur [-2;3] par f(x) = -2x3 + 5x² + 4x + 11) Etudier les variations de la fonction f sur l'intervalle [-2;3].
On dressera le tableau de variations de f sur [-2;3] en indiquant les valeurs exactes des extrema.2) En déduire le minimum et le maximum de f sur l'intervalle [-2;3].
1) Etudier les variations de f revient à étudier le signe de sa dérivée.
f en tant que fonction polynôme est dérivable sur [-2;3]. f'(x) = -23x² + 52x + 4 = -6x² + 10x + 4 = 2(-3x² + 5x + 2) Le discriminant de l'équation -3x² + 5x + 2 = 0 est : = b² - 4ac = 5² - 4(-3)2 = 25 + 24 = 49 = 7² Comme > 0, l'équation -6x² - 10x + 4 = 0 admet deux solutions distinctes : x1 = -b +2a = -5 + 7
2(-3) = - 1
3 et x2 = - b -
2a = -5 7
-6 = 2 Comme a = -3 < 0, alors -3x² + 5x + 2 0 si x -13 ; 2 .
Donc f est décroissante sur -2; - 1
3 , croissante sur -1
3 ; 2 et décroissante
sur [2;3]. De plus, f(-2) = -2(-2)3 + 5(-2)² + 4(-2) + 1 = -2(-8) + 54 8 + 1 f(-2) = 16 + 20 7 = 16 + 13 = 29 f - 13 = -2
- 1 3 3 + 5 - 1 3² + 4
- 13 + 1 = -2-1
27 + 51
9- 4 3 + 1 f - 1 3 = 227 + 5
9 - 43 + 1 =2 + 53 - 49 + 27
27 = 2 + 15 36 + 27
27 = 8
27 0,296
f(2) = -223 + 52² + 42 + 1 = -28 + 54 + 8 + 1 = -16 + 20 + 9 = 13 f(3) = -233 + 53² + 43 + 1 = - 227 + 59 + 12 + 1 = -54 + 45 + 13 = 4 On en déduit le tableau de variations suivant de la fonction f sur [-2;3] : x f' f(x) -2 29-1/3 8/27 2 13 3 4 Première L-ES1 IE3 applications de la dérivation 2017-2018 S1
CORRECTION
52) Sur l'intervalle [-2;3], le minimum de f est 8
27 et le maximum est 29.
Exercice 3 : (5 points)
Un camion doit effectuer régulièrement un trajet de 1500 km. Lorsqu'il roule à la vitesse moyenne v, exprimée en km/h, sa consommation C, exprimée en litres pour 100 km, est donnée par la relation :C(v) = 300
v + v 4 Le salaire horaire du chauffeur est de 26 euros et le litre de gasoil coûte 2 euros. a) Montrer que le prix de revient P du voyage peut s'exprimer en euros sous la forme :P(v) = 48 000
v + 7,5v b) Quelle doit être la vitesse moyenne v pour minimiser le prix de revient du trajet ? Donner alors le prix de revient minimal correspondant et la durée du trajet. a) La durée du trajet de 1500 km à la vitesse v, est t = 1500 v.Le salaire du chauffeur sera donc 261500
v = 39 000 v. La consommation en litres pour 1500 km (1500 = 15 100) sera de :15C(v) = 15
300v + v 4
Et comme
Première L-ES1 IE3 applications de la dérivation 2017-2018 S1CORRECTION
6 215300
v + v
4= 9 000
v + 7,5vLe prix de revient est alors P(v) = 39 000
v + 9 000 v + 7,5v = 48 000 v + 7,5v. b) Pour minimiser le prix de revient du trajet, il faut étudier les variations de la fonction P. Etudier les variations de la fonction P revient à étudier le signe de sa dérivée.P est dérivable sur l'intervalle ]0; + [.
P'(x) = - 48 000
v² + 7,5P'(x) = 0 - 48 000
v² + 7,5 = 0 v² = 48 0007,5 = 6 400 = 80²
v = - 80 ou v = 80Seule la solution positive 80 convient ici.
