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UNIVERSITE PARIS 7 - DENIS DIDEROT

U.F.R.de Mathématiques

Ecole doctorale " Savoir scientifique : épistémologie, histoire des sciences, didactique des disciplines » thèse pour obtenir le diplôme de

DOCTEUR DE L'UNIVERSITE PARIS 7

SPECIALITE : DIDACTIQUE DES MATHEMATIQUES

présentée par

CABASSUT Richard

DEMONSTRATION, RAISONNEMENT ET VALIDATION

DANS L'ENSEIGNEMENT SECONDAIRE DES

MATHEMATIQUES EN FRANCE ET EN ALLEMAGNE

Thèse dirigée par M. Bernard PARZYSZ

soutenue le 27 mai 2005 JURY Mme Marie-Jeanne PERRIN Professeur des Universités Présidente

IUFM Nord-Pas-de-Calais.

M. Yves CHEVALLARD Professeur des Universités

IUFM d'Aix-Marseille Rapporteur

M. Bernard PARZYSZ Professeur émérite des Universités

IUFM d'Orléans-Tours Directeur de thèse

Mme Jacqueline ROBINET Maître de Conférences

Université de Paris 7

M. Klaus VOLKERT Professeur des Universités

Université de Cologne Rapporteur

1

Table des matières

0 INTRODUCTION : pourquoi cette recherche ?...............................................................11

0.1 La démonstration dans l'enseignement secondaire...................................................11

0.2 La comparaison franco-allemande............................................................................13

0.3 Un enseignement de la démonstration comme élément de formation générale au

0.4 Preuves chez les élèves et preuves officielles...........................................................15

0.5 Premières questions ..................................................................................................16

0.6 Organisation de la thèse............................................................................................16

1 Cadre théorique et problématique.....................................................................................19

Organisation du chapitre 1....................................................................................................21

1.1 Raisonnement, validation, argumentation, démonstration........................................22

1.1.1 Le choix de la terminologie comme enjeu théorique........................................22

1.1.2 Raisonnement de validation..............................................................................24

1.1.3 Premiers exemples de raisonnement de validation...........................................28

1.1.4 Différentes conceptions de la vérité..................................................................33

1.1.5 Raisonnement de nécessité et raisonnement de plausibilité .............................36

1.1.6 Argumentation et démonstration/preuve...........................................................46

1.1.7 Raisonnement élémentaire de validation ou argument chez Toulmin..............47

1.1.8 Les trois statuts de propositions dans un argument : donnée, règle de

validation, conclusion.......................................................................................................49

1.1.9 Variation de statut dans un argument pour une même proposition ..................55

1.1.10 Absence de règle de validation.........................................................................56

1.1.11 Exemples d' analyses séquentielle et structurelle d'un raisonnement..............59

1.1.12 Analyse structurelle d'un raisonnement de validation......................................62

1.1.13 Analyse séquentielle d'un raisonnement de validation.....................................63

1.1.14 Exemples de types d'arguments non mathématiques .......................................64

1.1.15 Conclusion........................................................................................................73

1.2 L'approche anthropologique.....................................................................................74

1.2.1 La validation : objet de connaissance ? objet de savoir ? objet à enseigner ? ..75

1.2.2 Analyse des validations.....................................................................................85

1.2.3 Fonctions de la validation.................................................................................99

1.2.4 Questions liées au cadre théorique..................................................................108

1.3 Problèmes méthodologiques généraux ...................................................................109

1.3.1 Différentes méthodologies comparatives........................................................109

1.3.2 Comparaison dans des langues différentes.....................................................113

1.3.3 Comparaison dans des institutions différentes................................................125

1.4 Problématique et objets d'étude..............................................................................136

1.4.1 Questions de recherche...................................................................................136

1.4.2 Hypothèses de recherche.................................................................................137

1.4.3 Objets d'études................................................................................................138

1.4.4 Hypothèses de travail......................................................................................140

2

2 Comparaison de réflexions et de recherches sur la validation ou sur la comparaison

Organisation du chapitre 2..................................................................................................142

