[PDF] Systèmes dynamiques élémentaires

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Systèmes dynamiques élémentaires

Yves Benoist Frédéric Paulin

1

1 Introduction

Ces notes correspondent à un cours à l"Ecole Normale Supérieure du premier auteur les années 2000-2001 et 2001-2002 et du second auteur en 2002-2003. Nous renvoyons par exemple à l"article [Yoc] ou au livre encyclopédique [KH] pour donner une petite idée de tout ce dont nous ne traiterons pas dans le domaine des systèmes dynamiques. Nous renvoyons à [Sin2, Lect. 1] pour les grandstypes de problèmes qui se posent dans la théorie des systèmes dynamiques. En mécanique classique, on étudie l"évolution au cours du temps de certains systèmes physiques comme une toupie, un gaz, une étoile et ses planètes ... Si, au temps initialt= 0, le système est représenté par un pointxde l"espace des phasesX, alors au tempst, ce système est représenté par un pointft(x). Lorsque les équations différentielles qui régissent ce mouvement sont indépendantes du temps, on a l"égalitéft+t?=ft◦ft?pour toust,t?. On dit quefest un groupe à un paramètre de transformations deX. Lorsque l"on ne dispose pas de formule explicite pourft, on cherche à comprendre le

comportement deft(x)pourtgrand. Une telle étude qualitative a été initiée par Poincaré.

Dans les exemples issus de la mécanique céleste, il arrive souvent, à cause de la conser- vation de l"énergie, que l"espace des phases soit compact etqu"il existe surXune mesure finie invariante parft. Pour clarifier les phénomènes, certains mathématiciens sont sortis du cadre des équa- tions différentielles, en ne gardant que l"espaceXet le groupe à un paramètre de trans- formations(ft)t?R[ système dynamique continu ] ou encore, que l"espaceXet une trans- formationf(par toujours inversible) de l"espaceX[ système dynamique discret ]. Dans ce dernier cas, on s"intéresse au comportement asymptotique des itérationsfndef. Pour mener l"étude qualitative du comportement deft(x)pourtgrand, deux cadres s"avèrent particulièrement bien adaptés : celui de la topologie [ système dynamique topologique ] et celui de la théorie de la mesure [ théorie ergodique ]. Nous étudierons ces deux points de vue et leurs interactions. Bien plus que de clarifier les idées de ce sujet, ces cadres plus larges et plus naturelsont permis leur application à d"autres domaines des mathématiques (théorie des nombres,théorie des groupes). Nous en verrons quelques-unes. Remerciements :Nous remercions C. Wormser pour ses nombreuses correctionssur une première version de ce texte. 2

Table des matières1 Introduction2

2 Exemples fondamentaux6

2.1 Systèmes dynamiques topologiques et mesurables . . . . . .. . . . . . . . . 6

2.2 Systèmes de Kronecker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 8

2.3 Systèmes symboliques ou de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 8

2.4 Mesures de Liouville et systèmes hamiltoniens . . . . . . . .. . . . . . . . . 10

2.5 Billards . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.7 Indications pour la résolution des exercices . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 16

3 Récurrence18

3.1 Récurrence et minimalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 18

3.2 Récurrence multiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 19

3.3 Le théorème de récurrence de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 22

3.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.5 Indications pour la résolution des exercices . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 25

4 Ergodicité27

4.1 Transformations ergodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 27

4.2 Le théorème ergodique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 29

4.3 Mesures invariantes et mesures ergodiques . . . . . . . . . . .. . . . . . . . 31

4.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.5 Indications pour la résolution des exercices . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 36

5 Unique ergodicité38

5.1 Unique ergodicité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 38

5.2 Unique ergodicité des translations sur le tore . . . . . . . .. . . . . . . . . 39

5.3 Equirépartition modulo1de la suiteP(n). . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5.4 Appendice : critère de Weyl et lemme de van der Corput . . . .. . . . . . . 41

5.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.6 Indications pour la résolution des exercices . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 44

