[PDF] Angles. Aires et périmètres 29 juin 2016 1.5

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Angles. Aires et périmètres

Table des matières

1 Les angles2

1.1 Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2 Angles saillants. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.3 Égalité entre deux angles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.4 Angles dans un cercle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.5 Angles dans un polygone régulier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2 Aires des surfaces planes5

2.1 Tableau récapitulatif. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 Relation entre périmètre et aire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

PAUL MILAN1CRPE

TABLE DES MATIÈRES

1 Les angles

1.1 Définition

Définition 1 :Un angle est un secteur du plan délimité par deux demi-droites.

On distingue alors deux types d"angles :

•Les angles saillants (ou géométriques) notés :?AOBcompris entre 0 et 180°. •Les angles rentrants compris entre 180°et 360°

Angle saillantAngle rentrant

O A? B

1.2 Angles saillants

Dans toutes la suite nous considérerons un angle comme un angle saillant. On distingue parmi les angles saillants, les types suivants : •Les anglesaigus: compris entre 0°et 90° •Les anglesdroits: 90° •Les anglesobtus: compris entre 90°et 180° •Les anglesplats: 180° Définition 2 :On dit que deux angles sont complémentaires, supplémentaires si leur somme vaut respectivement 90°et 180°.

α+β=90°αetβsont complémentaires

α+β=180°αetβsont supplémentaires

1.3 Égalité entre deux angles

On distingue 4 configurations où deux angles sont égaux

PAUL MILAN2CRPE

1. LES ANGLES

Opposés par le sommet

//O

Correspondants

/O 1 O 2

Alternes-internes

O1 O 2

Alternes-externes

O1 O 2

Application

Démontrer que la somme des angles d"un triangle est égal à 180°.

Faisons une figure, sur laquelle on trace

la droitedparallèle à (BC).

On a alors les égalités suivantes :

1=β2alternes-internes

1=γ2alternes-internes

2+α+γ2=180°

β1 β2 γ1 γ2 A B Cd La somme des angles dans un triangle vaut donc 180°

1.4 Angles dans un cercle

Théorème 1 :Angles inscrits, angle au centre, tangente •Dans un cercle, l"angle au centre vautdeux fois l"angle inscrit.

AOB=2?ADB

•Dans un cercle, deux angles qui inter-ceptent le même arc sont égaux.

ACB=?ADB

•Dans un cercle, la tangente en unpoint est perpendiculaire au rayon. (OA)?(T) 2α O(T) AB C D

PAUL MILAN3CRPE

TABLE DES MATIÈRES

1.5 Angles dans un polygone régulier

Théorème 2 :Un polygone dencôté peut être décomposé enn-2 triangles. L"angleαque forme deux côtés adjacents d"un polygone régulier vérifie donc :

α=(n-2)180

n L"angleθau centre s"obtient en divisant 360°par le nombre de côtés. On a alors :

θ=360

n On obtient le tableau suivant pour les polygones réguliers usuels.

Polygone régulier

Angle entre deux

côtés adjacents

αAngle au centre

Triangle60120

Carré9090

Pentagone10872

Hexagone12060

Octogone13545

Décagone14436

Dodécagone15030

PAUL MILAN4CRPE

2. AIRES DES SURFACES PLANES

2 Aires des surfaces planes

2.1 Tableau récapitulatif

NomSurfacePérimètreAire

Triangle

bh somme des côtésb×h 2

Parallélogramme

Lh somme des côtésL×h

LosangeDdsomme des

côtésD×d 2

Rectangle

L

2(L+?)L×?

Carré

a 4aa2

Trapèze

b B h somme des côtés(B+b)×h 2

Cercle

?r2π×rπ×r2

Secteur angulaire?α

rπ×r

180α

π×r2

360α

PAUL MILAN5CRPE

TABLE DES MATIÈRES

2.2 Relation entre périmètre et aire

?L"aire et le périmètre ne varient pas nécessairement dans le même sens. On peut par exemple augmenter le périmètre et diminuer l"aire ou inversement.

Exemples :

1) Soit les deux figures suivantes constituées de rectangle de longueur 3et de

largeur 2. 2 3

Figure 1

Figure 2

Le périmètreP1et l"aireA1de la 1refigure sont : P

1=10×3+4×2=38 etA1=10×3×2=60

Le périmètreP2et l"aireA2de la 2efigure sont : P

2=10×3+8×2=46 etA2=8×3×2=48

On a doncP1A2.

2) Soit un carré de côté 3 et un rectangle de longueur 4 et de largeur 2. Calculons

l"aire et le périmètre du carré et de rectangle. 3 4 2

Le périmètreP1et l"aireA1du carré sont :

P

1=4×3=12 etA1=32=9

Le périmètreP2et l"aireA2du rectangle sont : P

2=2(4+2) =12 etA2=4×2=8

On a doncP1=P2maisA1>A2.

PAUL MILAN6CRPE

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