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Exposé 17 : Racines n-ièmes d'un nombre complexe. Interprétation géométrique

.ApplicationPré requis : -Relation entre racines et coefficients d'un polynôme.-Nombres complexes (affixe,module,argument).-Formule de Moivre ∀n∈ℕ,∀b∈ℝ,eibn=einb-Définition d'un polygône régulier convexeOn se place dans

P,Pplan affine euclidien orienté (P plan vectoriel associé).On munit P d'un repère orthonormé direct

RO,i,j.

Intro: Le but de cet exposé est de résoudre des équations du type

zn=ZavecZ∈ℂ1)Racines n-ièmes d'un nombre complexe: a)Définition et exemple :Définition : Soit

Z∈ℂetn∈ℕ∗.On appelle racine n-ième de Z, tout nombre complexe z solution de l'équation

zn=Z.Si Z=1 on parle de racine n-ième de l'unité.Remarque : Si Z=0 le seul nombre complexe qui vérifie

zn=0estz=0.

Exemple n=2 Soit Z=X+iY et z=x+iy tel que z²=Z.z²=(x+iy)(x-iy)=X+iY x²+2ixy-y²=X+iY et |z|²=|Z|on obtient :

{x2-y2=X 2xy=Y x2y2=X2Y2}d'où {x2=X2Y2X 2 y2=X2Y2-X

2}d'où

2et∣y∣=X2Y2-X

2on en déduit x et y car xy est du signe de Y.Remarque cette méthode algébrique est utilisable dans le cas n=2 mais est plus complexe pour

n quelconque.b)ThéroèmeThéorème :Soit

Z∈ℂ∗tqZ=∣Z∣eiboù b est un argument de Z , admet n racines n-ièmes distinctes données par

zk=∣Z∣n eib n2k noù k∈{0,...,n-1}

Preuve : On pose Z=∣Z∣eibon suppose que z=∣z∣eiest une racine n-ième de Z alors

⇔∣z∣=∣Z∣n ⇔∣z∣=∣Z∣n et=b n2k zk=∣Z∣n eib n2k nDe plus si zk=zk'⇔2k n=2k' n[2]⇔k=k'[n]on a donc bien des racines distinctesc)Propriétés : Preuve si n=1 : on a bien évidement le 2.si n≥2 :

zn-Z=z-z0z-z1...z-zn-1=zn-z0...zn-1zn-1...-1nz0...zn-1d)Racines n-ièmes de l'unité2)Interprétation géométrique Preuve :

∀k∈{0,...,n-1}Mk∈Pa pour affixe zk=∣Z∣n ei2k nb n ∀k∈{0,...,n-1} OMk,OMk1=argzk1-0 zk-0=arg∣Z∣n ei2k1 nb n-0 ∣Z∣n ei2k nb n-0 arge i2 n=2 n[2]Propriété :L'ensemble Un = { ei2k n, k=0 , ... , n-1} des racines n-ièmes de l'unité muni de la multiplication est un sous groupe de {ℂ∗,.}Définition : Soit M0,M1,M2,..Mn-1∈P.M0,M1,M2,..Mn-1constitue les sommets

d'un polygone régulier convexe à n côtés ssi il existe un point O tel que la rotation de centre

O et d'angle

2

Théorème Soit

Z∈ℂ∗les n racines n-ièmes de Z sont les n affixes des sommets d'un polygone régulier à n côtés inscrit dans un cercle de centre O et de rayon ∣Z∣nPropriétés : 1.(somme) Soit Z∈ℂ∗, la somme des n racines ni-ieme de Z pour n2est nulle.2.(produit) Soit Z∈ℂ∗, le produit des n-ièmes racines de Z est égal à -1n-1Z idem pour l'angle OMn-1,OM0Donc rO,2 M0sik=n-1Exemple racine n-ième de l'unité (ie Z=1) n=4z=1 ⁴

U4={1,e

i2 4,e i4 4,e i6 4}

U6={1,e

i2 6,e i4 6,e i6 6,e i8 6,e i10 6}

3)Applications :

1)Calculer les racines troisièmes de Z=27i2)Factorisation de P(x)=x+1 dans ⁴ℂ3)Les points

M0,...,M9d'affixe

1i3,-1i3,-2,-1-i3,1-i3,1-i3,2sont-ils les sommets d'un

polygones réguliers?4)Construction du pentagone régulier à la réglè et au compas1.

1z¿za

2za

3za

4=02. za1

zasolution de X²+X-1=03.En déduire la construction du pentagone régulier à la règle et au compas

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