2.1 Motivation et protocole de l'étude..........................................................................143

2.2 Conceptions de la validation en France :................................................................144

2.2.1 Balacheff.........................................................................................................144

2.2.1.1 Aspect social de la preuve...........................................................................144

2.2.1.2 Typologie de preuves..................................................................................145

2.2.2 Duval...............................................................................................................147

2.2.2.1 Le problème de l'explicitation dans les argumentations.............................147

2.2.2.2 Absence de validité des argumentations.....................................................147

2.2.2.3 Linguistique et discursif..............................................................................149

2.2.2.4 Typologie des pas de raisonnement............................................................150

2.2.2.5 Analyse des exemples de pas de raisonnement...........................................150

2.2.2.6 Registres de représentation sémiotique.......................................................156

2.2.3 Arsac...............................................................................................................157

2.2.4 IREMs de Grenoble et de Rennes...................................................................158

2.2.4.1 La démonstration est un texte.....................................................................158

2.2.4.2 Le rôle de la figure......................................................................................159

2.2.4.3 Faire exister la phase heuristique................................................................159

2.2.4.4 Construire la rationalité pour enseigner la démonstration..........................160

2.3 Conceptions de la validation en Allemagne : .........................................................161

2.3.1 Stein................................................................................................................161

2.3.1.1 Le niveau abstrait de la théorie logique mathématique ..............................161

2.3.1.2 Le niveau de la théorie mathématique........................................................162

2.3.1.3 Le niveau de la théorie organisée localement.............................................162

2.3.1.4 Le niveau de la théorie quotidienne............................................................163

2.3.1.5 Un exemple de preuve du niveau de la théorie quotidienne :.....................164

2.3.2 Holland............................................................................................................164

2.3.2.1 La démonstration mathématique.................................................................165

2.3.2.2 Trois niveaux de preuves............................................................................165

2.3.3 La preuve dans des manuels de didactique.....................................................168

2.3.3.1 Analyse de la preuve, de la justification et de l'argumentation..................168

2.3.3.2 Base d'argumentation, aspect subjectif de la preuve..................................172

2.3.3.3 Pratique de la preuve dans l'enseignement.................................................173

2.3.3.4 Argumentation et démonstration.................................................................173

2.4 Différentes comparaisons franco-allemandes.........................................................174

2.4.1 Image des mathématiques chez les élèves......................................................174

2.4.2 Etude TIMSS ..................................................................................................176

2.4.2.1 Un exemple d'effet de structure..................................................................177

2.4.2.2 Tâches de raisonnement..............................................................................179

2.4.3 La démonstration en classe du théorème de Pythagore (Knipping) ...............180

2.5 Conclusion..............................................................................................................185

2.5.1 Typologie des arguments................................................................................185

2.5.2 Types d'arguments et fonctions des validations.............................................187

2.5.3 Autres informations ........................................................................................191

3

3 Comparaison des programmes d'enseignement et des textes officiels...........................195

Organisation du chapitre 3..................................................................................................196

3.1 Motivation et protocole de l'étude..........................................................................197

3.2 Etude des programmes du Bade-Wurtemberg........................................................198

3.2.1 Etude des programmes de Gymnasium de forme normale à partir de 1971...198

3.2.1.1 Programmes de Gymnasium du Bade-Wurtemberg de 1971 .....................198

3.2.1.2 Programmes de Gymnasium du Bade-Wurtemberg de 1984 .....................202

3.2.1.3 Programmes de Gymnasium du Bade-Wurtemberg de 1994 .....................206

3.2.1.4 Programmes à venir ....................................................................................218

3.2.2 Etude des programmes de Realschule et Hauptchule de 1984 et 1994...........221

3.2.2.1 Programmes de Hauptschule.......................................................................221

3.2.2.2 Programmes de Realschule.........................................................................222

3.2.2.3 Comparaison des occurrences des mots relatifs à la validation..................223

3.3 Etude des programmes français..............................................................................224

3.3.1 Programme français des années 1968 à 1971.................................................225

3.3.1.1 Premier cycle ..............................................................................................225

3.3.1.2 Second cycle ...............................................................................................228

3.3.2 Programme français des années 1977 à 1983.................................................229

3.3.2.1 Premier cycle ..............................................................................................230

3.3.2.2 Second cycle ...............................................................................................231

3.3.3 Programme français des années 1985 à 1992.................................................233

3.3.3.1 Premier cycle ..............................................................................................233

3.3.3.2 Second cycle ...............................................................................................234

3.3.4 Programme français des années 1996 à 2001.................................................236

3.3.4.1 premier cycle...............................................................................................236