6 Mélange45

6.1 Transformations mélangeantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 45

6.2 Transformations linéaires du tore . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 46

6.3 Fractions continues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 48

6.3.1 Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

6.3.2 Ergodicité de la transformation de Gauss . . . . . . . . . . .. . . . 50

6.3.3 Taux de croissance du développement en fractions continues . . . . . 51

6.3.4 Mélange de la transformation de Gauss . . . . . . . . . . . . . .. . . 52

6.4 Mélange des systèmes symboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 53

6.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

6.6 Indications pour la résolution des exercices . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 56

3

7 Stabilité structurelle61

7.1 Le théorème du point fixe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61

7.2 Automorphismes linéaires hyperboliques deRN. . . . . . . . . . . . . . . . 62

7.3 Le théorème de Grobman-Hartman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 65

7.4 Quelques lemmes de relèvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 66

7.5 Stabilité structurelle des automorphismes hyperboliques du tore. . . . . . . 68

7.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

7.7 Indications pour la résolution des exercices . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 70

8 Représentations unitaires71

8.1 SurSLN(R). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

8.2 Représentations unitaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 73

8.3 Ergodicité des quotients deSL2(R)par un réseau . . . . . . . . . . . . . . . 74

8.4 Décroissance des coefficients et mélange . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 75

8.5 Une construction de réseaux uniformes deSL2(R). . . . . . . . . . . . . . . 78

8.6 Interprétation géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 80

9 Entropie métrique84

9.1 Information et entropie d"une partition : définitions . .. . . . . . . . . . . . 84

9.2 Information et entropie d"une partition : propriétés . .. . . . . . . . . . . . 86

9.3 Entropie d"un système dynamique mesurable : définitions. . . . . . . . . . 89

9.4 Entropie d"un système dynamique mesuré : propriétés . . .. . . . . . . . . 90

9.5 L"entropie comme fonction de la mesure . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 92

9.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

9.7 Indications pour la résolution des exercices . . . . . . . . .. . . . . . . . . . 94

10 Entropie topologique95

10.1 Recouvrements ouverts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 95

10.2 Entropie topologique : définition . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 96

10.3 Entropie topologique : propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 98

10.4 Le principe variationnel : première inégalité . . . . . . .. . . . . . . . . . . 99

10.5 Le principe variationnel : seconde inégalité . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 100

10.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

10.7 Indications pour la résolution des exercices . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 103

11 Sous-décalages de type fini106

11.1 Systèmes de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .106

11.2 Chaînes de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .109

11.3 Mesure de Parry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

11.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

11.5 Indications pour la résolution des exercices . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 120

12 Codage130

12.1 Variétés stables, lemme de pistage et lemme de fermeture . . . . . . . . . . 130

12.2 Partition de Markov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 132

12.3 Un codage sur le toreT2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

12.4 Constructions de partitions de Markov . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . 138

12.5 Entropie des automorphismes hyperboliques du tore . . .. . . . . . . . . . 140

4

12.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

12.7 Indications pour la résolution des exercices . . . . . . . .. . . . . . . . . . . 142

Index143

Bibliographie147

5

2 Exemples fondamentaux

Nous donnons quelques exemples fondamentaux de systèmes dynamiques (voir aussi [KH, CFS, PY]). Ils nous serviront de motivation et d"illustration tout au long de ce cours. D"autres exemples seront introduits et développés dans deschapitres ultérieurs. Certains sont les archétypes de comportement de systèmes dynamiques, dont l"étude générale est renvoyée aux références.

2.1 Systèmes dynamiques topologiques et mesurables

Donnons dans ce paragraphe un petit peu de vocabulaire. Sif:X→Xest une application etxun point deX, on appelleorbite (positive)dex l"ensemble{fn(x)/ n≥0}. Sifest bijective, l"orbitedexest l"ensemble{fn(x)/ n?Z}. On prendra bien garde de ne pas confondre, lorsqueXest un groupe multiplicatif, les notations ambigüesfn(x) =f◦...◦f(x)etf(x)n=f(x)×...×f(x). Une partieAdeXest diteinvarianteparf(ouf-invariante) sif(A)?A. Dans certains ouvrages, cette expression peut aussi signifier par exemple quef-1(A) =A. Le lecteur est invité à bien faire attention au contexte. Unsystème dynamique topologique(à temps discrets) est un couple(X,f)avecXun espace topologique etf:X→Xune application continue. Il est ditinversiblesifest un homéomorphisme. On s"intéresse en particulier au comportement topologique des orbites. Deux systèmes dynamiques topologiques(X,f)et(Y,g)sont(topologiquement) conju- guéss"il existe un homéomorphismeψ:X→Ytel que

ψ◦f=g◦ψ .

