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Université de Lorraine Faculté des sciences et technologies L2 Mathématiques 31/05/2016Examen de géométrie - Durée : 2h Consigne s"appliquant à tous les exercices: faire obligatoirement des figures. Elles devront être précises, grandes et lisibles, et seront systématiquement notées.

Le barème dépassera 20 points pour tenir compte de la longueur du sujet.Exercice 1.Énoncer et démontrer le théorème de l"angle au centre dans sa formulation du

cours, avec les angles orientés de vecteurs.

Exercice 2.Énoncer le théorème de l"angle inscrit ainsi que sa réciproque, avec les notations

du complément de cours c"est-à-dire avec des angles de droites. On ne demande pas de preuve. Exercice 3.Une bissectrice (intérieure ou extérieure) enAd"un triangleABCnon isocèle en Arecoupe le cerclecirconscrit à ce triangle enI. Montrer queIappartient à la médiatrice de [BC]. Exercice 4(Théorèmes de Thébault et de Van Aubel).SoitABCDun quadrilatère convexe

direct. On construit quatre carrés qui s"appuient extérieurement sur les côtés[AB],[BC],[CD]

et[DA]. Les centres respectifs de ces carrés sont notésP,Q,RetS. 1. Mon trerque dans le car réconstruit sur [AB], on ap=aib1i. Démontrer des relations analogues pour les autres carrés. 2. Mon trerle théorème de V anAub el: PQRSest unpseudo-carré, c"est-à-dire que ses diagonales sont de même longueur et se croisent à angle droit. Pour cela, calculer sqrp. 3. (Théorème de Thébault) Dans le cas particulier où ABCDest un parallélogramme, mon- trer quePQRSest un carré. Exercice 5.SoientA,B,CetDles quatre points deR3de coordonnées(0;0;0),(1;1;0), (1;0;1)et(0;1;1). 1. Calculer les co ordonnéesde l"isobaryce ntreGdes quatre points. 2. Mon trerque les p ointsson tles sommets d "untétraèdre régulier T. 3.

Donner des équations des quatre plans d"appui d utétraè dre,c"e st-à-direles pla nscon te-

nant les faces. 4.

P ourc haqueplan d"appui, précise rde quel côté se trouv ele tétraèdre et en dé duireune

description du tétraèdre par quatre inégalités. 5.

(Bon us)En dédui redes inégalité sp ourl"in tersectiondu tétraèdr ea vecle plan z= 1=2.

Faire une figure exacte de cette intersection : choisir un repère orthonormé de ce plan (le plus simple possible), tracer les droites nécessaires et hachurer la zone du plan recherchée. Exercice 6(Formule de Héron).SoitABCun triangle. On notea(resp.b,c) la longueur du côté opposé àA(resp.B,C). On note de plusSson aire,p=12 (a+b+c)le demi-périmètre. Le but de l"exercice est de démontrer de deux manières la formule de Héron :

S=pp(pa)(pb)(pc):

Les deux preuves sont indépendantes et introduisent leurs propres notations. On fera une figure pour chacune des deux preuves. 1. (Preuv ea vecAl-Kashi) On note l"angle enA. (a)

Exprimer Sen fonction de,betc.

(b)Calculer cos()en fonction dea,betc. C"est laloi des cosinus. Ce résultat est aussi

appeléthéorème d"Al-Kashi(en France), ou encorethéorème de Pythagore généralisé.

(c) Calculer de même jsin()jen factorisant le plus possible et conclure. 2. (Preuv ea vecles nom brescomplexes) On note Cle cercle inscrit,Ison centre etrson rayon. On note égalementx(resp.y,z) la distance entreA(resp.B,C) et le point de tangence entreCet[AB](resp.[BC],[CA]). (a)

Mon trerque S=rp.

(b)

Exprimer p(pa)(pb)(pc)en fonction dex,yetz.

1z2z3. En déduire quer2=xyz=(x+y+z)et conclure.

Exercice 7(Loi des sinus).SoitABCun triangle. On notea(resp.b,c) la longueur du côté opposé àA(resp.B,C) et on note(resp., ) l"angle enA(resp.B,C). La loi des sinus est l"égalité des trois quantités :asin=bsin=csin Dans cet exercice on propose de la démontrer de plusieurs manières, dans des versions plus

ou moins précises. Les preuves sont indépendantes. On fera des figures différentes pour chaque

preuve. 1. (Preuv erapide) Mon trerle résultat (on demande une preuv ecourte et différen tedes preuves suivantes). 2. (Preuv eplus précise a vecl"aire) Calculez les trois quan titésen fonction de a,b,cet de l"aireSdu triangle et en déduire le résultat. 3. (Preuv eplu sprécise a vecdes angles inscrits) Soit Cle cercle circonscrit àABC,Rson rayon etDle point deCdiamétralement opposé àB. (a) On supp oseque Dest différent deAet deC. Montrer l"égalitéasin= 2R. (b)

Mon trerla même é galitédans les cas exclus par l"h ypothèseprécéden teet conclure.

4. (Preuv ea vecles nom brescomplexes) (a) On supp oseque Aa pour affixe0, queBa pour affixe1, et on notezl"affixe deC. (Attention,a betcsont toujours les longueurs introduites par l"énoncé : ce ne sont pasles affixes des points.)Montrer l"égalitéasin=bsinen écrivant les deux quantités en fonction dez. (b)

Prouv erle cas gé néral.

Correction 1.Cours.

Correction 2.Cours.

Correction 3.TD.

Correction 4.TD.