3.3.4.2 2

nd

cycle ......................................................................................................244

3.4 Conclusions.............................................................................................................256

3.4.1 La démonstration en Bade-Würtemberg.........................................................256

3.4.2 La démonstration en France............................................................................258

3.4.3 Comparaison franco-allemande......................................................................259

4 Etude de la validation dans des manuels de classe.........................................................263

Organisation du chapitre 4..................................................................................................264

4.1 Motivation et protocole de l'étude..........................................................................265

4.2 La démonstration comme thème d'étude................................................................267

4.2.1 Protocole particulier d'étude...........................................................................267

4.2.2 En France........................................................................................................268

4.2.3 En Bade-Wurtemberg .....................................................................................277

4.2.4 Comparaison...................................................................................................282

4 5

5.4 Analyse des résultats de l'étude..............................................................................386

5.4.1 Statistiques descriptives..................................................................................386

5.4.2 Interprétations et comparaisons statistiques....................................................387

5.4.2.1 Complexité de la démonstration .................................................................387

5.4.2.2 Expansion de la démonstration...................................................................390

5.4.2.3 Structure des arguments..............................................................................391

5.4.2.4 Règles d'argument utilisées........................................................................393

5.4.2.5 Ajout d'une figure.......................................................................................393

5.4.2.6 Ajout de données.........................................................................................393

5.5 Conclusion..............................................................................................................394

6 Conclusion......................................................................................................................401

6.1 Conclusions méthodologiques................................................................................402

6.2 Questions et hypothèses de recherche.....................................................................403

6.2.1 La double transposition et les différents types de validation..........................403

6.2.2 Place de la démonstration : la démonstration objet d'enseignement..............406

6.2.3 Comparaison franco-allemande sur la validation ...........................................408

6.3 Perspectives de recherche.......................................................................................412

6.3.1 Représentation de la démonstration................................................................412

6.3.3 Pratiques de la démonstration.........................................................................413

6.3.4 Apprentissage des élèves ................................................................................413

6.3.5 Cadre théorique...............................................................................................414

6.4 Conclusion..............................................................................................................415

7 Bibliographie.................................................................................................................417

7.1 Articles, livres...........................................................................................................417

7.2 Manuels scolaires......................................................................................................422

7.3 Textes ministériels....................................................................................................422

7.4 Ouvrages de référence (dictionnaires, encyclopédies)..............................................423

8 Annexes...........................................................................................................................425

8.1 La démonstration comme thème d'étude................................................................426

8.1.1 en France.........................................................................................................426

8.1.1.1 Annexe........................................................................................................426

8.1.1.2 Annexe........................................................................................................427

8.1.1.3 Annexe........................................................................................................431

8.1.1.4 Annexe........................................................................................................434

8.1.1.5 Annexe........................................................................................................436

8.1.1.6 Annexe........................................................................................................444

8.1.2 En Bade-Wurtemberg .....................................................................................449

8.1.2.1 Annexe........................................................................................................449

8.1.2.2 Annexe........................................................................................................450

8.1.2.3 Annexe........................................................................................................453

8.1.2.4 Annexe........................................................................................................454

8.1.2.5 Annexe........................................................................................................455

8.2 Copies d'élèves.......................................................................................................460

6

Dédicace

à toi, rêve inachevé,

à toi, parti trop vite en cette année 2001 et qui me manques, à toi, restée, qui m'as montré un chemin,

à toi, à qui je montre un chemin,

à toi, pour ce chemin jusqu'où le ciel rencontre la mer. " Le temps qui passe est un bandit et nous sommes les bagages qu'il emporte » D.P. 7

Remerciements

Le chemin qui a conduit à ces réflexions de didactique des mathématiques est long et les remerciements en conséquence.