Deux transformations continues (topologiquement) conjuguées ont "même dynamique" (to- pologique), au sens suivant : un tel homéomorphismeψenvoie une orbite defdansXsur une orbite degdansY, une orbite périodique defdansXsur une orbite périodique de même période degdansY, une orbite dense defdansXsur une orbite dense degdansY, une orbite récurrente defdansXsur une orbite récurrente degdansY, ... (voir plus loin les définitions d"une orbite périodique ou récurrente). Deux systèmes dynamiques topo- logiques(X,f)et(Y,g)sont(topologiquement) semi-conjuguéss"il existe une application continueψ:X→Ytelle que

ψ◦f=g◦ψ .

(on dit aussi que(Y,g)est unquotientde(X,f)). Soient(X,A,μ)et(Y,B,ν)deux espaces mesurés. Une application mesurablef:X→

Ypréserve la mesuresi

?B? B, μ(f-1(B)) =ν(B). Lorsque(X,A,μ) = (Y,B,ν), on dit aussi que la mesureμestinvarianteparfouf- invariante. Unsystème dynamique mesurable(respectivementmesuré,probabilisé) est un triplet (X,B,f)(respectivement un quadruplet(X,B,μ,f)) avec(X,B)(respectivement(X,B,μ)) un espace mesurable (respectivement mesuré, de probabilité) etf:X→Xune application mesurable (respectivement mesurable et préservant la mesureμ). Il est ditinversiblesif 6 est bijective d"inverse mesurable (respectivement mesurable et préservant la mesureμ). La

théorie ergodiqueest l"étude des systèmes dynamiques mesurables, en s"intéressant surtout

au comportement des (ou de presques toutes les) orbites. Deux systèmes dynamiques mesurables(X,A,μ,f)et(Y,B,ν,g)sont(mesurablement) conjugués(on dit aussiconjugués au sens de la mesure) s"il existe une partieX?(respecti- vementY?) dansX(respectivementY) de mesure totale etf-invariante (respectivement g-invariante), et une bijectionψ:X?→Y?mesurable et préservant la mesure, ainsi que son inverse, telle que ?x?X?, ψ◦f(x) =g◦ψ(x). Deux transformations préservant la mesure, qui sont (mesurablement) conjuguées ont "même dynamique" (mesurable), au sens suivant : une telle applicationψenvoie presque toute orbite defdansXsur une orbite degdansY, une partie mesurable deXdans la- quelle revient presque tout orbite defsur une partie mesurable deYdans laquelle revient presque tout orbite deg, ... . Les notions que nous allons définir dans ce cours (ergodicitéau chapitre 4, mélange au chapitre 6) sont invariantes par conjugaison (i.e. si(X,A,μ,f)et(Y,B,ν,g)sont deux systèmes dynamiques mesurables conjugués, alors l"un est ergodique (respectivement mé- langeant) si et seulement si l"autre l"est). Donnons un critère pratique pour montrer qu"une application préserve la mesure. Rap- pelons d"abord le résultat suivant, que nous admettrons (voir par exemple [CohD],[Neu, page 23]). SoitXun ensemble. Unealgèbre de BooledansXest une partieEdeP(X)contenant

∅, telle que l"intersection de deux éléments deE, et le complémentaire d"un élément deE,

soient des éléments deE. Théorème 2.1 (Théorème de Carathéodory)SoientEune algèbre de Boole de parties d"un ensembleX,Blaσ-algèbre engendrée parEetμ:E →[0,+∞]une application vérifiant i)μestσ-finie surE(i.e.Xest une union dénombrable d"éléments deEde mesure finie pourμ). ii) pour tous les élémentsC1,C2deEtels queC1∩C2=∅, on aμ(C1?C2) =μ(C1)+

μ(C2),

iii) pour toute suite décroissanteCnd"éléments deEtelle queμ(C0)<∞et? n?NCn= ∅, on alimn→∞μ(Cn) = 0. Alorsμse prolonge de manière unique en une mesureσ-finie (encore notéeμ) surB.?