On en déduit le tableau des variations suivant de la fonction P sur ]0;+ [ : m = P(80) = 48 00080 + 7,580= 600 + 600 = 1 200
Conclusion : Pour minimiser les coûts, la vitesse moyenne doit être 80 km/h et le prix de revient minimal est alors 1 200La durée du trajet est alors de : 1 500
v = 1 50080 = 18,75 h = 18 h et 45 min
v P' P(v) 0 80m Première L-ES1 IE3 applications de la dérivation 2017-2018 S1
CORRECTION
7 Première L-ES1 IE3 applications de la dérivation 2017-2018 S2CORRECTION
8Exercice 1 : (8 points)
On donne ci-dessous la courbe représentative d'une fonction f définie sur l'intervalle [-6; 6] et quelques une de ses tangentes.1) Par lecture graphique, donner les valeurs de f(-4), f(2), f'(-4) et f'(2).
2) Résoudre sur l'intervalle [-6; 6] les équations f(x) = 0 et f'(x) = 0.
3) Résoudre sur l'intervalle [-6; 6] les inéquations f(x) < 0 et f'(x) < 0.
1) f(-4) = 0 et f(2) = 2.
f'(-4) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse -4. f'(-4) = 4 3 f'(2) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse 2. f'(2) = -12) f(x) = 0 x = -4 ou x = 3
Les solutions de l'équation f'(x) = 0 sont les abscisses des points de la courbe correspondants aux extrema de f. f'(x) = 0 x = 0 ou x = 6 Première L-ES1 IE3 applications de la dérivation 2017-2018 S2CORRECTION
93) f(x) < 0 x [-6;-4[ ]3;6].
f'(x) < 0 correspond aux intervalles sur lesquels la fonction f est décroissante. f'(x) < 0 x ]0;6[.Exercice 2 : (7 points)
Soit f la fonction définie sur [-2;1] par f(x) = 2x3 + x² - 4x + 11) Etudier les variations de la fonction f sur l'intervalle [-2;1].
On dressera le tableau de variations de f sur [-2;1] en indiquant les valeurs exactes des extrema.2) En déduire le minimum et le maximum de f sur l'intervalle [-2;1].
1) Etudier les variations de f revient à étudier le signe de sa dérivée.
f en tant que fonction polynôme est dérivable sur [-2;1]. f'(x) = 23x² + 2x - 4 = 6x² + 2x - 4 = 2(3x² + x - 2) Le discriminant de l'équation 3x² + x - 2 = 0 est : = b² - 4ac = 1² - 432) = 1 + 24 = 25 = 5² Comme > 0, l'équation 3x² + x - 2 = 0 admet deux solutions distinctes : x1 = -b -2a = -1 5
23 = - 1 et x2 = - b +
2a = -1 + 5
6 = 2 3 Comme a = 3 > 0, alors 3x² + x - 2 0 si x -1 ; 2 3 . Donc f est croissante sur [-2; -1], décroissante sur -1 ; 23 et croissante sur
23 ; 1 .
De plus, f(-2) = 22)3 + (-2)² - 42) + 1 = -28 + 4 + 8 + 1 = -16 + 13 = -3 f(-1) = 2(-1)3 + (-1)² - 4(-1) + 1 = -2 + 1 + 4 + 1 = 4 f 2 3 = 2 2 3 3 2 3² - 4
23 + 1 = 28
27 + 4
9- 83+ 1 = 16 + 43 - 89 + 27
27f 2
3 = 16 + 12 72 + 27
27 = - 17
27f(1) = 213 + 1² - 41 + 1 = 2 + 1 - 4 + 1 = 0 On en déduit le tableau de variations suivant de la fonction f sur [-2;1] : x f' f(x) -2 -3quotesdbs_dbs14.pdfusesText_20
[PDF] Apprendre par cœur
[PDF] Apprendre un texte (poème) par cœur
[PDF] Apprendre une leçon
[PDF] Apprendre une poésie
[PDF] Approche de la proportionnalité (1)
[PDF] Approche de la proportionnalité (2)
[PDF] Are you sleeping?
[PDF] As, a, et à ; es, est et et
[PDF] Aspects énergétiques liés aux réactions nucléaires
[PDF] Associer les questions posées à l’énoncé
[PDF] Astrophysique : Comment déterminer la nature de la matière qui entoure une étoile ?
[PDF] At the cinema
[PDF] At the circus
[PDF] Au zoo