Il a débuté sans doute avec les conseils du vieux maître Espinay qui m'avait préparé en

mathématiques au concours d'entrée à l'école normale d'instituteurs, en classe de troisième,

marquant ainsi mon entrée dans la carrière d'enseignant : " N'oublie pas ! Le plus important, c'est d'aimer les élèves ! ». L'importance de ce qui n'est pas mathématiques dans l'enseignement des mathématiques était affirmée.

Puis il y a eu l'IREM

1 de Montpellier, où en 1980, j'ai commencé à réfléchir à la didactique des mathématiques, autour du professeur Charles Roumieu, qui avait mis en place une option de didactique des mathématiques, dans le cadre du DEA 2 de Mathématiques pures et appliquées. L'enseignement secondaire, avec notamment les formidables ressources de l'APMEP 3 , ont nourri cette réflexion. En 1989, dans le cadre d'un DEA de didactique des mathématiques, l'école strasbourgeoise de didactique, autour de François Pluvinage, avec Claire Dupuis, Photis Nobelis, Jean Martinet, Raymond Duval et bien entendu Georges Glaeser, ont consolidé cette réflexion didactique en lui donnant une dimension scientifique. Mon affectation à Strasbourg en 1990 m'a permis de profiter des richesses de l'IREM de Strasbourg, notamment en travaillant dans différents groupes 4 de cet IREM. Les contacts avec les collègues y furent riches et m'ont permis de découvrir d'autres structures 5 , notamment en Allemagne où les rencontres avec Erich Strobel, Klaus Volkert, Dr. Brandt, Dr. Eggs, Georg Lutz, Hans-Jürgen Elschenbroich furent déterminantes, tout comme la collaboration avec l'équipe alsacienne de mathématiques sans frontières. Puis, à partir de 1999, sous l'impulsion de Bernard Parzysz, compagnon de l'APMEP, j'ai découvert la richesse de l'équipe Didirem 6 . Puis vint la découverte d'ARDM 7 . Il est difficile de citer toutes les personnes à qui je suis redevable, mais je remercierai particulièrement

Knipping.

L'IUFM

8 de Strasbourg, avec notamment Alain Kuzniak, Nicole Bopp, Jean-Claude Rauscher, Robert Adjiage, ainsi que les collègues de mathématiques, m'ont accueilli, compensant en partie le difficile éloignement géographique du laboratoire Didirem. Institutionnellement, je veux remercier le Rectorat de Strasbourg, l'IUFM d'Alsace et l'INRP 9 pour leur soutien en terme d'allègement de service.

Comme on le voit, le chemin a été long, et agréable de rencontres. Mais c'est avec satisfaction

que je le termine par ce travail : c'est l'occasion de remercier tous les membres du jury pour

8leur participation, avec d'abord une attention particulière pour Bernard Parzysz, qui m'a

accompagné au cours de ces dernières années. Marie-Jeanne Perrin m'a également soutenu au sein du laboratoire Didirem, malgré l'éloignement de Paris. J'ai découvert les travaux d'Yves Chevallard sur l'anthropologie du didactique en préparant

ma première école d'été de didactique en 2000. J'y ai trouvé un cadre théorique intéressant

pour conduire ma recherche. Je suis donc très heureux de sa participation au jury. Klaus Volkert, que je connais grâce au groupe d'histoire des mathématiques de l'IREM de heureux de sa participation au jury. Enfin je remercie Jacqueline Robinet, de l'Université de Paris 7, pour sa participation au jury. Il faut ici redire ma gratitude à l'Université de Paris 7 de m'avoir accueilli, malgré les contraintes d'éloignement et de disponibilité. 9