En particulier, si l"applicationμ:E →[0,+∞]vérifieμ(X) = 1, alors son extensionμ

est une mesure de probabilité. Corollaire 2.2Soit(X,B)un espace mesurable. Alors deux mesures sur(X,B), dont au moins une estσ-finie, et qui coïncident sur une sous-algèbre de Boole deB, sont égales.? Rappelons que lamesure imagef?μd"une mesureμpar une application mesurablef: (X,A)→(Y,B)est définie parf?μ(B) =μ(f-1(B))pour toutBdansB. Remarquons que 7 si(X,A,μ)et(Y,B,ν)sont deux espaces mesurés, alors dire qu"une application mesurable f:X→Ypréserve la mesure équivaut à dire que f Notons que sif: (X,A)→(Y,B)etg: (Y,B)→(Z,C)sont deux applications mesurables, alors (g◦f)?μ=g?(f?μ) pour toute mesureμsur(X,A). Corollaire 2.3Soient(X,A,μ)et(Y,B,ν)deux espaces mesurés etf:X→Yune application mesurable. SoitCunesemi-algèbredansB(i.e. une partie deB, contenant∅, telle que l"intersection de deux éléments deC, et le complémentaire d"un élément deC, soient une union finie disjointe d"éléments deC), qui engendre laσ-algèbreB. Siνest σ-finie surCet sifpréserve la mesure surC, i.e. si ?B? E, f-1(B)? Aetμ(f-1(B)) =ν(B), alorsfpréserve la mesure. Démonstration.SoitEl"ensemble des unions finies disjointes d"éléments deC. AlorsEest

une algèbre de Boole, et les mesuresf?μetνcoïncident surE. Par le corollaire précédent,

ces mesures sont égales, doncfpréserve la mesure.?

2.2 Systèmes de Kronecker

SoitKun groupe topologique compact, par exemple le cercleS1={z?C/|z|= 1}. Soitkun point deKetτk:x?→kxla translation (à gauche) park. SoitμKla mesure de Haar (à gauche) deK, normalisée parμ(K) = 1. Rappelons (voir par exemple [Wei, CohD], ainsi que le chapitre 8.1 pourSLNR) que tout groupe topologique localement compact admet une mesure de Radon positive, inva- riante par translation à gauche, unique à scalaire multiplicatif près, appeléemesure de Haar. Par exemple, siK=S1, alorsμKest la mesure, notéedθ, définie par?

Kf dμK=?1

0f(e2iπt)dt.

Alorsτkest continue et préserveμKpar définition. On appellesystème de Krone- ckertout système dynamique topologique(K,τk)ou tout système dynamique mesurable (K,μK,τk).

2.3 Systèmes symboliques ou de Bernoulli

SoitΛ ={1,...,q}unalphabet(i.e. un ensemble) fini que l"on munit de la topologie discrète, par exemple induite par la distance discrète d(a,b) =?1 sia?=b

0 sia=b.

On poseEl"ensembleNouZ. SoitX= ΛE, muni de la topologie produit. Un élément ωdeXest unmoti.e. une suite(ωi)i?E, et on appelleωila i-ème lettre. L"espaceXest compact, et métrisable par exemple par la distance, encore notéed, suivante : d(ω,ω?) = sup i?E1

2|i|d(ωi,ω?i).

8 L"espaceXest homéomorphe à l"espace de Cantor. On noteσ:X→X, et on appelledécalage (à gauche)(et "shift" en anglais) l"applica- tion définie par ?i?E, σ(ω)i=ωi+1. Elle est2-Lipschitzienne (donc continue) pour la distanced: σ(passé= Λ-(N-0))×(présent= Λ)×(futur= ΛN-0) Plus généralement, si(Y,A,ν)est un espace de probabilité, (par exempleY= Λ, A=P(Λ)etνl"équiprobabilitéν({y}) =1 q), notons encoreXl"ensemble produitYE,B laσ-algèbre produitAE, etμlamesure de probabilité produitνE. Rappelons (voir par exemple [CohD, Dud]) queBest laσ-algèbre engendrée par l"al- gèbre de Boole des unions finies disjointes de cylindres deX. Par définition, uncylindre est une partie deXde la forme C m,A0,A1,...,An={(ωi)i?X /?i= 0,...,n, ωm+i?Ai}, avecmdansE,ndansNetAidansA. Notons que la préimage par le décalageσd"un cylindre est un cylindre : -1(Cm,A0,...,An) =Cm+1,A0,...,An. LorsqueYest un alphabet fini, nous appelerons plus précisément cylindre tout tel ensemble avec lesAides singletons (voir paragraphe 11.2), ce qui suffit pour définir la mesure produit. Pour définir la mesure produit, on utilise alors le théorème de Carathéodory rappelé au paragraphe 2.1. On définit une applicationμsur l"algèbre de Boole des unions finies disjointes de cylindres, en posant

μ(Cm,A0,...,An) =n?

i=0ν(Ai). Cette application vérifie les conditions du théorème de Carathéodory 2.1. LorsqueY= Λ est un alphabet fini, la condition iii) du théorème de Carathéodory est automatique- ment satisfaite, car les cylindresCm,A0,...,Ansont des compacts deX, donc la condition? n?NCn=∅assure qu"il existen0tel que, pour toutn≥n0, on aCn=∅. D"où une mesureμsurX. 9 Proposition 2.4La mesureμsurXest invariante par le décalageσ. Démonstration.Les mesuresμetσ?μcoïncident sur les cylindres, donc sur les unions

finies disjointes de cylindres. Le résultat découle alors del"unicité dans le théorème de

Carathéodory (voir paragraphe 2.1).?

