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Vecteurs et colinéarité.
Angles orientés et trigonométrie
Table des matières
1 Rappels sur les vecteurs2
1.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Opérations sur les vecteurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Colinéarité de deux vecteurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4 Géométrie analytique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Équation cartésienne d"une droite5
2.1 Vecteur directeur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.2 Équation cartésienne d"une droite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.3 Équation réduite d"une droite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3 Angles orientés7
3.1 Le radian. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.2 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
3.3 Mesure d"un angle orienté. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3.4 Propriétés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
4 Trigonométrie9
4.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4.2 Tableau des angles remarquables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4.3 Relations trigonométriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4.4 Équations trigonométriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
4.5 Lignes trigonométrie dans le cercle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
PAUL MILAN1PREMIÈRE S
TABLE DES MATIÈRES
1 Rappels sur les vecteurs
1.1 Définition
Définition 1 :Un vecteur?uou-→AB est défini par :une direction (la droite (AB)).
un sens (de A vers B)
Une longueur : la norme du vecteur
?u?ou AB Égalité de deux vecteurs-→AB=--→CD si et seulement si ABDC est un parallélogramme. ?A? B C? D1.2 Opérations sur les vecteurs
1.2.1 Somme de deux vecteurs
La somme de deux vecteurs est définie par la relation de chasles : --→AC=-→AB+-→BCCette relation permet de décomposer
un vecteur.On a l"inégalité triangulaire :
?u+?v????u?+??v? ?u? v u+?v A? B CConstruction de la somme de deux vec-
teurs de même origine.On effectue un parallélogramme, afin
de reporter le deuxième vecteur per- mettant d"appliquer la relation deChasles.
--→OA+-→OB ?O? A B? CPropriété 1 :La somme de deux vecteurs :
Est commutative :?u+?v=?v+?u
Est associative :(?u+?v) +?w=?u+ (?v+?w) =?u+?v+?w Possède un élélment neutre?0 :?u+?0=?u tout vecteur possède un opposé-?u:--→AB=-→BAPAUL MILAN2PREMIÈRE S
1. RAPPELS SUR LES VECTEURS
1.2.2 Multiplication d"un vecteur par un scalaire
Lorsqu"on multiplie un vecteur par un
réelk, appelé scalaire, le vecteur ainsi formék?uest tel que :Sa longueur est multiplié par|k|
Sik>0 son sens est inchangé
Sik<0 son sens est inversé.
Sik=0 on a : 0?u=?0
32-→AB
-2-→ABB A Propriété 2 :Bilinéarité. La multiplication par un scalaire est distributive par rapport à l"addition de deux vecteurs ou la somme de deux réels.k(?u+?v) =k?u+k?v(k+k?)?u=k?u+k??v
1.3 Colinéarité de deux vecteurs
Définition 2 :On dit que deux vecteurs?uet?vsont colinéaires, si et seulement si, il existe un réelktel que :?v=k?u Remarque :Le vecteur nul?0 est colinéaire à tout vecteur car :?0=0?u Propriété 3 :La colinéarité permet de montrer le parallélisme et l"alignement. -→AB et--→CD colinéaires?(AB)//(CD) -→AB et--→AC colinéaires?A, B, C alignésExemple :Voir figure ci-contre :
Soit ABC un triangle, E, I et F tels que :
AE=13-→BC ,-→CI=23-→CB et
AF=13--→AC .
Démontrer que I, E et F sont alignés
A B CE I F Exprimons-→EI et-→EF en fonction de-→AB .-→CI=2
3-→CB donc-→BI=13-→BC .
On en déduit que
-→AE=-→BI donc que AEIB est un parallélogramme. On a alors :-→EI=-→ABPAUL MILAN3PREMIÈRE S
TABLE DES MATIÈRES
De plus :-→EF=-→EA+-→AF=13-→CB+13--→AC=13(--→AC+-→CB) =13-→AB
On en déduit alors :
-→EF=13-→EI . Les vecteurs-→EF et-→EF sont colinéaires et donc
les points E, F et I sont alignés.1.4 Géométrie analytique
Propriété 4 :Mis à part les calculs de distance qui exige un repère orthonormé, les formules suivantes sont valable dans tout repère. Soit deux points A(xA;yA)et B(xB;yB), les coordonnées du vecteur-→AB vérifient :-→AB=?xB-xA;yB-yA? Soit deux points A(xA;yA)et B(xB;yB), les coordonnées du milieu I du seg- ment [AB] vérifient :I=?xB+xA
2;yB+yA2?
On appelle déterminant de deux vecteurs?u(x;y)et?v(x?;y?), le nombre : det(?u,?v) =????x x? y y =xy?-x?y Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si, leur déterminant est égale à 0 uet?vcolinéaires?det(?u,?v) =0 Dans un repère orthonormal, la norme d"un vecteur?uet la distance entre les points A(xA;yA)et B(xB;yB)vérifient : ?u||=? x2+y2et AB=?(xB-xA)2+ (yB-yA)2 Exemples :Dans un repère orthonormé(O,?ı,??)1) Soit A(1; 4) et B(-5; 2). Calculer les coordonnées de-→AB de I =m[AB] et la
longueur AB -→AB= (-5-1 ; 2-4) = (-6 ;-2)et I =?1-52;4+22?
= (-2 ; 3) AB = (-6)2+ (-2)2=⎷40=2⎷102) On donne
?u(2 ; 3)et?v(3 ; 4). Les vecteurs?uet?vsont-ils colinéaires? det(?u;?v) =????2 33 4???? =8-9=-1. Comme det(?u;?v)?=0 les vecteurs ne sont pas colinéaires.Dans un repère quelconque
ABCD est un parallélogramme. M, N, Q sont tels que : --→DM=45--→DA ,--→AN=34-→AB ,--→CQ=23--→CD
PAUL MILAN4PREMIÈRE S
2. ÉQUATION CARTÉSIENNE D"UNE DROITE
La parallèle à (MQ) menée par N coupe BC en P. Déterminer le coefficientkde colinéarité tel que-→BP=k--→AD .Faisons une figure, en prenant comme
repère(A;-→AB ,--→AD): D"après l"énoncé les coordonnées de M,N et Q sont :
M 0;1 5? , N?34;0? , Q?13;1?P est sur (BC), son abscisse est 1.
A B CD ?M N? QP? ? ?
De plus commekest tel que :-→BP=k--→AD , son ordonnée vautk.Les coordonnées de P sont : P(1;k)
Comme (NP)//(MQ), le déterminant de
--→MQ et--→NP est nul, on a :3-0 1-34
1-15k-0???????
3144 =0 k
3-15=0?k3=15?k=35
2 Équation cartésienne d"une droite
2.1 Vecteur directeur
Définition 3 :Soit une droiteddéfinie par deux points A et B. Un vecteur directeur ?ude la droitedest le vecteur-→AB . Remarque :Le vecteur?un"est pas unique, car 2 points quelconques de la droite définissent un vecteur directeur. Si ?uet?vsont deux vecteurs directeurs de la droited, alors les vecteurs?uet?vsont colinéaires. On a donc det(?u,?v) =0. Exemple :Soit la droite (AB) définie par : A(3 ;-5)et B(2 ; 3)Le vecteur
-→u=-→AB est un vecteur directeur de la droite (AB), on alors : u=(2-3 ; 3-(-5))= (-1 ; 8)quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50[PDF] Angle au centre, angle inscrit, exercice 3ème Mathématiques
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