Avertissement

Les mentions bibliographiques renvoient à la bibliographie finale avec la convention suivante. Ross [1998, p.252-255, trad. R.C.] signifie : Ross auteur, 1998 année de parution, citation de la page 252 à 255, traduction en français assurée par Richard Cabassut. Les mentions entre crochet [ ] dans une citations désignent des insertions que nous avons introduites pour une meilleure compréhension de la citation. Pour ce qui concerne les citations, essentiellement en allemand, nous avons choisi de les présenter dans leur traduction française pour permettre une lecture fluide du texte. Deux cas se présentent. Soit nous avons traduit nous-même et dans ce cas nous avons cité le texte

original en note. Soit nous avons utilisé une traduction " officielle » (par exemple l'édition en

langue française du livre de Toulmin) ; dans ce cas nous n'avons pas jugé nécessaire de proposer l'original en note. 10 11

0 INTRODUCTION : pourquoi cette recherche ?

0 INTRODUCTION : pourquoi cette recherche ?..............................................................11

0.1 La démonstration dans l'enseignement secondaire..................................................11

0.2 La comparaison franco-allemande...........................................................................13

0.3 Un enseignement de la démonstration comme élément de formation générale au

raisonnement ........................................................................................................................14

0.4 Preuves chez les élèves et preuves officielles..........................................................15

0.5 Premières questions..................................................................................................16

0.6 Organisation de la thèse ...........................................................................................16

La question du " pourquoi » est essentielle dans une recherche, mais également dans un acte d'enseignement, et dans beaucoup d'actes de la vie. Chercher les raisons d'un acte, c'est-à- dire ce qui l'explique, le justifie, le motive, c'est chercher le sens. Cherchons donc des raisons, sachant qu'au cours de la recherche pourront apparaître de nouvelles raisons, non formulées, parce qu'inconscientes, oubliées ou à découvrir. Il y a plus d'une dizaine d'années j'avais commencé l'aventure de la recherche en didactique

des mathématiques avec l'équipe strasbourgeoise, sous la direction de François Pluvinage. La

motivation franco-allemande était déjà forte : j'habitais et je travaillais en Allemagne. Le

thème de mon mémoire de DEA fut : Comparaison de l'enseignement et de l'image des

mathématiques chez des lycéens français et des lycéens allemands [Cabassut 1989]. Puis ce

fut le retour en France et l'aventure s'était mise en sommeil, avec les contraintes et les plaisirs

de la vie professionnelle, et de la vie tout court. Mais le désir de l'aventure se réveillait de

temps à autres. La motivation franco-allemande restait forte. J'en ai parlé à Bernard Parzysz

qui m'a suggéré de m'intéresser au thème de la démonstration. Le décor était planté pour une

nouvelle aventure.

0.1 La démonstration dans l'enseignement secondaire

Une problématique majeure de l'enseignement des mathématiques en second cycle : la démonstration. Comme enseignant de mathématiques dans l'enseignement secondaire, nous ressentons la démonstration comme mode de validation caractéristique des mathématiques et son

enseignement comme élément indispensable à l'acquisition d'une culture mathématique. Mais

nous observons également la difficulté des élèves à assumer les tâches et les productions liées

à la démonstration. Enfin l'évolution des exercices d'évaluation, par exemple au baccalauréat

12français, tendait à privilégier des niveaux d'exigence où la démonstration restait appauvrie :

calculs, algorithmes, applications directes de théorèmes. C'est pourquoi nous sommes motivés

dans notre pratique professionnelle par ce thème de la démonstration. L'APMEP [Gras et al

2003] propose d'ailleurs une approche des contenus d'enseignement par dix problématiques

pour le second cycle, parmi lesquelles la problématique " conjecture et preuves ». L'utilisation des calculatrices et des logiciels informatiques et la démonstration. Le développement du recours aux calculatrices programmables, graphiques, formelles et aux logiciels mathématiques repose avec force le problème de la démonstration. L'IREM 10 de Montpellier [IREM de Montpellier 1998] précise que " dans un environnement " calculatrice », la

possession par les élèves d'outils de calculs puissants incite à modifier fortement le contenu des questions et les

réponses ne seront pas forcément induites par le professeur. On trouvera souvent des questions du type " que

penser de telle situation ? ». La place est alors libre pour un travail de conjectures, de preuves partielles, de réfutations ». Il se pose également le problème de l'exécution de certaines tâches de validation

par la calculatrice ou l'ordinateur: à quelles conditions une procédure de validation utilisant

une calculatrice ou un ordinateur constitue-t-elle une démonstration ? La réforme des lycées

[Ministère 1999, 2002] introduit avec force l'utilisation des calculatrices et des logiciels dans

l'enseignement des mathématiques de toutes les séries générales et redéfinit la place de la

démonstration. Ce sont autant de motivations d'actualité pour étudier la démonstration.