Correction 5.1.L"isobarycen tredes quatre p ointsa p ourco ordonnées(1=2;1=2;1=2). 2. Dans le cas demandé, il suffit de mon trerque toutes les dist ancesen treles p ointsson t

égales. Ceci est suffisant pour montrer que les quatre faces sont des triangles équilatéraux

et que le polyèdre est un tétraèdre régulier. Comme il y a quatre points, il y a4 2= 6 distances à calculer. On a par exempleAB=p(1)2+ (1)2+ 0 =p2. Les autres dis- tances valent égalementp2. 3. Le plan ABCadmet!n:=!AB^!ACcomme vecteur normal. Comme ce vecteur a pour coordonnées 0 @1 1 01 A ^0 @1 0 11 A =0 @1 1 11 A on en déduit que le planABCa pour équationxyz=d, oùd2Rdoit encore être

déterminé. CommeAappartient au plan, ses coordonnées doivent vérifier l"équation, d"où

on tired= 0. Ainsi, l"équation du planABCest : xyz= 0: Pour les trois autres plansABD,ACDetBCDon obtient de la même manière les

équationsxy+z= 0,x+yz= 0etx+y+z= 2.

4. Le plan ABCayant pour équationxyz= 0, le tétraèdre se trouve soit dans le demi-espacexyz60, soit dans le demi-espacexyz>0. CommeGappartient au tétraèdre et quexGyGzG=1=2, on en déduit que le tétraèdre appartient au demi-espacexyz60. On procède de même pour les trois autres plans d"appui, ce qui donne la caractérisation : 0 @x y z1 A

2 T ,8

>>>:xyz60 xy+z>0 x+yz>0 x+y+z62 5. En remplaçan tzpar1=2, on trouve les quatre inégalités caractérisant les abscisses et ordonnées de l"intersection du tétraèdre avec le plan d"équationz= 1=2. Finalement, on a : 0 @0 @x y z1 A

2 Tetz= 1=21

A ,8 >>>>>:z= 1=2 xy61=2 xy>1=2 x+y>1=2 x+y63=2 Si on munit le planz= 1=2du repère orthonormé((0;0;1=2);~i;~j), l"intersection est le carré dont les sommets ont pour coordonnées(1=2;0),(1;1=2),(1=2;1)et(0;1=2).

Correction 6.1.(Preuv ea vecAl-Kashi)

(a) On a S=jbcsin()j=2, car l"aire est la moitié de celle du parallélogramme porté par ABetAC. Or, ce dernier a pour airejj!AB^!ACjj=jbcsinj. (b) (Al-Kashi) Il existe de très nombreuses preuves. La plus courte est celle utilisant l"outil le plus évolué disponible en géométrie plane au lycée, à savoir le produit scalaire : a (c)

On obtien tdonc

jsin()j=p1cos2() =s1a2b2c22bc 2 d"où bcjsinj2 =14 p(4b2c2+a2b2c2)(4b2c2a2b2+c2) r(a+b+c)(b+ca)(ab+c)(a+bc)16 =pp(pa)(pb)(pc) 2. (Preuv ea vecles nom brescomplexes) (a) On a

S=Aire(ABC) =Aire(ABI)+Aire(IBC)+Aire(CIA) =rAB2

+rBC2 +rCA2 =rp: (b)

On a p=x+y+z,pa=x,pb=yetpc=z, d"où

p(pa)(pb)(pc) = (x+y+z)xyz: (c)

D"une part, on a

1z2z3= (r+ix)(r+iy)(r+iz) =r3r(xy+yz+zx) +ir2(x+y+z)xyz:

D"autre part, comme

[AIB+[BIC+[CIA= 2, on aArg(z1z2z3) =PArgzi= , autrement ditz1z2z3est réel, donc sa partie imaginaire est nulle. On en déduit r

2(x+y+z)xyz= 0. Commex+y+z6= 0, ceci est équivalent à :

2=xyzx+y+z:

En utilisant les questions précédentes, on obtient finalement :

S=pr= (x+y+z)rxyz

x+y+z =pxyz(x+y+z) =pp(pa)(pb)(pc): Correction 7.1.(Preuv erapide) So ithla longueur de la hauteur issue deC. Alors on a h=asin() =bsin(), d"oùasin=bsin. On montre de même les deux autres égalités.

2.(Preuv eplus précise a vecl"aire) A vecles même snotations, on a l" aireSest égale àch=2 =

cbsin()=2, d"oùasin=abc2S. On prouve de même les deux autres égalités, ce qui donne la forme plus précise de la loi des sinus : asin=bsin=csin =abc2S: 3. (Preuv eplus précise a vecdes angles inscrits) (a) Les angles géométriques et\BDCinterceptent la même corde[BC]dont sont égaux ou supplémentaires. Ils ont donc même sinus. On asin= sin\BDC. Or,BDCest rectangle enCet on a doncsin= 2R=a, d"oùasin= 2R. (b) Si D=CouD=A, cela signifie queABCest rectangle enAouCet dans ce cas on a facilement asin= 2R. L"égalité est donc toujours vraie, et les deux autres se montrent de la même manière. 4. (Preuv ea vecles nom brescomplexes) (a) Dans ce cas particulier, on a c= 1,b=jzj, eta=jz1j. D"une part, on asin() = Im(z)=jzj. D"autre part, on asin() = Im(z1)=jz1j. On en déduit que asin=jz1j jzjIm(z)=jzj jz1jIm(z1)=bsin: (b) La form uleà prouv erest in variantepar similitude. Or, il exi steune similitud een voyant [AB]sur le segment reliant les points d"affixes0et1.quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50

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