On appellesystème de Bernoulli(ousystème symbolique) tout système dynamique topologique(X,σ), ainsi que tout système dynamique mesurable(X,B,μ,σ), construit à partir d"un alphabet finiΛ.

2.4 Mesures de Liouville et systèmes hamiltoniens

SoitF: Ω→Rnun champ de vecteurs de classe C∞sur un ouvertΩdeRn. On considère l"équation différentielle ordinaire dx dt=F(x) surΩ. On noteft(x)la valeur en l"instanttde l"unique solution valantxà l"instant t= 0. On suppose pour simplifier queft(x)est défini pour touttdansR(sinon, ce qui suit reste vrai localement). Alors(ft)t?Rest un groupe à un paramètre de classe C∞de difféomorphismes deΩ(i.e.(t,x)?→ft(x)est de classe C∞,ftest un difféomorphisme de Ωpour toutt,f0=idetft+s=ft◦fspour touss,t). Le résultat suivant donne un critère d"existence d"une mesureft-invariante absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue surΩ. Une telle mesure est appelée une mesure de Liouville. Proposition 2.5 (Théorème de Liouville)Soitλla mesure de Lebesgue surΩ, et

ρ: Ω→[0,+∞[une application de classe C∞. Le flot(ft)préserve la mesureρ dλsi et

seulement si (en notantFkla k-ème coordonnée deF) n k=1∂ ∂xk(ρFk) = 0. Démonstration.On noteC∞c(Ω,R)l"ensemble des applications de classe C∞à support

compact surΩ. Par densité deC∞c(Ω,R)dansL1(Ω,λ), il suffit de montrer que, pour tout

tdansRet tout?dansC∞c(Ω,R), on a ? ρdλ=? ?◦ftρdλ . Commef0=id, il suffit de montrer que, pour tout?dansC∞c(Ω,R), on a d dt? ?◦ftρ dλ? = 0. Commeftest un groupe à un paramètre de difféomorphismes, il suffit de montrer que, pour tout?dansC∞c(Ω,R), on a Ωd dt(?◦ft)|t=0ρ dλ= 0. 10

Or, en notantIl"intégrale ci-dessus,

I=? d?(x).F(x)ρ(x)dλ(x) =? Ωn k=1ρF k∂? ∂xkdλ=? n? k=1∂∂xk(ρFk)? ? dλ .

Le résultat en découle.?

Corollaire 2.6Le flot local d"un champ de vecteurs sur un ouvert deRnpréserve le volume si et seulement si sa divergence est nulle.? En mécanique classique, de nombreux systèmes sont régis parunsystème (d"équa- tions) hamiltonien. SoitΩun ouvert deR2n, de coordonnées(q1,...,qn,p1,...,pn), et H: Ω→Rune application de classe C∞, appelé unhamiltonien. Par exemple, dans le cas de l"attraction universelle,Hest l"énergie totale, somme des énergies potentielle et cinétique,q= (q1,...,qn)la position etp= (p1,...,pn)la quantité de mouvement. Le i dt=∂H∂pi dp i dt=-∂H∂qi. Le flot local d"un système hamiltonien est de divergence nulle, car ∂qi? ∂H∂pi? +∂∂pi? -∂H∂qi? = 0. Donc un flot local d"un système hamiltonien préserve la mesure de Lebesgue surR2n. L"hamiltonien est uneintégrale premièrepour son flot local, i.e. les surfaces de niveau cdéfinies parH=c, pourcune constante, sont invariantes parft. LorsqueΣcest une

sous-variété compacte deΩ, on montre que le flot local surΣcest défini pour tout temps,

et qu"il existe une mesure de probabilité surΣc, qui est invariante par le flot hamiltonien (voir un cours de géométrie différentielle, par exemple [Spi]; la mesure est la mesure rie- manienne pour la métrique riemanienne induite surΣcpar la métrique euclidienne deRn, ou, autrement dit, sidλest la forme volume euclidienne surRn, etXle champ de vecteurs unitaire (pour la norme euclidienne) orthogonal àΣc, alors la forme volume deΣcestquotesdbs_dbs50.pdfusesText_50

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