Les contraintes professionnelles :

Le fait d'être enseignant dans le secondaire motive naturellement pour une étude à ce niveau

d'enseignement, notamment parce que l'expérience accumulée peut être réinvestie dans la

recherche et réciproquement les hypothèses de la recherche pourront être vérifiées plus

facilement dans notre pratique professionnelle. Des études dans l'enseignement primaire ou

dans l'enseignement supérieur auraient nécessité un investissement plus important du fait de

notre éloignement de ces niveaux d'enseignement. La difficulté à concilier un travail de recherche avec un engagement professionnel à plein temps pose des contraintes qui vont orienter la recherche, tant au niveau des thèmes choisis - recherches de thèmes motivants- que des méthodologies adoptées - éviter les méthodologies " chronophages ». 13

0.2 La comparaison franco-allemande

L'enseignement des mathématiques pour élèves étrangers : Nous enseignions depuis dix ans dans un lycée international qui accueillent pour des périodes

de durées variables (quelques mois, une année scolaire ou jusqu'au baccalauréat) des élèves

étrangers. Pour ces élèves ont été mis en place des cours de mathématiques permettant

l'adaptation linguistique, culturelle et scolaire à l'enseignement mathématique français. Nous

avons accueilli notamment des élèves allemands qui rencontrent parfois des difficultés pour

produire des démonstrations correspondant aux critères demandés par le professeur français.

Les auteurs de la brochure Outils mathématiques pour élèves non francophones ou en difficultés [IREM de Strasbourg 1999] précisaient que " les méthodes de raisonnement et de rédaction employées en France constituent un très gros obstacle

» pour ces élèves.

Y a-t-il donc des différences dans les critères de productions de démonstration entre la France

et l'Allemagne, notamment au niveau des raisonnements que de la rédaction? Ou bien ces

différences sont-elles dues à l'hétérogénéité des pratiques des enseignants, indépendamment

du pays considéré ? Si la réponse à la première question est affirmative, peut-on proposer aux

élèves allemands accueillis en France un enseignement d'adaptation permettant de surmonter les difficultés dues à ces différences ?

Les échanges dans l'enseignement des mathématiques entre élèves français et allemands :

Nous avons pratiqué ou étudié [Cabassut, Molard, 1996] des échanges entre élèves français et

allemands impliquant l'enseignement des mathématiques. A cette occasion sont apparues des différences entre les classes dans les programmes d'enseignement, et dans la pratique de ces programmes. Ces différences ont notamment concerné pour la partie cours les résultats démontrés ou admis, et la pratiques de leurs éventuelles démonstrations. Annette MOLARD [Molard 1996, p.44] précisait " le " Beweis 11 » allemand est concis ; on exige moins de détail dans la formulation Quels sont la place et le statut de la démonstration en Allemagne et en France ? Comment

intervient-elle dans les évaluations ? Une réponse à ces questions permettrait de faciliter les

échanges de classes précédents.

14Les lycées franco-allemands :

Nous avons enseigné pendant six ans dans un lycée franco-allemand 12 . Ces établissements proposent, dans un même lieu géographique, un même programme d'enseignement des mathématiques à des élèves français ou allemands, chacun le recevant dans sa langue maternelle, par un enseignant de son pays. En fin d'étude secondaire, ces élèves passent la

même épreuve de mathématiques du baccalauréat franco-allemand avec double correction, par

un professeur français et par un professeur allemand.

Comment les différences évoquées précédemment peuvent être intégrées dans une évaluation

commune aux deux groupes d'élèves? Comment les questions mettant en jeu la démonstrationquotesdbs_dbs50.pdfusesText_50

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